දෛශික අංකන පාරිභාෂිතය සහ වර්ග
ගණිතය, භෞතික විද්යාව සහ පරිගණක විද්යාව සාකච්ඡා කිරීමේදී, දෛශික සංකල්පය බොහෝ විට තේරුම් ගැනීමට ඉතා වැදගත් අංගයකි. දෛශික යනු වියුක්ත සංකල්ප පමණක් නොවේ; දත්ත විශ්ලේෂණය, පරිගණක ග්රැෆික්ස් සහ භෞතික විද්යා සමාකරණ වැනි විවිධ ප්රායෝගික අවස්ථාවන්හිදී ඒවා අදාළ වේ. මෙම ලිපියෙන්, අපි දෛශික පාරිභාෂිතය සහ අංකනය සාකච්ඡා කරමු, ඉන්පසු මෙම විෂයයන්හි දක්නට ලැබෙන විවිධ වර්ගයේ දෛශික ගවේෂණය කරන්නෙමු.
දෛශික පාරිභාෂිතය සහ අංකනය
1. දෛශික සහ අදිශ
දෛශිකයක් යනු විශාලත්වය සහ දිශාව යන දෙකම ඇති ගණිතමය වස්තුවකි. ඊට වෙනස්ව, අදිශයක් යනු විශාලත්වය පමණක් ඇති සහ දිශාවක් නොමැති තනි අගයකි. උදාහරණයක් ලෙස, දිශාව නොපෙන්වා 5 m/s ප්රවේගයක් අදිශයක් වන අතර, නැගෙනහිර දෙසට 5 m/s ප්රවේගයක් දෛශිකයකි.
2. දෛශික අංකනය
දෛශික සාමාන්යයෙන් v වැනි තද පැහැති කුඩා අකුරකින් හෝ \(\vec{v}\) වැනි අකුරට ඉහළින් ඇති ඊතලයකින් දැක්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, අපට \(v_1, v_2, v_3\) මූලද්රව්ය සහිත v දෛශිකයක් තිබේ නම්, මෙය මෙසේ ලිවිය හැකිය:
\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]
දෛශික ලිවීමට තවත් ක්රමයක්, විශේෂයෙන් ද්විමාන හෝ ත්රිමාණ සන්දර්භයන් තුළ, සම්මත පදනමක් භාවිතා කිරීමයි. උදාහරණයක් ලෙස:
\[ \vec{v} = v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k} \]
මෙහි \(\hat{i}, \hat{j}\), සහ \(\hat{k}\) යනු x, y, සහ z අක්ෂවල ඒකක දෛශික වේ.
දෛශික වර්ග
1. ස්ථාන දෛශිකය
ස්ථාන දෛශිකයක් යනු යොමු ලක්ෂ්යයකට සාපේක්ෂව අවකාශයේ ලක්ෂ්යයක පිහිටීම විස්තර කරන දෛශිකයකි, සාමාන්යයෙන් O ලක්ෂ්යය (මූලාරම්භය). P ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක (x, y, z) ත්රිමාණ අවකාශයේ තිබේ නම්, ස්ථාන දෛශිකය \(\vec{r}\) ලෙස ප්රකාශ කළ හැක:
\[ \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \]
2. විස්ථාපන දෛශිකය
විස්ථාපන දෛශිකයක් මඟින් ලක්ෂ්යයක එක් ස්ථානයක සිට තවත් ස්ථානයකට පිහිටීම වෙනස් වීම විස්තර කෙරේ. A ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක (x1, y1, z1) සහ B ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක (x2, y2, z2) ඇති බව සිතමු. A සිට B දක්වා විස්ථාපන දෛශිකය \(\vec{d}\) ලෙස ලිවිය හැකිය:
\[ \vec{d} = (x2 – x1)\hat{i} + (y2 – y1)\hat{j} + (z2 – z1)\hat{k} \]
3. ප්රවේග දෛශිකය
ප්රවේගය යනු ඒකක කාලයකට වස්තුවක පිහිටීම වෙනස් වීමේ වේගය පෙන්නුම් කරන දෛශිකයකි. \(\vec{r}(t)\) යනු කාලයට සාපේක්ෂව ස්ථානයේ ශ්රිතයක් නම්, ප්රවේග දෛශිකය \(\vec{v}(t)\) යනු කාලය t ට සාපේක්ෂව \(\vec{r}(t)\) හි ව්යුත්පන්නයයි:
\[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \]
4. ත්වරණ දෛශිකය
ත්වරණ දෛශිකය යනු කාලයට සාපේක්ෂව ප්රවේග දෛශිකයේ ව්යුත්පන්නයයි. එය ඒකක කාලයකට වස්තුවක ප්රවේගයේ වෙනස් වීමේ වේගය දක්වයි. \(\vec{v}(t)\) කාලයට සාපේක්ෂව ප්රවේගයේ ශ්රිතයක් නම්, ත්වරණ දෛශිකය \(\vec{a}(t)\) යනු \(\vec{v}(t)\) හි ව්යුත්පන්නයයි:
\[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \]
5. බල දෛශිකය
නිව්ටන්ගේ දෙවන නියමයට අනුව, බලය යනු ස්කන්ධයේ සහ ත්වරණයේ ගුණිතයකි. බලය ද දෛශිකයකි, මන්ද එයට විශාලත්වය සහ දිශාව යන දෙකම ඇත. m යනු ස්කන්ධය වන අතර \(\vec{a}\) යනු ත්වරණ දෛශිකය නම්, බල දෛශිකය \(\vec{F}\) ලෙස ප්රකාශ කළ හැක:
