සංඛ්යාන දත්තවල සාමාන්ය අපගමනය තීරණය කිරීමේ ශිල්පීය ක්රම
සංඛ්යාලේඛනවලදී, දත්තවල "කේන්ද්රය" තේරුම් ගැනීම සරලව - උදාහරණයක් ලෙස, මධ්යන්යය හෝ මධ්යන්යය හරහා - බොහෝ විට ප්රමාණවත් නොවේ. දත්ත කට්ටල දෙකකට එකම සාමාන්යයක් තිබිය හැකි නමුත්, ඒවායේ "විචලනයේ" මට්ටම්වල සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ. එබැවින්, විසරණයේ මිනුම් වැදගත් වේ. තේරුම් ගැනීමට සහ භාවිතා කිරීමට සාපේක්ෂව පහසු විසරණයේ එක් මිනුමක් වන්නේ මධ්යන්ය අපගමනයයි. ගණනය කිරීමේ පියවර සහ උදාහරණ සමඟ සම්පූර්ණ කරන ලද විවිධ සංඛ්යානමය දත්තවල මධ්යන්ය අපගමනය තීරණය කිරීමේ ශිල්පීය ක්රම මෙම ලිපියෙන් සාකච්ඡා කෙරේ.
සාමාන්ය අපගමනය අවබෝධ කර ගැනීම
මධ්යන්ය අපගමනය යනු මධ්ය ප්රවණතාවයේ මිනුමකින්, සාමාන්යයෙන් අංක ගණිත මධ්යන්යය (මධ්යන්යය) හෝ මධ්යන්යයෙන්, එක් එක් දත්ත ලක්ෂ්යයේ සාමාන්ය දුර ප්රකාශ කරන මිනුමකි. අදාළ දුර යනු දත්ත සහ මධ්ය අගය අතර වෙනසෙහි නිරපේක්ෂ අගය වන අතර එමඟින් කිසිදු සෘණ වෙනසක් ධන වෙනසක් "අවලංගු" නොවේ.
සාමාන්යයෙන්, මධ්යන්ය අපගමනය මඟින් දත්ත එහි මධ්ය අගයෙන් කොතරම් දුරට පැතිරී ඇත්ද යන්න විස්තර කෙරේ. මධ්යන්ය අපගමනය කුඩා වන තරමට, දත්ත කේන්ද්රය වටා වඩාත් තදින් පොකුරු කර ඇත; අගය විශාල වන තරමට, දත්ත වඩාත් විචල්ය වේ.
නිරපේක්ෂ වටිනාකම භාවිතා කරන්නේ ඇයි?
දත්ත සහ මධ්යන්යය අතර වෙනස්කම්වල සාමාන්යය නිරපේක්ෂ අගයකින් තොරව ගණනය කළහොත්, වෙනස්කම්වල එකතුව සැමවිටම ශුන්ය වනු ඇත (මන්ද මධ්යන්යය සමතුලිතතා ලක්ෂ්යය වේ). උදාහරණයක් ලෙස, +5 සහ -5 වෙනස්කම් තිබේ නම්, ඒවා 0 දක්වා එකතු වේ. එබැවින්, නිරපේක්ෂ අගයන් භාවිතා කරනු ලැබේ, එවිට අපගමනයන් මධ්යයේ සිට දත්තවල දුර සැබවින්ම පිළිබිඹු කරයි.
තනි දත්ත සඳහා මධ්යන්ය අපගමන සූත්රය
තනි දත්ත සඳහා (කාණ්ඩගත නොකළ), මධ්යන්යයෙන් සාමාන්ය අපගමනය සකස් කර ඇත:
\[
SR = \frac{\එකතුව |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
කෙතරංගන්:
– \( SR \): සාමාන්ය අපගමනය
– \( x_i \): i-වන දත්ත
– \( \bar{x} \): අංක ගණිත මධ්යන්යය (මධ්යන්යය)
– \( n \): දත්ත ප්රමාණය
තනි දත්ත ගණනය කිරීමේ තාක්ෂණය (පියවර)
1. සියලුම දත්තවල මධ්යන්යය \( \bar{x} \) ගණනය කරන්න.
