7 príkladov problémov s momentom hybnosti
Moment hybnosti
1. Objekt má moment zotrvačnosti 2 kg m2 a otáča sa na pevnej osi s uhlová rýchlosť 1 rad/s. Koľko? moment hybnosti ten objekt?
Diskusia
Je známe, že:
Moment zotrvačnosti (I) = 2 kg m2
Uhlová rýchlosť (ω) = 1 rad/s
Opýtal sa: Moment hybnosti (L)
Odpoveď:
Vzorec pre výpočet momentu hybnosti:
L = Iω
Popis: L = moment hybnosti (kg m2/s), I = moment zotrvačnosti (kg m2), ω = uhlová rýchlosť (rad/s)
Moment hybnosti:
L = I ω = (2)(1) = 2 kg m2/s
2. Plná kotúčová kladka má hmotnosť 2 kg a polomer 0,1 metra. Ak sa kladka otáča okolo svojej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou 2 rad/sekundu, aký je moment hybnosti kladky?
Diskusia
Je známe, že:
Hmotnosť pevnej kotúčovej kladky (m) = 2 kilogramy
Polomer plnej kotúčovej kladky (r) = 0,1 metra
Uhlová rýchlosť (ω) = 2 radiány/sekundu
Opýtal sa: Moment hybnosti kladky
Odpoveď:
Vzorec pre moment zotrvačnosti pevného disku, ak sa otáča okolo osi, ako je znázornené na obrázku:
I = 1/2 mr2
Popis: I = moment zotrvačnosti (kg m2), m = hmotnosť (kg), r = polomer (metre)
Moment zotrvačnosti pevného disku:
I = 1/2 (2)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Moment hybnosti:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
3. Pevná guľa s hmotnosťou 2 kg a polomerom 0,2 metra sa otáča okolo svojej osi uhlovou rýchlosťou 4 rad/s. Určte moment hybnosti pevnej gule!
Diskusia
Je známe, že:
Hmotnosť pevnej gule (m) = 2 kilogramy
Polomer pevnej gule (r) = 0,2 metra
Uhlová rýchlosť (ω) = 4 radiány/sekundu
Opýtal sa: Moment hybnosti pevnej gule
Odpoveď:
Vzorec pre moment zotrvačnosti pevnej gule, ak sa otáča okolo osi, ako je znázornené na obrázku:
I = (2/5) mr2
Popis: I = moment zotrvačnosti (kg m2), m = hmotnosť (kg), r = polomer (metre)
Moment zotrvačnosti pevnej gule:
I = (2/5)(2)(0,2)2 = (4/5)(0,04) = 0,032 kg m2
Moment hybnosti pevnej gule:
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 kg m2/s
4. Teleso s hmotnosťou 1 kg sa pohybuje po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou 2 rad/s. Určte moment hybnosti, ak je polomer dráhy častice 10 cm.
Diskusia
Je známe, že:
Hmotnosť objektu (m) = 1 kilogram
Polomer pevnej gule (r) = 10 cm = 10/100 = 0,1 metra
Uhlová rýchlosť (ω) = 2 radiány/sekundu
Opýtal sa: Moment hybnosti
Odpoveď:
Vzorec pre moment zotrvačnosti častice:
Ja = pán.2 = (1)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Moment hybnosti:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
Zákon zachovania momentu hybnosti
5. Homogénny plný valcový disk sa spočiatku otáča okolo svojej osi uhlovou rýchlosťou 5 rad/s. Rovina disku je rovnobežná s vodorovnou rovinou. Hmotnosť a polomer disku sú 2 kg a 0,2 metra. Ak sa na disk umiestni prstenec s hmotnosťou 0,1 kg a polomerom 0,2 metra tak, aby stred prstenca bol priamo nad stredom disku, potom sa disk a prstenec budú otáčať spoločne uhlovou rýchlosťou…
Diskusia
Je známe, že:
Hmotnosť plného valca (m1) = 2 kilogramu
Polomer plného valca (r1) = 0,2 metre
Uhlová rýchlosť plného valca (ω1) = 5 rad/s
Hmotnosť prstenca (m2) = 0,1 kilogramu
Polomer kruhu (r)2) = 0,2 metre
Opýtal sa: Uhlová rýchlosť valcov a krúžkov
Odpoveď:
Moment zotrvačnosti plného valca: I = 1⁄2 m1 r12 = 1⁄2 (2)(0,2)2 = (1)(0,04) = 0,04 kg m2
Moment zotrvačnosti krúžku: I = mr2 = (0,1)(0,2)2 = (0,1)(0,04) = 0,004 kg m2
Moment zotrvačnosti plného valca a krúžku (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 kg m2
Počiatočný moment hybnosti (L1) = Konečný moment hybnosti (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(0,04)(5) = (0,044)(ω2)
(0,2) = (0,044)(ω2)
ω2 = 0,2 : 0,044
ω2 = 4,5 rad / s
6. Baletný tanečník sa točí s rukami natiahnutými do dĺžky 150 cm a uhlovou rýchlosťou 10 radiánov/sekundu. Potom tanečník prekríži ruky v lakťoch do dĺžky 75 cm. Aká je konečná uhlová rýchlosť?
Diskusia
Je známe, že:
Polomer 1 (r1) = 150 cm = 1,5 metra
Polomer 2 (r2) = 75 cm = 0,75 metra
Uhlová rýchlosť 1 (ω1) = 10 rad/s
Opýtal sa: Uhlová rýchlosť 2 (ω2)
Odpoveď:
Počiatočný moment zotrvačnosti: I1 = Pán12 = (m)(1,5)2 = 2,25 m
Konečný moment zotrvačnosti: I2 = Pán22 = (m)(0,75)2 = 0,5625 m
Počiatočný moment hybnosti (L1) = Konečný moment hybnosti (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(2,25 m)(10) = (0,5625 m)(ω2)
22,5 m = (0,5625 m)(ω2)
22,5 = (0,5625)(ω2)
ω2 = 22,5/0,5625
ω2 = 40 rad / s
7. Homogénny pevný valcový disk sa spočiatku otáča okolo svojej osi uhlovou rýchlosťou 4 rad/s.-1Hmotnosť a polomer disku sú 1 kg a 0,5 m. Ak sa na disk umiestni krúžok s hmotnosťou 0,2 kg a polomerom 0,1 m a stred krúžku je presne nad stredom valcového disku, potom sa valcový disk a krúžok budú otáčať spoločne uhlovou rýchlosťou...
A. 1 rad/s
B. 2 rad/s
C. 3 rad/s
D. 4 rad/s
E. 5 rad/s
Diskusia :
Moment zotrvačnosti plný valec: I = ½ mr2 = ½ (1 kg)(0,5 m)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 kg m2
Moment zotrvačnosti krúžku: I = mr2 = (0,2 kg)(0,1 m)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 kg m2
Počiatočný moment hybnosti (L1 ) = Konečný moment hybnosti ( L2 )
I1ω1 = I2ω2
(0,125 kg m² ) (4 rad/s) = (0,125 kg m² + 0,002 kg m² ) ( ω² )
(0,5) = (0,127)( ω² )
ω² = 0,5 : 0,127
ω² = 4 rad/s
Správna odpoveď je D.
