4 príklady otázok týkajúcich sa spojenia koleso-kolo
1. Dve kolesá A a B sú spojené stuhou (pozri obrázok). Ak je polomer kolesa A dvojnásobok polomeru kolesa B, stane sa toto...
A. vA = 2 vB
B. vA = 1/2 vB
C. vA = vB
D. ωA = ωB
E. ωA = 2ωB
Diskusia
Je známe, že:
Polomer kolesa A (rA) = dvojnásobok polomeru kolesa B (2 rB)
Opýtal sa:
– Vzťah medzi lineárnou rýchlosťou kolesa A (vA) a lineárnou rýchlosťou kolesa B (vB)
– Vzťah medzi uhlovou rýchlosťou kolesa A (ωA) a uhlovou rýchlosťou kolesa B (ωA).
Odpoveď:
Kolesá A a B sú spojené páskou tak, že keď sa koleso A otáča, otáča sa aj koleso B. Ak sa za 1 sekundu povrch kolesa A posunie o 1 meter, potom sa povrch kolesa B tiež posunie o 1 meter za 1 sekundu. Lineárna rýchlosť kolesa A je teda rovnaká ako lineárna rýchlosť kolesa B (vA = vB).
Na druhej strane, ak koleso B dokončilo jednu otáčku, koleso A nedokončilo jednu otáčku, pretože obvod kolesa B je menší, zatiaľ čo obvod kolesa A je väčší. Inými slovami, uhlová rýchlosť kolesa A nie je rovnaká ako uhlová rýchlosť kolesa B. Aký je vzťah medzi uhlovou rýchlosťou kolesa A a uhlovou rýchlosťou kolesa B?
Rýchlosť kolesa A: vA = rA ωA = 2rB ωA
Rýchlosť kolesa B: vB = rB ωB
Rýchlosť kolesa A je rovnaká ako rýchlosť kolesa B:
vA = vB
2rB ωA = rB ωB
2ωA = ωB
ωA = 1/2 ωB
Správna odpoveď je C.
2. Tri kolesá A, B a C sú navzájom spojené, ako je znázornené na obrázku. Ak sú polomery kolies A, B a C 20 cm, 8 cm a 4 cm a koleso B sa otáča uhlovou rýchlosťou 10 rad.s...-1, potom sa koleso C otáča s uhlová rýchlosť veľké ako…
A. 80 rad.s-1
B. 50 rad.s-1
Cca 40 rad.s-1
D. 20 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Diskusia
Je známe, že:
Polomer kolesa A (rA) = 20 cm = 0,2 metra
Polomer kolesa B (rB) = 8 cm = 0,08 metra
Polomer kolesa C (rC) = 4 cm = 0,04 metra
Uhlová rýchlosť kolesa B (ωB) = 10 rad/s
Otázka: Uhlová rýchlosť kolesa C (ωC)
Odpoveď:
Uhlová rýchlosť a lineárna rýchlosť ráfika kolesa A
Koleso A a koleso B sú k sebe pripevnené, takže sa otáčajú spoločne. Ak sa koleso B otočí o jednu otáčku (360°), potom sa počas rovnakého časového intervalu koleso A tiež otočí o jednu otáčku (360°). Pretože sa otáčajú spoločne, uhlová rýchlosť kolesa A (ωA) je rovnaká ako uhlová rýchlosť kolesa B (ωB).
Uhlová rýchlosť kolesa A:
ωA = ωB = 10 radiánov/sekundu
Lineárna rýchlosť ráfika kolesa A:
Veľkosť lineárnej rýchlosti okraja kolesa A sa vypočíta pomocou vzorca pre vzťah medzi lineárnou rýchlosťou a uhlovou rýchlosťou, v = r ω.
vA = rA ωA = (0,2 m)(10 rad/s) = 2 m/s
Uhlová rýchlosť a lineárna rýchlosť ráfika kolesa C
Obvod kolesa A je oveľa väčší ako obvod kolesa C. Keď sa koleso C otočí o jednu otáčku (360°), koleso A počas rovnakého časového intervalu ešte nedokončí jednu otáčku (360°o). Uhlová rýchlosť kolesa A teda nie je rovnaká ako uhlová rýchlosť kolesa C.
Kolesá A a C sú však navzájom spojené lanom alebo reťazou. Keďže sú spojené, v rovnakom časovom intervale je vzdialenosť prejdená okrajom kolesa A rovnaká ako vzdialenosť prejdená okrajom kolesa C. Lineárna rýchlosť okraja kolesa C (vC) je teda rovnaká ako lineárna rýchlosť okraja kolesa A (vA).
