Príklady otázok týkajúcich sa binomickej distribučnej funkcie
Binomické rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré opisuje počet úspechov v experimente pozostávajúcom z viacerých nezávislých pokusov s dvoma možnými výsledkami: úspech a neúspech. Každý pokus sa nazýva pokus a binomické rozdelenie sa často používa v situáciách, keď je zaujímavý počet úspechov v rámci viacerých nezávislých pokusov. V tomto článku sa budeme venovať základným konceptom binomického rozdelenia a poskytneme príklady a riešenia.
Základné pojmy binomickej distribučnej funkcie
Predtým, ako sa pustíme do príkladových otázok a diskusie, poďme sa pozrieť na niektoré základné pojmy súvisiace s binomickým rozdelením.
1. Definícia: Binomické rozdelenie je definované ako súčet úspechov v „n“ nezávislých pokusoch, kde každý pokus má dva možné výsledky: úspech (s pravdepodobnosťou p) alebo neúspech (s pravdepodobnosťou q = 1 – p).
2. Pravdepodobnostná funkcia: Pravdepodobnostná funkcia binomického rozdelenia je:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
ruka:
– \( P(X = k) \) je pravdepodobnosť k úspechov v n pokusoch.
– \( \binom{n}{k} \) je kombinácia n a k, ktorá je definovaná ako \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) je pravdepodobnosť úspechu v každom pokuse.
– \( (1-p) \) je pravdepodobnosť neúspechu v každom pokuse.
3. Očakávaná hodnota a rozptyl:
– Očakávaná hodnota (priemer) binomického rozdelenia je ( \mu = np \).
– Rozptyl binomického rozdelenia je \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Teraz si tieto koncepty aplikujme na príklade problému, aby sme mu poskytli hlbšie pochopenie.
Príklad otázky 1: Základné výpočty binomického rozdelenia
Otázka:
Spoločnosť vyrába elektronické súčiastky s pravdepodobnosťou 0.95, že každá súčiastka prejde testom kvality. Ak sa vyrobí 10 súčiastok, vypočítajte pravdepodobnosť, že testom kvality prejde presne 8 súčiastok.
Diskusia:
Na vyriešenie tohto problému môžeme použiť vzorec pre binomické rozdelenie. Najprv identifikujeme nasledujúce parametre:
– \( n \) (celkový počet pokusov) = 10
– \( k \) (počet úspechov) = 8
– \( p \) (pravdepodobnosť úspechu) = 0.95
– \( q \) (pravdepodobnosť zlyhania) = 1 – 0.95 = 0.05
Potom dosadte tieto hodnoty do vzorca pre binomické rozdelenie:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Najprv vypočítajte kombináciu \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \krát 9 \krát 8!}{8! \krát 2!} = \frac{10 \krát 9}{2 \krát 1} = 45
\]
Potom vypočítajte pravdepodobnosti \( (0.95)^8 \) a \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \približne 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Nakoniec vynásobte všetky tieto hodnoty, aby ste dostali:
\[
P(X = 8) = 45 \krát 0.6634 \krát 0.0025 \približne 0.0744
\]
Pravdepodobnosť, že presne 8 z 10 komponentov prejde testom kvality, je teda približne 0.0744 alebo 7.44 %.
Príklad otázky 2: Kumulatívna pravdepodobnosť
Otázka:
Stále s tou istou spoločnosťou vypočítajte pravdepodobnosť, že aspoň 9 z 10 komponentov prejde testom kvality.
Diskusia:
Na vyriešenie tohto problému musíme vypočítať kumulatívnu pravdepodobnosť. Pravdepodobnosť, že testom prejde aspoň 9 z 10 komponentov, znamená, že vypočítame \( P(X \geq 9) \), ktorú možno zapísať ako:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Použitie vzorca pre binomické rozdelenie:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Najprv vypočítajte kombináciu pre každý prípad:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Potom vypočítajte pravdepodobnosti pre \( P(X = 9) \) a \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 krát (0.95)^9 krát 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \približne 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \krát 0.6302 \krát 0.05 \približne 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 krát (0.95)^{10} krát 1
\]
\[
(0.95)^{10} \približne 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Celková pravdepodobnosť pre \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 = približne 0.9138
\]
Pravdepodobnosť, že aspoň 9 z 10 komponentov prejde testom kvality, je teda približne 0.9138 alebo 91.38 %.
Príklad otázky 3: Očakávaná hodnota a rozptyl
Otázka:
Vypočítajte očakávanú hodnotu a rozptyl počtu komponentov, ktoré prešli testom kvality z 10 vyrobených komponentov s pravdepodobnosťou úspešnosti 0.95.
Diskusia:
Použite nasledujúci vzorec:
– Očakávaná hodnota (priemer) \( \mu = np \)
– Rozptyl (sigma^2 = np(1-p))
Pri \(n = 10\) a \(p = 0.95\):
\[
\μ = 10 \krát 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \krát 0.95 \krát 0.05 = 0.475
\]
Takže očakávaná hodnota počtu komponentov, ktoré prešli testom kvality, je 9.5 a rozptyl je 0.475.
Záver
Prostredníctvom troch vyššie uvedených príkladov úloh sme prediskutovali, ako vypočítať pravdepodobnosť pomocou binomického rozdelenia pre rôzne situácie: výpočet presnej pravdepodobnosti, kumulatívnej pravdepodobnosti a výpočet očakávanej hodnoty a rozptylu. Znalosť binomického rozdelenia je užitočná v rôznych oblastiach, ako je výroba, lekársky výskum a sociálna štatistika, kde je možné analyzovať výsledky opakovaných experimentov s dvoma možnými výsledkami, aby sa uľahčilo rozhodovanie. Dúfame, že uvedené príklady úloh a diskusie vám pomôžu lepšie pochopiť binomické rozdelenie.