2. එක් එක් දත්ත සහ මධ්යන්යය අතර වෙනස ගණනය කරන්න: \( x_i – \bar{x} \).
3. එක් එක් වෙනසෙහි නිරපේක්ෂ අගය ගන්න: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. වෙනස්කම්වල සියලු නිරපේක්ෂ අගයන් එකතු කරන්න.
5. දත්ත ගණන \( n \) න් බෙදන්න.
තනි දත්ත උදාහරණය
අගය දත්ත: 6, 8, 10, 12, 14
1) මධ්යන්යය:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) වෙනසෙහි නිරපේක්ෂ වටිනාකම:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
එකතුව = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) සාමාන්ය අපගමනය:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
මෙයින් අදහස් කරන්නේ සාමාන්යයෙන් සෑම අගයක්ම මධ්යන්යයෙන් (10) ඒකක 2,4 කින් අපගමනය වන බවයි.
නිරන්තර (විවික්ත) දත්ත සඳහා මධ්යන්ය අපගමනය
දත්ත අගයන් සහ සංඛ්යාත ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කරන්නේ නම් (උදා: වගුවක්), සූත්රය පහත පරිදි වේ:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
කෙතරංගන්:
– \( f_i \): දත්ත සංඛ්යාතය \( x_i \)
සංඛ්යාත දත්ත ගණනය කිරීමේ ශිල්පීය ක්රම
1. මධ්යන්යය ගණනය කරන්න: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. \( |x_i-\bar{x}| \) ගණනය කරන්න.
3. සංඛ්යාතයෙන් ගුණ කරන්න: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. පියවර 3 හි සියලුම ප්රතිඵල එකතු කරන්න.
5. මුළු සංඛ්යාතයෙන් බෙදන්න
විවික්ත දත්ත උදාහරණ
| අගය (x) | සංඛ්යාතය (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
මුළු සංඛ්යාතය: \(2+3+1=6\)
අදහස්:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
අපගමනය ගණනය කරන්න:
– x=5 සඳහා: |5−6,67|=1,67 → ගුණිත f=2 → 3,34
– x=7 සඳහා: |7−6,67|=0,33 → ගුණිත f=3 → 0,99
– x=9 සඳහා: |9−6,67|=2,33 → ගුණිත f=1 → 2,33
එකතුව: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
සාමාන්ය අපගමනය:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
කාණ්ඩගත දත්ත සඳහා මධ්යන්ය අපගමනය (පන්ති පරතරය)
කාණ්ඩගත දත්තවල (උදාහරණයක් ලෙස, අන්තරාල සංඛ්යාත ව්යාප්ති), දත්ත අගයන් තනි තනිව නොව පන්තිවල ප්රදර්ශනය කෙරේ. මෙම කාර්යය සඳහා, පන්තියක් තුළ දත්ත නිරූපණය කිරීම සඳහා පන්තියේ මධ්ය ලක්ෂ්යය (xi) භාවිතා වේ.
සූත්රය:
\[
SR=\frac{\එකතුව f_i |x_i-\තීරුව{x}|}{\එකතුව f_i}
\]
කෙසේ වෙතත්, \(x_i\) යනු පන්තියේ මධ්ය ලක්ෂ්යය වේ.
කණ්ඩායම් දත්ත ගණනය කිරීමේ ශිල්පීය ක්රම
1. එක් එක් පන්තියේ මධ්ය ලක්ෂ්යය තීරණය කරන්න:
\[
x_i=\frac{\පෙළ{පහළ සීමාව + ඉහළ සීමාව}}{2}
\]
2. කණ්ඩායම් මධ්යන්යය ගණනය කරන්න:
\[
\bar{x}=\frac{\එකතුව f_i x_i}{\එකතුව f_i}
\]
3. \( |x_i-\bar{x}| \) ගණනය කරන්න.
