11 príkladov úloh s rovnomerným kruhovým pohybom
1. Častica sa pohybuje po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou 10 rad/s. Určte (a) uhlovú rýchlosť častice po 10 sekundách (b) uhol, ktorý častica zviera po 10 sekundách.
Diskusia
(a) uhlová rýchlosť po 10 sekundách
Častica sa pohybuje po rovnomernej kružnici = častica sa pohybuje konštantnou uhlovou rýchlosťou. Takže uhlová rýchlosť po 10 sekundách zostáva 10 radiánov/sekundu.
(b) uhol uzavretý po 10 sekundách
Konštantná uhlová rýchlosť 10 radiánov/sekundu znamená, že každú 1 sekundu sa častica otočí o uhol 10 radiánov. Po 2 sekundách sa častica otočí o uhol 2 x 10 = 20 radiánov. Po 10 sekundách sa častica otočí o uhol 10 x 10 radiánov = 100 radiánov.
2. Bod na okraji valca sa pohybuje po kružnici konštantnou rýchlosťou 10 m/s. Polomer valca = 1 meter. Určte (a) rýchlosť okraja valca o 5 sekúnd neskôr (b) vzdialenosť, ktorú prejde okraj valca o 5 sekúnd neskôr (c) dostredivé zrýchlenie bodov, ktoré sú vzdialené 0,5 metra a 1 meter od osi otáčania.
Diskusia
() rýchlosť bodu na okraji valca po 5 sekundách
Valec sa pohybuje po kruhu konštantnou rýchlosťou, preto o 5 sekúnd neskôr zostáva rýchlosť okraja valca 10 metrov za sekundu.
(B) vzdialenosť, ktorú prejde bod na okraji valca po 5 sekundách
Bez vzorca
Rýchlosť 10 metrov za sekundu znamená, že každú 1 sekundu sa bod na okraji valca posunie o 10 metrov. Po 1 sekunde sa bod na okraji valca posunie o 10 metrov. Po 2 sekundách sa bod na okraji valca posunie o 20 metrov. Po 5 sekundách sa bod na okraji valca posunie po kružnici o 50 metrov.
Použitie vzorca :
v = s/t
s = vt = (10)(5) = 50 metrov
(C) dostredivé zrýchlenie (as)
Dostredivé zrýchlenie bodu vzdialeného 0,5 meter od osi je:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 0,5 = 200 m/s2
Dostredivé zrýchlenie bodu vzdialeného 1 meter od osi je:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 1 = 100 m/s2
3. Otočný tanier s polomerom 2 metre sa pohybuje konštantnou uhlovou rýchlosťou 60 ot./min. Určte (a) uhlovú rýchlosť točne o 2 sekundy neskôr (b) uhol, ktorý okolo seba zviera točňa po 1 minúte (b) tangenciálnu rýchlosť, dostredivé zrýchlenie a vzdialenosť prejdenú bodom vzdialeným 1 meter od osi otáčania (c) tangenciálnu rýchlosť, dostredivé zrýchlenie a vzdialenosť prejdenú bodom na okraji točne.
Diskusia
Je známe :
Džavab :
() uhlová rýchlosť ( ) po 2 sekundách
Uhlová rýchlosť je konštantná, preto po 2 sekundách zostáva uhlová rýchlosť otočného taniera 6,28 radiánov/sekundu.
(B) roh ( ) obklopený otočným tanierom po 1 minúte
Uhlová rýchlosť 1 otáčka/sekundu znamená, že každú sekundu otočný tanier vykoná jedno otočenie. Po 60 sekundách otočný tanier vykoná 60 otáčok. Alebo, inak povedané,
Uhlová rýchlosť 6,28 radiánov/sekundu znamená, že každú sekundu sa točňa otočí o uhol 6,28 radiánov. Po 60 sekundách sa točňa otočí o uhol 376,8 radiánov.
4. Koleso auta vykoná vždy 120 otáčok za 60 sekúnd. Aká je uhlová rýchlosť kolesa? Vyjadrite ju: (a) otáčky za minútu (rpm) alebo otáčky za minútu (b) stupne za sekundu (o/s) (c) radiány za sekundu (rad/s)
Diskusia
() uhlová rýchlosť kolesa v jednotkách otáčok za minútu (ot/min)
120 otáčok / 60 sekúnd = 120 otáčok / 1 minúta = 120 otáčok / minúta = 120 ot./min.
