සංඛ්යාලේඛනවල ජැක්නයිෆ් ක්රමය
සංඛ්යාලේඛනවල, විශේෂයෙන් ඇස්තමේන්තුවක අවිනිශ්චිතතාවය මැනීම සඳහා, ජැක්නිෆ් ක්රමය වැදගත් නැවත සාම්පල ලබා ගැනීමේ තාක්ෂණයකි. ඇස්තමේන්තුකරුවෙකුගේ නැඹුරුව සහ විචලනය ඇස්තමේන්තු කිරීමට මෙන්ම සම්මත දෝෂය වැනි නිරවද්යතා මිනුම් ගොඩනැගීමට ජැක්නිෆ් බොහෝ විට භාවිතා වේ. මෙම තාක්ෂණය සාපේක්ෂව සරල වන අතර, අධික ලෙස දැඩි බෙදාහැරීමේ උපකල්පන අවශ්ය නොවන අතර, සම්භාව්ය සංඛ්යාලේඛනවල සිට නවීන දත්ත විශ්ලේෂණය දක්වා පුළුල් පරාසයක ගැටළු සඳහා යෙදිය හැකිය.
පසුබිම සහ මූලික සංකල්ප
කොස් පිහිය මොරිස් ක්වෙනූයිල් විසින් හඳුන්වා දෙන ලද අතර පසුව ජෝන් ටුකී විසින් ජනප්රිය කරන ලදී. "කොස් පිහිය" යන නම බහුකාර්ය සාක්කු පිහියකින් ආභාෂය ලබා ඇත, මන්ද මෙම ක්රමය නම්යශීලී වන අතර විවිධ සන්දර්භයන් තුළ භාවිතා කළ හැකිය. මූලික අදහස මෙයයි: අපට n ප්රමාණයේ නියැදියක් තිබේ නම්, අපි සෑම අවස්ථාවකම එක් නිරීක්ෂණයක් ඉවත් කිරීමෙන් "ව්යාජ සාම්පල" කිහිපයක් නිර්මාණය කරමු, ඉන්පසු එක් එක් නියැදිය මත ඇස්තමේන්තුකරු නැවත ගණනය කරමු. එක් නිරීක්ෂණයක් ඉවත් කළ විට ඇස්තමේන්තුකරු වෙනස් වන ආකාරය නිරීක්ෂණය කිරීමෙන්, දත්තවල විචලනය මත ඇස්තමේන්තුකරුගේ ස්ථායිතාව පිළිබඳ අවබෝධයක් අපට ලැබේ.
උදාහරණයක් ලෙස, අපට \(x_1, x_2, \dots, x_n\) දත්ත ඇති බවත් ඇස්තමේන්තුකරු \( \hat{\theta}=t(x_1,\dots,x_n)\) භාවිතා කර \(\theta\) පරාමිතියක් ඇස්තමේන්තු කිරීමට අවශ්ය බවත් සිතමු. ජැක්නයිෆ් හි, අපි \(n-1\) ප්රමාණයේ n උප සාම්පල සාදන්නෙමු, එනම් \(x_i\) මකා දමන \(i\) වන උප නියැදිය. ඉන්පසු අපි ගණනය කරන්නේ:
\[
\hat{\theta}_{(i)} = t(x_1,\තිත්,x_{i-1},x_{i+1},\තිත්,x_n)
\]
\(\hat{\theta}_{(i)}\) අගය leave-one-out ඇස්තමේන්තුව ලෙස හැඳින්වේ.
ජැක්නයිෆ් ක්රම පියවර
ක්රියාපටිපාටිය අනුව, ජැක්නයිෆ් පහත පියවර වලින් පැහැදිලි කළ හැක:
1. සම්පූර්ණ දත්ත මත ඇස්තමේන්තුකරු ගණනය කරන්න
මුළු නියැදිය පුරා \(\hat{\theta}\) ගණනය කරන්න.
2. එක්-අවුට් උප සාම්පල සාදන්න
එක් එක් \(i = 1,2,\තිත්,n\) සඳහා, \(x_i\) නිරීක්ෂණය ඉවත් කර ඇස්තමේන්තුකරු \(\hat{\theta}_{(i)}\) ගණනය කරන්න.
3. ජැක්නයිෆ් ඇස්තමේන්තුකරුගේ සාමාන්යය ගණනය කරන්න
සාමාන්ය එක්-අත්හදා බැලීම්:
\[
\bar{\theta}_{(\cdot)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \hat{\theta}_{(i)}
\]
4. ඇස්තමේන්තු විචලනය (හෝ සම්මත දෝෂය)
ජැක්නයිෆ් විචලනය සාමාන්යයෙන් ගණනය කරනු ලබන්නේ:
\[
\widehat{\mathrm{Var}}_{J}(\hat{\theta}) = \frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\hat{\theta}_{(i)} – \bar{\theta}_{(\cdot)}\දකුණ)^2
\]
සම්මත දෝෂය යනු විචලනයේ වර්ගමූලයයි.
