කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව පිළිබඳ මූලික කරුණු

කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව පිළිබඳ මූලික කරුණු

සම්භාවිතාව යනු සිදුවීමක් සිදුවීමට ඇති ඉඩකඩ කොපමණද යන්න මැනීමට විධිමත් ක්‍රමයකි. බොහෝ සැබෑ ලෝක අවස්ථාවන්හිදී, සිදුවීමක සම්භාවිතාව තනිවම නොපවතින නමුත් අප දැනටමත් දන්නා අනෙකුත් තොරතුරු මගින් එය බලපායි. කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව පිළිබඳ සංකල්පය වැදගත් වන්නේ මෙහිදීය. කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව අතිරේක තොරතුරු ලබා ගැනීමෙන් පසු යම් සිදුවීමක් පිළිබඳ අපගේ විශ්වාසයන් යාවත්කාලීන කිරීමට අපට උපකාරී වේ. මෙම ලිපිය එහි අර්ථ දැක්වීම, මූලික සූත්‍රය, උදාහරණ සහ නිෂ්පාදන රීතියට සහ බේස්ගේ ප්‍රමේයයට එහි සම්බන්ධතාවය සාකච්ඡා කරයි.

1. කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව අවබෝධ කර ගැනීම

සහජයෙන්ම, කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව යනු සිදුවීම B සිදුවී ඇති බැවින් සිදුවීම A සිදුවීමේ අවස්ථාවයි. එය මෙසේ ලියා ඇත:

\[
P(A \මැද B)
\]

"A දී ඇති B හි සම්භාවිතාව" කියවන්න.

උදාහරණයක් ලෙස, අද (B) වැසි ඇද හැලෙන බැවින්, යමෙකු කුඩයක් (A) රැගෙන යාමේ සම්භාවිතාව අපට දැන ගැනීමට අවශ්‍යයි. පැහැදිලිවම, වැසි වැටෙන බව අප දන්නේ නම් කුඩයක් රැගෙන යාමේ සම්භාවිතාව වැඩි වේ. "වහිනවා" යන තොරතුරු අපගේ සලකා බැලීමේ අවකාශය වෙනස් කරයි - අපි තවදුරටත් සියලු කාලගුණික තත්ත්වයන් සලකා බලන්නේ නැත, නමුත් වැසි වැටෙන විට තත්වයන් පමණි.

2. කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතා සූත්‍රය

කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව පිළිබඳ ගණිතමය අර්ථ දැක්වීම:

\[
P(A \මැද B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]

\(P(B) > 0\) බව සපයා ඇත.

කෙතරංගන්:
– \(P(A \mid B)\): B ඇති වූ විට A ඇති වීමේ සම්භාවිතාව.
– \(P(A \cap B)\): A සහ ​​B එකවර සිදුවීමේ සම්භාවිතාව (A සහ B ඡේදනය වීම).
– \(P(B)\): B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව.

මෙම සූත්‍රයේ තේරුම: අපි අපගේ අවධානය B සිදුවීමට සීමා කර, පසුව B හි කොපමණ විශාල කොටසකට A ඇතුළත් වේද යන්න ගණනය කරන්න.

3. සරල උදාහරණය: කාඩ් සෙල්ලම් කිරීම

සම්මත කාඩ් කුට්ටමකින් (කාඩ්පත් 52) එක් කාඩ්පතක් ගන්න. උදාහරණයක් ලෙස:
– A: අඳින ලද කාඩ්පත Ace එකකි
– B: අඳින ලද කාඩ්පත ස්පේඩ්ස් වේ

අපට \(P(A \mid B)\) ගණනය කිරීමට අවශ්‍යයි, එය කාඩ්පත ස්පේඩ් එකක් වන විට ඒස් එකක් ඇඳීමේ සම්භාවිතාවයි.

පියවර:
– ස්පේඩ් වල කාඩ්පත් 13ක් ඇත, එබැවින් \(P(B) = 13/52\).
– A සහ ​​B පෙති “Ace of spades” වන අතර එහි එකතුව 1 කාඩ්පතකි, එබැවින් \(P(A \cap B) = 1/52\).

ඒ නිසා:

\[
P(A \මැද B) = \frac{1/52}{13/52} = \frac{1}{13}
\]

මෙයින් අදහස් කරන්නේ කාඩ්පත ස්පේඩ් එකක් බව අප දැනටමත් දන්නේ නම්, කාඩ්පත ඒස් එකක් වීමේ සම්භාවිතාව 13 න් 1 ක් බවයි.