(B) uhlová rýchlosť kolesa v stupňoch za sekundu (o/ S)
1 otáčka = 360o120 otáčok = 43200o
Takže 120 otáčok / 60 sekúnd = (120)(360o) / 60 sekúnd = 43200o / 60 sekúnd = 720o/sekunda
(C) uhlová rýchlosť kolesa v radiánoch/sekundu (rad/s)
1 otáčka = 6,28 radiánov
Takže 120 otáčok / 60 sekúnd = (120)(6,28) radiánov / 60 sekúnd = 753,6 radiánov / 60 sekúnd = 12,56 radiánov/sekundu
5. Guľôčka sa točí v kruhovej mise s priemerom 1 m. Ak sa guľôčka otáča okolo okraja misy konštantnou uhlovou rýchlosťou 50 ot./min, potom lineárna rýchlosť a dostredivé zrýchlenie guľôčky sú….
A. 50 ms-1 a 2500 ms-2
B. 5π ms-1 a 25π2 pani-2
C. 5π/3 ms-1 a 25π2/18 ms-2
D. 5π/6 ms-1 a 25π2/18 ms-2
E. 5π/12 ms-1 a 25π2/36 ms-2
Diskusia
Je známe, že:
Priemer kruhu (D) = 1 meter
Polomer kruhu (r) = 0,5 metra
Uhlová rýchlosť (ω) = 50 ot/min = 50 otáčok / 1 minúta
1 otáčka = 2π radiánov
50 otáčok = 50 (2π radiánov) = 100π radiánov
1 minúta = 60 sekúnd
Uhlová rýchlosť (ω) = 100π radiánov / 60 sekúnd = (10π/6) radiánov/sekundu
Otázka: Lineárna rýchlosť (v) a dostredivé zrýchlenie (a)s)
Odpoveď:
Lineárna rýchlosť (v):
v = r ω = (0,5) (10π/6) = 5π/6 m/s
Dostredivé zrýchlenie (a)s):
as = v2/r = (5π/6)2 : 0,5 = 25π2/36 : 0,5 = (25π2/36)(1/0,5)
as = (25π2/18) m/s2
Správna odpoveď je D.
6. Objekt sa pohybuje po kružnici s polomerom 50 cm. Ak sa objekt otáča rýchlosťou 120 ot./min, potom je čas otáčania a rýchlosť objektu….
A. 0,5 s a 2π ms-1
B. 0,5 s a 0,2π ms-1
C. 0,5 s a π ms-1
D. 2 s a 5π ms-1
E. 2 s a 10π ms-1
Diskusia
Je známe, že:
Polomer (r) = 50 cm = 0,5 metra
Uhlová rýchlosť (ω) = 120 ot/min = 120 otáčok / 1 minúta = 120 otáčok / 60 minút = 2 otáčky / 1 sekunda
1 otáčka = 2π radiánov
Uhlová rýchlosť (ω) = 2 (2π radiánov) / 1 sekunda = 4π radiánov/sekundu
Otázka: Čas otáčania (T) a lineárna rýchlosť (v)
Odpoveď:
Čas cyklu alebo obdobie (T):
Perióda je čas, ktorý objekt potrebuje na dokončenie jednej otáčky.
Objekt vykoná 2 otáčky za 1 sekundu = objekt vykoná 1 otáčku za 0,5 sekundy. Takže čas otáčania alebo perióda je 0,5 sekundy.
Rýchlosť objektu (v):
v = r ω = (0,5 metra)(4π radiánov/sekundu) = 2π metrov/sekundu
Správna odpoveď je A.
Preštudujte si materiál o kruhovom pohybe a pravidelnom kruhovom pohybe , aby ste lepšie pochopili diskusiu o tejto otázke.
7. Koleso s polomerom 10 cm sa otáča rovnomerne a vykoná 180 otáčok za minútu. Lineárna rýchlosť bodu na okraji kolesa je…
Diskusia
Je známe, že:
Opýtal sa:
Lineárna rýchlosť (v) ?
Odpoveď:
Bod na okraji kolesa je vzdialený 0,1 metra od stredu kolesa.
Správna odpoveď je A.
8. Objekt sa pohybuje konštantnou rýchlosťou v po kruhovej dráhe s polomerom R s dostredivým zrýchlením (as). Aby sa dostredivé zrýchlenie strojnásobilo v porovnaní s pôvodným, potom...