\[ \vec{F} = m\vec{a} \]
6. ඒකක දෛශිකය
ඒකක දෛශිකයක් යනු එකක විශාලත්වයක් (දිගක්) ඇති දෛශිකයකි. දෛශිකයක ඒකක දෛශිකය \(\vec{v}\) එහි විශාලත්වයෙන් \(\vec{v}\) බෙදීමෙන් ලබා ගත හැකිය. \(\vec{v}\) හි විශාලත්වය \(||\vec{v}||\) නම්, එහි ඒකක දෛශිකය මෙසේ ලිවිය හැකිය:
\[ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} \]
7. ශුන්ය දෛශිකය
ශුන්ය දෛශිකයක් යනු සියලුම සංරචක ශුන්ය වන දෛශිකයකි, එය සාමාන්යයෙන් \(\vec{0}\) මගින් දක්වනු ලැබේ. මෙම දෛශිකයට දිශාවක් නොමැති අතර එහි විශාලත්වය ශුන්ය වේ. ත්රිමාණ අවකාශයක උදාහරණයක් වන්නේ:
\[ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
8. විකලාංග දෛශික
දෛශික දෙකක් ඒවායේ අභ්යන්තර ගුණිතය ශුන්ය නම් ඒවා විකලාංග යැයි කියනු ලැබේ. \(\vec{u}\) සහ \(\vec{v}\) දෛශික දෙකක් නම්, ඒවා පහත පරිදි නම් විකලාංග වේ:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
9. කොලීනියර් දෛශික සහ කොප්ලැනර් දෛශික
දෛශික දෙකක් එකම සරල රේඛාවක් දිගේ පිහිටා තිබේ නම් හෝ සමාන්තර වේ නම් ඒවා සහසම්බන්ධී යැයි කියනු ලැබේ. ඒවා එකිනෙකට අදිශ ගුණාකාර ලෙස ප්රකාශ කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස:
\[ \vec{v} = k\vec{u} \]
සමහර පරිමාණයන් සඳහා \(k\).
මේ අතර, දෛශික තුනක් එකම තලයක පිහිටා තිබේ නම් ඒවා සහ තලීය යැයි කියනු ලැබේ. ඒවා අනෙක් දෛශික දෙකෙහි රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස ප්රකාශ කළ හැකිය.
දෛශික මත මෙහෙයුම්
1. දෛශික එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
දෛශික එකතු කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ ඒවායේ අනුරූප සංරචක එකතු කිරීමෙනි. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) සහ \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\) නම්, එසේ නම්:
\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix} \]
අනුරූප සංරචක අඩු කිරීමෙන් අඩු කිරීම සිදු කෙරේ:
\[ \vec{u} – \vec{v} = \ආරම්භය{pmatrix} u_1 – v_1 \\ u_2 – v_2 \\ u_3 – v_3 \අවසානය{pmatrix} \]
2. අදිශ ගුණ කිරීම
අදිශ ගුණ කිරීම යනු අදිශයක් (සංඛ්යාත්මක අගයක්) සහිත දෛශිකයක් සම්බන්ධ වන මෙහෙයුමකි. k යනු අදිශයක් නම් සහ \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), එසේ නම්:
\[ k\vec{v} = \ආරම්භය{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \අවසානය{pmatrix} \]
3. අභ්යන්තර නිෂ්පාදනය (තිත් නිෂ්පාදනය)
\(\vec{u}\) සහ \(\vec{v}\) දෛශික දෙකක අභ්යන්තර ගුණිතය අදිශයකි. එය ගණනය කළ හැක්කේ:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]
4. හරස් නිෂ්පාදනය
\(\vec{u}\) සහ \(\vec{v}\) දෛශික දෙකක හරස් ගුණිතය මෙම දෛශික දෙකටම විකලාංග වන නව දෛශිකයක් නිපදවයි. ත්රිමාණ අවකාශයේ දී, මෙය ගණනය කරනු ලබන්නේ:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 සහ v_2 සහ v_3
\අවසානය{vmatrix} \]
නිගමනය
දෛශික පාරිභාෂික ශබ්ද මාලාව සහ අංකනය මෙන්ම ඒවායේ වර්ග තේරුම් ගැනීම විවිධ විද්යාත්මක විෂයයන් වලදී ඉතා වැදගත් වේ. දෛශික යනු වියුක්ත ගණිතමය ආයතන පමණක් නොව, භෞතික විද්යාව, ඉංජිනේරු විද්යාව සහ තොරතුරු තාක්ෂණ විශ්ලේෂණයේ ප්රබල මෙවලම් ද වේ. මෙම මූලික සංකල්ප පිළිබඳ හොඳ අවබෝධයක් ඇතිව, අපට පුළුල් පරාසයක ක්ෂේත්රවල සංකීර්ණ ගැටළු වලට පහසුවෙන් මුහුණ දිය හැකිය.