4. ඡේදනය (A ∩ B) සහ තොරතුරු වල කාර්යභාරය අවබෝධ කර ගැනීම

සම්භාවිතාව අධ්‍යයනය කිරීමේදී පොදු වැරැද්දක් වන්නේ \(P(A)\) සහ \(P(A|B)\) අතර පටලවා ගැනීමයි. කාඩ්පත් උදාහරණයේ:
– \(P(A) = 4/52 = 1/13\) (අමතර තොරතුරු නොමැතිව Ace හි සම්භාවිතාව)
– \(P(A|B) = 1/13\) (මෙම අවස්ථාවේදී අහඹු ලෙස සමාන වේ)

කෙසේ වෙතත්, බොහෝ අවස්ථාවලදී අගයන් දෙක වෙනස් වේ. අමතර තොරතුරු විය හැක්කේ:
- අවස්ථා වැඩි කරන්න (උදා: යමෙකු ඉගෙන ගන්නා බව දන්නා විට විභාගයක් සමත් වීමේ අවස්ථාව),
– අවස්ථා අඩු කරන්න (රැකියාවෙන් ගෙදර යාමට කාලය පැමිණ ඇති බව ඔබ දන්නේ නම් සුමට මාර්ග ඇතිවීමේ අවස්ථා),
– නැතහොත් සිදුවීම් ස්වාධීන නම් සම්භාවිතාව වෙනස් නොකරයි.

5. අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ස්වාධීන සිදුවීම් (ස්වාධීනත්වය)

A සහ B සිදුවීම් දෙකක් ස්වාධීන යැයි කියනු ලබන්නේ B සිදුවීම A හි සම්භාවිතාවට බලපාන්නේ නැත්නම් සහ අනෙක් අතට ය. විධිමත් ලෙස:

\[
P(A \මැද B) = P(A)
\]

හෝ සමාන:

\[
P(A \cap B) = P(A)P(B)
\]

උදාහරණය: කාසියක් විසි කිරීම සහ දාදු කැටයක් පෙරළීම. කාසියේ ප්‍රතිඵලය (අංකය/පින්තූරය) දාදු කැටයේ ප්‍රතිඵලයෙන් (1–6) බලපාන්නේ නැත, එබැවින් දෙකම ස්වාධීන වේ. A "කාසිය අංකයක් පෙන්වයි" සහ B "දාදු කැටය 6 පෙන්වයි" නම්, එසේ නම්:

\[
P(A) = 1/2,\quad P(B)=1/6,\quad P(A \cap B)=1/12
\]

සහ \(1/12 = (1/2)(1/6)\) බව සත්‍යයකි.

6. ගුණ කිරීමේ රීතිය

කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාවයේ අර්ථ දැක්වීමෙන්, අපට ගුණ කිරීමේ රීතිය ව්‍යුත්පන්න කළ හැකිය:

\[
P(A \cap B) = P(A \middle B)P(B)
\]

හෝ:

\[
P(A \cap B) = P(B \middle A)P(A)
\]

එකවර සිදුවන සිදුවීම් දෙකක සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය වූ විට මෙම රීතිය ඉතා ප්‍රයෝජනවත් වේ, නමුත් ඉන් එකක් දැනගත් පසු අනෙකෙහි සම්භාවිතාව තක්සේරු කිරීම පහසුය.

උදාහරණයක් ලෙස: සම්මුඛ පරීක්ෂණයකින් සමත් වන කෙනෙකුගේ සම්භාවිතාව (B) 0,4 ක් යැයි සිතමු. සම්මුඛ පරීක්ෂණය සමත් වුවහොත් රැකියාවට (A) පිළිගැනීමේ සම්භාවිතාව 0,6 කි. එවිට "සම්මුඛ පරීක්ෂණය සමත් වී රැකියාවට පිළිගැනීමේ" සම්භාවිතාව:

\[
P(A \cap B) = P(A \midd B)P(B) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24
\]

7. බේස් ප්‍රමේයය: කොන්දේසි ආපසු හැරවීම

බොහෝ විට අපි \(P(A|B)\) දනිමු, නමුත් අපට සැබවින්ම අවශ්‍ය වන්නේ \(P(B|A)\) ය. බේස් ප්‍රමේයය කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව “පෙරළීමට” ක්‍රමයක් සපයයි:

\[
P(B \මැද A) = \frac{P(A \මැද B)P(B)}{P(A)}
\]

මෙම ප්‍රමේයය වෛද්‍ය රෝග විනිශ්චය, යන්ත්‍ර ඉගෙනීම, ස්පෑම් හඳුනාගැනීම සහ දත්ත මත පදනම් වූ තීරණ ගැනීම යන ක්ෂේත්‍රවල ඉතා ප්‍රසිද්ධය.