A. v sa vytvorí 4-krát a R sa vytvorí ešte 2-krát
B. v sa vytvorí 2-krát a R sa vytvorí ešte 4-krát
C. v sa vytvorí 3-krát a R sa vytvorí ešte 3-krát
D. v zostáva a R sa opäť zdvojnásobí
E. v sa opäť zdvojnásobí a R zostáva
Diskusia
Správna odpoveď je C.
9. Kolesá A, B a C sú navzájom spojené, ako je znázornené na obrázku. Ak sú polomery kolies A, B a C 10 cm, 4 cm a 2 cm a koleso B sa otáča uhlovou rýchlosťou 5 rad.s-1 potom sa koleso C otáča uhlovou rýchlosťou….
A. 80 rad.s-1
B. 55 rad.s-1
Cca 40 rad.s-1
D. 25 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Diskusia
Je známe, že:
Odpoveď:
Vzťah medzi kolesom A a kolesom B
Kolesá A a B sú k sebe pripevnené, takže sa otáčajú spoločne. Keďže sa otáčajú spoločne, uhlová rýchlosť kolesa A = uhlová rýchlosť kolesa B.
Vzťah medzi kolesom A a kolesom C
Obvod kolesa A je oveľa väčší ako obvod kolesa C. Ak koleso C zviera uhol 360 stupňovo alebo vykonajte jednu otáčku, pričom koleso A nedosiahne 360 stupňovo alebo jednu otáčku. Uhlová rýchlosť kolesa A teda nie je rovnaká ako uhlová rýchlosť kolesa C.
Kolesá A a C sú však spojené lanom. Keďže sú spojené lanom, počas rovnakého časového intervalu je vzdialenosť prejdená okrajom kolesa A rovnaká ako vzdialenosť prejdená okrajom kolesa C. Lineárna rýchlosť kolesa A je teda lineárna rýchlosť kolesa B.
Záver:
Správna odpoveď je D.
10. Objekt srovnomerný kruhový pohyb s polomerom 6 metrov. Ak objekt za 2 minúty vykoná 16 otáčok, potom lineárna rýchlosť objekt je….
A. 0,8 p ms-1
B. 1,0 p ms-1
C. 1,2 p ms-1
D. 1,4 p ms-1
E. 1,6 p ms-1
Diskusia
Je známe, že:
Polomer (r) = 6 metrov
Uhlová rýchlosť (ω) = 16 otáčok / 2 minúty = 8 otáčok / minúta = 8 otáčok / 60 sekúnd = 0,13 otáčky / sekunda.
Otázka: lineárna rýchlosť (v)?
Odpoveď:
Vzorec pre vzťah medzi lineárnou rýchlosťou (v) a uhlová rýchlosť (ω) :
v = r ω = (6 metrov)(0,13 otáčky/sekundu) = 0,8 otáčky metra/sekundu
Správna odpoveď je A.
Ak je vyjadrené v radiánoch:
1 otáčka = 2π radiánov = 2(3,14) = 6,28 radiánov
Uhlová rýchlosť = 8 (6,28) radiánov / 60 sekúnd = 50,24 radiánov / 60 sekúnd = 0,84 radiánov/sekundu
v = r ω = (6 metrov)(0,84 radiánov/sekundu) = 5,04 radiánov/sekundu
11. Vrtuľa ventilátora s polomerom 20/π cm sa môže otočiť 4-krát za 1 sekundu. Lineárna rýchlosť hrotu vrtule je…
A. 3,2 ms-1
B. 1,6 ms-1
C. 1,3 ms-1
D. 1,0 ms-1
E. 0,8 ms-1
Diskusia
Je známe, že:
Polomer (r) = 20/π m = 20 / 3,14 cm = 6,4 cm = 0,064 metra
Uhlová rýchlosť (ω) = 4 otáčky / 1 sekunda = 4 otáčky/sekundu
1 otáčka = (2)(3,14) radiánov = 6,28 radiánov
Uhlová rýchlosť (ω) = (4)(6,28) radiánov/sekundu = 25,12 radiánov/sekundu
Otázka: lineárna rýchlosť (v) hrotu vrtule?
Odpoveď:
v = r ω = (0,064 metra)(25,12 radiánov/sekundu) = 1,6 metra/sekundu
Správna odpoveď je B.