4. සංඛ්යාතයෙන් ගුණ කරන්න \( f_i \)
5. සියලුම ප්රතිඵල එකතු කරන්න, ඉන්පසු මුළු සංඛ්යාතයෙන් බෙදන්න.
කණ්ඩායම් දත්ත උදාහරණය
| පන්තිය | f |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
මධ්ය ලක්ෂ්යය:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
මුළු f = 10
අදහස්:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
අපගමනය:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
එකතුව = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
සාමාන්ය අපගමනය:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
මධ්යන්යයෙන් මධ්යන්ය අපගමනය
මධ්යන්යයට අමතරව, මධ්යන්යයෙන් ද සාමාන්ය අපගමනය ගණනය කළ හැකිය. මූලධර්මය එකම වේ, මධ්ය අගය පමණක් වෙනස් වේ. දත්තවල බාහිර අගයන් අඩංගු වන විට මෙය ප්රයෝජනවත් වේ, මන්ද මධ්යන්යය ආන්තික අගයන්ට වඩා ඔරොත්තු දෙන බැවිනි.
තනි දත්ත සඳහා:
\[
SR_{Me}=\frac{\එකතුව |x_i-Me|}{n}
\]
සංඛ්යාත දත්ත සඳහා:
\[
SR_{Me}=\frac{\එකතුව f_i|x_i-Me|}{\එකතුව f_i}
\]
මධ්යන්ය අපගමනයේ වාසි සහ සීමාවන්
අතිරික්තය:
1. දත්ත මධ්යස්ථානයේ සිට "සාමාන්ය දුර" භාවිතා කරන නිසා තේරුම් ගැනීමට පහසුය.
2. සියලුම දත්ත භාවිතා කරන්න (නිශ්චිත දත්ත පමණක් නොවේ).
3. විවිධ ආකාරයේ දත්ත ඉදිරිපත් කිරීම් සඳහා ගණනය කළ හැක.
සීමාවන්:
1. උසස් සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණයේ සම්මත අපගමනයට වඩා අඩු ජනප්රියත්වයක්.
2. නිරපේක්ෂ අගයන් භාවිතය සමහර වීජීය උපාමාරු සඳහා අඩු පහසුවක් ඇති කරයි.
3. බොහෝ අනුමාන ක්රමවල සම්මත අපගමනය තරම් ශක්තිමත් නොවේ.
වසා දැමීම
සංඛ්යානමය දත්තවල මධ්යන්ය අපගමනය තීරණය කිරීමේ තාක්ෂණය අත්යවශ්යයෙන්ම ස්ථාවර රටාවක් අනුගමනය කරයි: මධ්ය අගය (මධ්යන්ය හෝ මධ්යන්ය) තීරණය කිරීම, මධ්යයේ සිට එක් එක් දත්ත ලක්ෂ්යයේ (හෝ පන්ති මධ්ය ලක්ෂ්යයේ) නිරපේක්ෂ දුර ගණනය කිරීම, ඉන්පසු ඒවා සාමාන්යකරණය කිරීම - දත්ත වගුවක ඉදිරිපත් කර ඇත්නම් සංඛ්යාතය සැලකිල්ලට ගනිමින්. මධ්යන්ය අපගමනය දත්ත විචල්යතාවය සහජයෙන්ම විස්තර කිරීම සඳහා විසරණය පිළිබඳ පහසු මිනුමක් වේ. පියවර තේරුම් ගැනීමෙන්, ඔබට දත්ත කට්ටල හරහා විචලනය සංසන්දනය කළ හැකි අතර දත්ත කට්ටලයක ස්ථායිතාව වඩාත් සම්පූර්ණයෙන් තක්සේරු කළ හැකිය.
ඔබට අවශ්ය නම්, මෙම ලිපියේ අනුවාදයක් පාසල් පැවරුම් ආකෘතියකින් (හැඳින්වීම–සාකච්ඡාව–නිගමනය සමඟ) සෑදීමට හෝ සාකච්ඡාව සමඟ පුහුණු ප්රශ්න එකතු කිරීමට මට ඔබට උදව් කළ හැකිය.