කෙටි උදාහරණය (සෞඛ්‍යය)
උදාහරණ වශයෙන්:
– B: කෙනෙකු ඇත්තටම අසනීපයි (ව්‍යාප්තිය) \(P(B)=0{,}01\)
– A: ධනාත්මක පරීක්ෂණ ප්‍රතිඵලය
– පරීක්ෂණ සංවේදීතාව: \(P(A|B)=0{,}95\)
– වැරදි ධනාත්මක: \(P(A|\පෙළ{අසනීප නොවේ})=0{,}05\)

ප්‍රශ්නය: පරීක්ෂණ ප්‍රතිඵලය ධනාත්මක නම්, පුද්ගලයා සැබවින්ම අසනීප වී ඇති බවට ඇති සම්භාවිතාව කුමක්ද, එනම් \(P(B|A)\)?

අපට අවශ්‍ය වන්නේ \(P(A)\):

\[
P(A)=P(A|B)P(B) + P(A|\නිෂේධ B)P(\නිෂේධ B)
\]
\[
P(A)=0{,}95(0{,}01) + 0{,}05(0{,}99)=0{,}0095+0{,}0495=0{,}059
\]

ඒ නිසා:

\[
P(B|A)=\frac{0{,}95 \times 0{,}01}{0{,}059} \ආසන්න වශයෙන් 0{,}161
\]

ප්‍රතිඵලය 16,1% ක් පමණ විය. මෙයින් පෙනී යන්නේ, විශේෂයෙන් රෝගයේ ව්‍යාප්තිය ඉතා අඩු නම්, ධනාත්මක පරීක්ෂණයකින් යමෙකු අනිවාර්යයෙන්ම අසනීප වී ඇති බව අදහස් නොවන බවයි.

8. මුළු සම්භාවිතාව (මුළු සම්භාවිතාව පිළිබඳ නීතිය)

කොන්දේසි කිහිපයකට බෙදා ඇති අවස්ථාවක \(P(A)\) ගණනය කිරීමට, අපට සම්පූර්ණ සම්භාවිතාව පිළිබඳ නියමය භාවිතා කළ හැකිය. \(B_1, B_2, …, B_n\) නියැදි අවකාශයේ කොටසක් සාදන්නේ නම් (අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් විසංයෝජනය කර සියලු හැකියාවන් ඇතුළත් වේ), එවිට:

\[
P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)
\]

බහු කාණ්ඩ හෝ මූලාශ්‍රවලින් තොරතුරු සැකසීම සඳහා එය බොහෝ විට බේස් ප්‍රමේයය සමඟ ඒකාබද්ධ කෙරේ.

9. කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාවේ පොදු වැරදි

සමහර පොදු වැරදි:
1. \(P(A|B)\) \(P(B|A)\) ට සමාන යැයි උපකල්පනය කරන්න. මෙය සාමාන්‍යයෙන් සත්‍ය නොවේ.
2. බේස් උදාහරණයේ රෝග පැතිරීම වැනි මූලික අනුපාත නොසලකා හැරීම.
3. කොන්දේසිය ලබා දීමෙන් පසු නියැදි අවකාශය වැරදි ලෙස තීරණය කිරීම, B කොන්දේසිය යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ අප ගණන් කරන්නේ "කලාප B" තුළ පමණක් වුවද.

10. නිගමනය

සංඛ්‍යාලේඛන සහ අවිනිශ්චිතතා ආකෘති නිර්මාණයේ දී කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව වැදගත් පදනමකි. \(P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) හි අර්ථ දැක්වීම තේරුම් ගැනීමෙන්, අපට අමතර තොරතුරු සලකා බැලීමෙන් සම්භාවිතාව තක්සේරු කළ හැකිය. මෙම සංකල්පය නිෂ්පාදන රීතිය, ස්වාධීන සිදුවීම්, සම්පූර්ණ සම්භාවිතාව පිළිබඳ නීතිය සහ බේස්ගේ ප්‍රමේයයට සෘජුවම සම්බන්ධ වන අතර එය බොහෝ සැබෑ ලෝක යෙදුම්වල ඉතා ප්‍රයෝජනවත් වේ. කාඩ්පත්, දාදු කැට, සමීක්ෂණ සහ වෛද්‍ය අවස්ථා පවා වැනි සංයුක්ත උදාහරණ සමඟ ඔබ වැඩි වැඩියෙන් පුහුණු වන තරමට නව තොරතුරු පැමිණෙන විට සම්භාවිතාව වෙනස් වන ආකාරය පිළිබඳ ඔබේ බුද්ධිය ශක්තිමත් වනු ඇත.