Príklady otázok a diskusia o rozdelení pravdepodobnosti
Rozdelenie pravdepodobnosti je jedným zo základných pojmov v štatistike a pravdepodobnosti. Používa sa na pochopenie pravdepodobnosti výskytu rôznych hodnôt náhodného čísla. Rozdelenia pravdepodobnosti môžu mať mnoho foriem v závislosti od povahy analyzovaných údajov. Dva najbežnejšie typy rozdelení pravdepodobnosti sú diskrétne a spojité. V tomto článku si pozrieme niekoľko príkladov problémov a budeme diskutovať o rozdeleniach pravdepodobnosti, aby sme lepšie pochopili túto tému.
Diskrétne rozdelenie
Diskrétne rozdelenie je rozdelenie, ktoré vypočítava pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej premennej, teda premennej, ktorá môže nadobúdať iba určité hodnoty. Známymi príkladmi diskrétnych rozdelení sú binomické rozdelenie a Poissonovo rozdelenie.
Príklad 1: Binomické rozdelenie
Binomické rozdelenie opisuje počet úspechov v sérii Bernoulliho pokusov. Každý Bernoulliho pokus má dva výsledky: úspech alebo neúspech. Pravdepodobnosť úspechu zostáva počas celého pokusu konštantná.
Otázka:
Farmaceutická spoločnosť testuje nový liek na 10 pacientoch. Pravdepodobnosť, že liek bude účinkovať u ktoréhokoľvek pacienta, je 0.7. Vypočítajte pravdepodobnosť, že liek bude účinkovať presne u 7 z 10 pacientov.
Diskusia:
Náhodná premenná \(X\) má binomické rozdelenie s \(n = 10\) a \(p = 0.7\). Binomická pravdepodobnostná funkcia je:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Pre \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Výpočet binomického koeficientu \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Výpočet hodnôt pravdepodobnosti:
\[ P(X = 7) = 120 \krát (0.7)^7 \krát (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \približne 120 \krát 0.0823543 \krát 0.027 \]
\[ P(X = 7) \približne 0.231 \]
Takže pravdepodobnosť, že liek účinkuje presne u 7 z 10 pacientov, je približne 0.231 alebo 23.1 %.
Príklad 2: Poissonovo rozdelenie
Poissonovo rozdelenie sa používa na modelovanie počtu výskytov zriedkavej udalosti v danom časovom alebo priestorovom intervale.
Otázka:
Obchod navštívi v priemere 4 zákazníkov za hodinu. Aká je pravdepodobnosť, že obchod navštívi presne 5 zákazníkov za jednu hodinu?
Diskusia:
Náhodná premenná \(X\) má Poissonovo rozdelenie s parametrom \(\lambda = 4\). Poissonova pravdepodobnostná hmotnostná funkcia je:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Pre \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Počet:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \približne \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \približne 0.156 \]
Pravdepodobnosť, že obchod navštívi za hodinu presne 5 zákazníkov, je teda približne 0.156, čiže 15.6 %.
Nepretržitá distribúcia
Spojité rozdelenia sa používajú, keď meraná náhodná premenná môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu v určitom rozsahu. Známymi príkladmi spojitých rozdelení sú normálne rozdelenie a exponenciálne rozdelenie.
Príklad 3: Normálne rozdelenie
Normálne rozdelenie, často nazývané Gaussovo rozdelenie, je rozdelenie bežne používané v rôznych oblastiach vrátane vedy, inžinierstva a ekonómie.
Otázka:
Výška dospelých mužov v meste je normálne rozdelená s priemerom 170 cm a štandardnou odchýlkou 10 cm. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraný muž má výšku medzi 160 cm a 180 cm?
Diskusia:
Potrebujeme vypočítať z-skóre pre 160 cm a 180 cm. Z-skóre je definované ako:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Pre \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Pre \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Teraz sa musíme pozrieť na hodnoty pravdepodobnosti od -1 do 1 v tabuľke z. Hodnota od z = -1 do z = 1 je približne 0.6826.
Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný muž má výšku medzi 160 cm a 180 cm, je teda približne 0.6826 alebo 68.26 %.
Príklad 4: Exponenciálne rozdelenie
Exponenciálne rozdelenie sa používa na modelovanie času medzi udalosťami v Poissonovom procese.
Otázka:
Priemerný čas medzi dvoma príchodmi zákazníkov do predajne je 15 minút. Aká je pravdepodobnosť, že čas medzi príchodmi dvoch zákazníkov je kratší ako 10 minút?
Diskusia:
Exponenciálne rozdelenie má parameter λ, ktorý je inverznou hodnotou priemeru (μ). S priemerom 15 minút:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Exponenciálna kumulatívna distribučná funkcia je:
P(X ≤ x) = 1 – e^{-\lambdax}
Pre \(x = 10\):
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 \krát 10} \]
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X ≤ 10) \približne 1 – 0.5134 \]
\[ P(X ≤ 10) \približne 0.4866 \]
Pravdepodobnosť, že čas medzi príchodmi dvoch zákazníkov je kratší ako 10 minút, je teda približne 0.4866 alebo 48.66 %.
Záver
Pravdepodobnostné rozdelenia, diskrétne aj spojité, sú veľmi užitočné koncepty na modelovanie a pochopenie správania náhodných premenných. Binomické a Poissonovo rozdelenie sa často používajú pre diskrétne premenné, zatiaľ čo normálové a exponenciálne rozdelenie sú príkladmi spojitých rozdelení.
Dúfame, že ste prostredníctvom vyššie uvedených príkladov lepšie pochopili, ako vypočítavať a interpretovať pravdepodobnosti v rozdeleniach pravdepodobnosti. Pravidelným precvičovaním sa vaša schopnosť porozumieť rozdeleniam pravdepodobnosti zlepší a bude možné ju uplatniť v rôznych disciplínach.