Lineárna rýchlosť ráfika kolesa C:
vC = vA = 2 m/s
Uhlová rýchlosť kolesa C:
vC = rC ωC
ωC = vC / rC = 2 / 0,04 = 50 radiánov/sekundu = 50 rad.s-1.
Správna odpoveď je B.
3. Kolesový systém s polomermi RA = 2 cm, RB = 4 cm a RC = 10 cm je zapojený podľa obrázku. Koleso B sa otáča rýchlosťou 60 otáčok za minútu, takže lineárna rýchlosť kolesa C je…
A. 8π cm·s-1
B. 12 cm-1
C. 12π cm·s-1
D. 24 cm-1
E. 24π cm·s-1
Diskusia
Je známe, že:
Polomer kolesa A (rA) = 2 cm
Polomer kolesa B (rB) = 4 cm
Polomer kolesa C (rC) = 10 cm
Uhlová rýchlosť kolesa B (ωB) = 60 otáčok/minútu = 60 otáčok/60 sekúnd = 1 otáčka/sekunda = 1(2π radiánov)/sekunda = 2π rad/s
Otázka: Lineárna rýchlosť kolesa C (vC)
Odpoveď:
Lineárna rýchlosť ráfika kolesa B
Lineárna rýchlosť okraja kolesa B:
vB = rB ωB = (4 cm)(2π rad/s) = 8π cm/s
Lineárna rýchlosť ráfika kolesa A
Koleso A a koleso B sú spojené lanom, takže lineárna rýchlosť okraja kolesa A (vA) je rovnaká ako lineárna rýchlosť okraja kolesa B (vB).
vA = vB = 8π cm/s
Lineárna rýchlosť ráfika kolesa C
Koleso C a koleso A sú spojené lanom, takže lineárna rýchlosť okraja kolesa C (vC) je rovnaká ako lineárna rýchlosť okraja kolesa A (vA).
vC = vA = vB = 8π cm/s
Správna odpoveď je A.
4. Uvažujme nasledujúce vzťahy medzi kolesami! Polomery kolies RA = 25 cm, RB = 15 cm, RC = 40 cm a koleso C sa otáča rýchlosťou 60 otáčok za minútu. Uhlová rýchlosť kolesa A je…
A. 2,5π rad·s-1
B. 3π rad·s-1
C. 3,2π rad·s-1
D. 3,5π rad·s-1
E. 3,8π rad·s-1
Diskusia
Je známe, že:
Polomer kolesa A (rA) = 25 cm = 0,25 metra
Polomer kolesa B (rB) = 15 cm = 0,15 metra
Polomer kolesa C (rC) = 40 cm = 0,4 metra
Uhlová rýchlosť kolesa C (ωC) = 60 otáčok/minútu = 60 otáčok/60 sekúnd = 1 otáčka/sekunda = 1(2π radiánov)/sekunda = 2π rad/s
Otázka: Uhlová rýchlosť kolesa A (ωA)
Odpoveď:
Lineárna rýchlosť ráfika kolesa C:
vC = rC ωC = (0,4 m) (2π rad/s) = 0,8π m/s
Lineárna rýchlosť ráfika kolesa B
Koleso C a koleso B sú spojené lanom, takže lineárna rýchlosť okraja kolesa C (vC) je rovnaká ako lineárna rýchlosť okraja kolesa B (vB).
vB = vC = 0,8π m/s
Uhlová rýchlosť a lineárna rýchlosť ráfika kolesa A
Koleso A a koleso B sú navzájom spojené, ako je znázornené na obrázku vyššie, preto uhlová rýchlosť kolesa A nie je rovnaká ako uhlová rýchlosť kolesa B. Je to preto, že obvod kolesa A je väčší ako obvod kolesa B. Počas rovnakého časového intervalu, keď sa koleso A otočí o jednu otáčku (360o), koleso B ešte nedosiahlo jednu otáčku (360o). Počas rovnakého časového intervalu je však vzdialenosť prejdená hranou kolesa A rovnaká ako vzdialenosť prejdená hranou kolesa B. Lineárna rýchlosť hrany kolesa A (vA) je teda rovnaká ako lineárna rýchlosť hrany kolesa B (vB).
Lineárna rýchlosť ráfika kolesa A
vA = vB = vC = 0,8π m/s
Uhlová rýchlosť kolesa A
vA = rA ωA
ωA = vA / rA = 0,8π / 0,25 = 3,2 π rad/s
Správna odpoveď je C.