5. පක්ෂග්රාහී ඇස්තමේන්තුව සහ පක්ෂග්රාහී නිවැරදි කිරීම (විකල්ප)
ජැක්නයිෆ්ට පහත සඳහන් දෑ හරහාද පක්ෂග්රාහීත්වය තක්සේරු කළ හැකිය:
\[
\widehat{\mathrm{Bias}}_{J}(\hat{\theta}) = (n-1)\left(\bar{\theta}_{(\cdot)} – \hat{\theta}\right)
\]
පක්ෂග්රාහී නිවැරදි කිරීම සිදු කළ හැක්කේ:
\[
\hat{\theta}_{J} = \hat{\theta} – \widehat{\mathrm{Bias}}_{J}(\hat{\theta})
\]
අර්ථ නිරූපණය: එක්-අවුට් සාමාන්යය සම්පූර්ණ ඇස්තමේන්තුකරුට වඩා ක්රමානුකූලව වෙනස් නම්, නිවැරදි කළ හැකි පක්ෂග්රාහී බවක් පෙන්නුම් කරයි.
බුද්ධිමය උදාහරණය: නියැදි මධ්යන්යය
කොස් පිහිය බුද්ධිමත්ව තේරුම් ගැනීමට, නියැදි මධ්යන්ය ඇස්තමේන්තුව සලකා බලන්න:
\[
\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\]
අපි එක් නිරීක්ෂණයක් \(x_i\) ඉවත් කළහොත්, මධ්යන්යය වන්නේ:
\[
\hat{\mu}_{(i)} = \frac{1}{n-1}\sum_{j\ne i} x_j
\]
සාමාන්යයන් සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, කොස් පිහිය විශාල "පුදුමයක්" ලබා නොදෙන්නේ සාමාන්යය ස්ථායී වන අතර නැඹුරුව කුඩා වන බැවිනි (බොහෝ සන්දර්භයන් තුළ). කෙසේ වෙතත්, වඩාත් සංකීර්ණ ඇස්තමේන්තුකරුවන් සඳහා - මධ්යන්යය, විශේෂිත ප්රතිගාමී සංගුණකයක්, සහසම්බන්ධයක් හෝ රේඛීය නොවන සංඛ්යාලේඛනයක් වැනි - තනි දත්ත ලක්ෂ්යයක් ඉවත් කිරීමෙන් ඇතිවන වෙනස ඇස්තමේන්තුකරුගේ සංවේදීතාව හෙළි කළ හැකි අතර එහි සම්මත දෝෂය පිළිබඳ ප්රයෝජනවත් ඇස්තමේන්තුවක් නිපදවිය හැකිය.
ව්යාජ අගය: ජැක්නයිෆ් හි වැදගත් සංකල්පයක්
සමහර සාකච්ඡාවලදී, ජැක්නයිෆ් සෑම නිරීක්ෂණයක් සඳහාම ව්යාජ අගයක් හඳුන්වා දෙයි:
\[
\theta_i^{ } = n\hat{\theta} – (n-1)\hat{\theta}_{(i)}
\]
එවිට ජැක්නයිෆ් ඇස්තමේන්තුව ව්යාජ අගයන්හි සාමාන්යය ලෙස ලිවිය හැකිය:
\[
\hat{\theta}_{J} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \theta_i^{ }
\]
ව්යාජ අගය ප්රවේශය මඟින් එක් එක් නිරීක්ෂණය අවසාන ඇස්තමේන්තුවට "දායක වන" ආකාරය සහ පක්ෂග්රාහී විශ්ලේෂණයට පහසුකම් සපයන ආකාරය පැහැදිලි කිරීමට උපකාරී වේ.
ජැක්නයිෆ් සහ බූට්ස්ට්රැප් අතර සම්බන්ධතාවය
ජැක්නයිෆ් බොහෝ විට බූට්ස්ට්රැප් සමඟ සංසන්දනය කරනු ලැබේ, මන්ද දෙකම නැවත සාම්පල ලබා ගැනීමේ ක්රම වේ. කෙසේ වෙතත්, වැදගත් වෙනස්කම් තිබේ:
– ජැක්නයිෆ් එක් දත්තයක් ඉවත් කිරීමෙන් උප නියැදීම භාවිතා කරයි (එකක් ඉවත් කරන්න). අනුරූ ගණන නිර්ණය වේ: හරියටම n .
– බූට්ස්ට්රැපිං මඟින් ප්රතිස්ථාපනය සහිත නැවත නියැදියක් නිර්මාණය කරයි, සාමාන්යයෙන් බොහෝ වාර ගණනක් (උදා: 1000 හෝ 10.000 වාරයක්), එමඟින් ඇස්තමේන්තුකරුගේ ආනුභවික ව්යාප්තිය පිළිබඳ ඇස්තමේන්තුවක් සපයයි.
සාමාන්යයෙන්, bootstrap එක වඩාත් නම්යශීලී වන අතර සංකීර්ණ ගැටළු සඳහා බොහෝ විට වඩාත් නිවැරදි වේ, නමුත් jackknife සරල සහ පරිගණකමය වශයෙන් අඩු වියදම් සහිත වේ. විශාල දත්ත කට්ටල මත, jackknife දළ සම්මත දෝෂ ලබා ගැනීම සඳහා ඉක්මන් විකල්පයක් විය හැකිය, විශේෂයෙන් ඇස්තමේන්තුකරු මිල අධික නමුත් තවමත් n වාරයක් කළ හැකි විට.
ජැක්නයිෆ් ක්රමයේ වාසි
ජැක්නයිෆ් එකක ඇති වාසි කිහිපයක් නම්:
1. සරල සහ ක්රියාත්මක කිරීමට පහසුය
"එකක්" යන අත්හැරීමේ සංකල්පය බුද්ධිමත් වන අතර, විචල්යතා සූත්රය සරල ය.
2. බෙදාහැරීමේ උපකල්පන කිහිපයක්
ජැක්නයිෆ් සඳහා සෑම විටම සාමාන්යභාවය පිළිබඳ උපකල්පනයක් හෝ විශේෂිත ව්යාප්ති හැඩයක් අවශ්ය නොවේ.
3. ඇතැම් ගණනය කිරීම් සඳහා කාර්යක්ෂමයි
ඇස්තමේන්තු ගණනය කිරීම් වලින් n ගුණයක් පමණක් අවශ්ය වන නිසා, ජැක්නයිෆ් බොහෝ විට බූට්ස්ට්රැපිං වලට වඩා සැහැල්ලු වන අතර එයට දහස් ගණනක් අනුරූ අවශ්ය වේ.
4. පක්ෂග්රාහී ඇස්තමේන්තුව සඳහා ප්රයෝජනවත් වේ
විශේෂයෙන් විශ්ලේෂණාත්මකව ගණනය කිරීම පහසු නොවන රේඛීය නොවන ඇස්තමේන්තු වල.
සීමාවන් සහ අවධානය යොමු කළ යුතු දේවල්
බලවත් වුවද, ජැක්නයිෆ් හි සීමාවන් ඇත:
1. ඉතා සුමට නොවන ඇස්තමේන්තුකරුවන් සඳහා අඩු නිරවද්යතාවයකින් යුක්තයි
උදාහරණයක් ලෙස, සමහර තත්වයන්හි මධ්යන්ය හෝ ක්වොන්ටයිල්, හෝ ආන්තික අගයන් මත රඳා පවතින සංඛ්යාලේඛන, ජැක්නයිෆ් සමහර විට විචලනය පිළිබඳ අඩු නිරවද්ය ඇස්තමේන්තු සපයයි.
2. පරායත්තතා සහිත දත්ත සඳහා සැමවිටම සුදුසු නොවේ
කාල ශ්රේණි හෝ අවකාශීය දත්ත වලදී, නිරීක්ෂණ ස්වාධීන නොවේ. තනි ලක්ෂ්යයක් ඉවත් කිරීමෙන් යැපුම් ව්යුහය බිඳ දැමිය හැකිය. මෙවැනි අවස්ථා සඳහා, බ්ලොක් ජැක්නයිෆ් (වරකට එක් දත්ත බ්ලොක් එකක් ඉවත් කිරීම) වැනි වෙනස්කම් භාවිතා වේ.
3. ඉහළ බලපෑම් නිරීක්ෂණ වලට සංවේදී
බාහිර දත්ත හෝ "උත්තෝලිත" දත්ත තිබේ නම්, නිවාඩු-එක-අවුට් ඇස්තමේන්තුව දැඩි ලෙස වෙනස් විය හැකිය. මෙය සැමවිටම දුර්වලතාවයක් නොවේ - ඇත්ත වශයෙන්ම, එය වැදගත් සංඥාවක් විය හැකිය - නමුත් ප්රතිඵලයක් ලෙස ඇතිවන විචලනය විශාල විය හැකි අතර ප්රවේශමෙන් අර්ථ නිරූපණය කිරීම අවශ්ය වේ.
4. ඉතා විශාල n හි පරිමාණය කිරීමේ හැකියාව
bootstrapping වලට වඩා ලාභදායී වුවද, jackknife සඳහා තවමත් n ඇස්තමේන්තු ඇගයීම් අවශ්ය වේ. n මිලියන ගණනින් නම් සහ ඇස්තමේන්තු මිල අධික නම්, මෙය ගැටළු සහගත විය හැකිය.
වෙනස්කම්: ඩිලීට්-ඩී ජැක්නයිෆ් සහ බ්ලොක් ජැක්නයිෆ්
නිවාඩු-එක-අවුට් වලට අමතරව, වෙනස්කම් තිබේ:
– Delete-d jackknife: අනුරූකරණයකට d නිරීක්ෂණ මකා දමයි (1ක් වෙනුවට). මෙය ඇතැම් අවස්ථාවන්හිදී නිරවද්යතාවය වැඩි දියුණු කළ හැකිය, විශේෂයෙන් සුමට නොවන ඇස්තමේන්තුකරුවන් සඳහා.
– බ්ලොක් ජැක්නයිෆ්: ස්වයංක්රීය සහසම්බන්ධතාවයක් ඇති දත්ත සඳහා සුදුසු, යාබද නිරීක්ෂණ කිහිපයක් අඩංගු බ්ලොක් එකක් ඉවත් කරයි (උදා: දෛනික, සතිපතා හෝ අවකාශීය දත්ත).
d හෝ බ්ලොක් ප්රමාණය තේරීම දත්ත ව්යුහය සහ අනුමාන ඉලක්කය මත රඳා පවතී.
ප්රායෝගිකව කොස් පිහිය යෙදීම
ජැක්නයිෆ් විවිධ ක්ෂේත්රවල භාවිතා වේ:
– ජෛව සංඛ්යාලේඛන සහ වසංගත රෝග විද්යාව: විශ්ලේෂණාත්මක සූත්ර දුෂ්කර වන විට අවදානම් මිනුම් හෝ ආකෘති පරාමිතීන් සඳහා සම්මත දෝෂ ඇස්තමේන්තු කිරීම.
– ආර්ථිකමිතික: පරාමිති ස්ථායිතාව ඇගයීම, විශේෂයෙන් සීමිත සාම්පලවල.
– පරිගණක විද්යාව සහ යන්ත්ර ඉගෙනීම: නිවාඩු-එක-අවුට් සංකල්පය හරස්-වලිතකරණයට සමීපව සම්බන්ධ වේ, නමුත් ඉලක්ක වෙනස් වේ (පුරෝකථන වලංගුකරණය එදිරිව පරාමිති නිරවද්යතා ඇස්තමේන්තුව).
– පරිසර විද්යාව සහ සමීක්ෂණ: විවිධත්වය හෝ ඇතැම් දර්ශක ඇස්තමේන්තු කිරීම සහ සංකීර්ණ සංඛ්යාලේඛනවල අවිනිශ්චිතභාවය.
වසා දැමීම
කොස් පිහිය ක්රමය අදටත් අදාළ වන සම්භාව්ය නැවත සාම්පල ලබා ගැනීමේ තාක්ෂණයකි. සරල අදහසක් භාවිතා කිරීමෙන් - එක් නිරීක්ෂණයක් මඟ හැර ඇස්තමේන්තුකරු නැවත ගණනය කිරීම - කොස් පිහියට සංකීර්ණ ගණිතමය ගණනය කිරීම් නොමැතිව විචලනය, සම්මත දෝෂය සහ නැඹුරුව පිළිබඳ ඇස්තමේන්තු ලබා දිය හැකිය. කෙසේ වෙතත්, එහි භාවිතය සඳහා ඇස්තමේන්තුකරුගේ ස්වභාවය, නියැදි ප්රමාණය සහ දත්තවල යැපුම් ව්යුහය සලකා බැලීම අවශ්ය වේ. ප්රායෝගිකව, කොස් පිහිය බොහෝ විට ඉක්මන් සහ විනිවිද පෙනෙන විකල්පයක් වන අතර, නැතහොත් බූට්ස්ට්රැපිං වැනි වඩාත් ශක්තිමත් නැවත සාම්පල ලබා ගැනීමේ ක්රම භාවිතා කිරීමට අනුපූරකයකි.
ඔබට අවශ්ය නම්, යෙදුම පැහැදිලි කිරීම සඳහා මට කුඩා සංඛ්යාත්මක ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් (උදා: සහසම්බන්ධය හෝ ප්රතිගාමීත්වය සඳහා) එක් කළ හැකිය, නැතහොත් R/Python හි ජැක්නයිෆ් ක්රියාත්මක කිරීමක් ඇතුළත් කළ හැකිය.
