බර්නූලිගේ සූත්රය: මූලධර්ම සහ යෙදුම්
බර්නූලි මූලධර්මය යනු 18 වන සියවසේදී ස්විට්සර්ලන්ත විද්යාඥයෙකු වූ ඩැනියෙල් බර්නූලි විසින් සොයා ගන්නා ලද තරල යාන්ත්ර විද්යාවේ මූලික සංකල්පයකි. මෙම මූලධර්මය තරල ප්රවාහයක ප්රවේගය සහ එම ප්රවාහය තුළ ඇති පීඩනය අතර සම්බන්ධතාවය පැහැදිලි කරයි. මෙම ලිපියෙන් බර්නූලිගේ සූත්රය, එහි මූලික සංකල්ප, ගණිතමය ව්යුත්පන්නයන්, ගණනය කිරීමේ උදාහරණ සහ එදිනෙදා ජීවිතයේදී එහි යෙදීම් ගැඹුරින් සාකච්ඡා කෙරේ.
බර්නූලි සූත්රය තේරුම් ගැනීම
බර්නූලිගේ සූත්රය පවසන්නේ (ඝර්ෂණයකින් තොරව) පරිපූර්ණ තරල ප්රවාහයේදී, ඒකක පරිමාවකට යාන්ත්රික ශක්තිය (විභව ශක්තිය, චාලක ශක්තිය සහ පීඩනය) ප්රවාහය පුරා නියත බවයි. මෙම සූත්රය මෙසේ ප්රකාශ වේ:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \පෙළ{නියත} \]
කොහෙද:
– \( P \) යනු තරල පීඩනයයි (පැස්කල් වලින්, Pa),
– \( \rho \) යනු තරලයේ ඝනත්වයයි (ඝන මීටරයකට කිලෝග්රෑම් වලින්, kg/m³),
– \( v \) යනු තරල ප්රවාහ ප්රවේගය (තත්පරයට මීටර වලින්, m/s),
– \( g \) යනු ගුරුත්වාකර්ෂණය නිසා ඇතිවන ත්වරණයයි (තත්පරයට මීටර වර්ගයෙන්, m/s²),
– \( h \) යනු යොමුවට ඉහළින් ඇති තරලයේ උසයි (මීටර වලින්, m).
බර්නූලි මූලධර්මය
බර්නූලිගේ මූලධර්මය ශක්ති සංරක්ෂණ නියමය මත පදනම් වේ. තරල ප්රවාහයේ දී, පද්ධතියට ශක්තියක් එකතු නොකළහොත් හෝ ඉවත් නොකළහොත් පද්ධතියක මුළු ශක්තිය නියතව පැවතිය යුතුය. ඒකක පරිමාවකට මුළු ශක්තිය සමන්විත වන්නේ:
1. පීඩන ශක්තිය (\( P \)): තරල පීඩනය නිසා ඇතිවන ශක්තිය.
2. චාලක ශක්තිය (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): තරල චලිතය නිසා ඇතිවන ශක්තිය.
3. ගුරුත්වාකර්ෂණ විභව ශක්තිය (\( \rho gh \)): ගුරුත්වාකර්ෂණ ක්ෂේත්රයක තරලයක පිහිටීම නිසා ඇතිවන ශක්තිය.
බර්නූලි සූත්රයේ ගණිතමය ව්යුත්පන්නය
බර්නූලිගේ සූත්රයේ ව්යුත්පන්නය තේරුම් ගැනීම සඳහා, 1 වන ලක්ෂ්යයේ සිට 2 වන ලක්ෂ්යය දක්වා ප්රවේගයකින් \( v \) ප්රවාහයක චලනය වන තරලයේ කුඩා මූලද්රව්යයක් අපි සලකා බලමු. ඝර්ෂණය හෝ තාපය හේතුවෙන් ශක්ති හානියක් සිදු නොවන බව අපි උපකල්පනය කරන්නේ නම්, 1 සහ 2 ලක්ෂ්යවල මුළු ශක්තිය සමාන විය යුතුය.
1 (\( E_1 \)) ලක්ෂ්යයේ මුළු ශක්තිය:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
2 (\( E_2 \)) ලක්ෂ්යයේ මුළු ශක්තිය:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
මුළු ශක්තිය නියත විය යුතු බැවින්:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
මෙය බර්නූලිගේ සූත්රය ලෙස හැඳින්වේ.
බර්නූලි සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කිරීමේ උදාහරණය
A ලක්ෂ්යයේ සිට B ලක්ෂ්යය දක්වා ජලය ගලා යන තිරස් පයිප්පයක් ඇතැයි සිතමු. A ලක්ෂ්යයේ දී ජල ප්රවේගය 2 m/s වන අතර පීඩනය 150,000 Pa වේ. B ලක්ෂ්යයේ දී ජල ප්රවේගය 4 m/s වේ. ජලයේ ඝනත්වය 1000 kg/m³ වේ. B ලක්ෂ්යයේ දී පීඩනය ගණනය කරන්න.
බර්නූලි සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
නළය තිරස් බැවින්, \( h_A = h_B \), එබැවින් ලක්ෂ්ය දෙකෙහිම \( \rho gh \) නොසලකා හැරිය හැක:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
දන්නා අගයන් ආදේශ කරන්න:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
ලක්ෂ්ය දෙකෙහිම චාලක ශක්තිය ගණනය කරන්න:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ පී_බී = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \පෙළ{Pa} \]
ඉතින්, B ලක්ෂ්යයේ පීඩනය 144,000 Pa වේ.
බර්නූලි මූලධර්මයේ යෙදීම
1. ගුවන් යානා: ගුවන් යානා පියාපත් නිර්මාණය කිරීමේදී බර්නූලිගේ මූලධර්මය භාවිතා වේ. ගුවන් යානා පියාපතක හැඩය නිර්මාණය කර ඇත්තේ පියාපතට ඉහළින් ඇති වායු වේගය පියාපතට පහළින් ඇති වාතයට වඩා වැඩි වන ආකාරයටය. මෙහි ප්රතිඵලයක් ලෙස පියාපතට ඉහළින් අඩු පීඩනයක් සහ පියාපතට පහළින් වැඩි පීඩනයක් ඇති වන අතර එමඟින් ගුවන් යානයට පියාසර කිරීමට ඉඩ සලසන සෝපානය නිර්මාණය වේ.
2. ධාවන වාහන: ධාවන වාහනවල වායුගතික නිර්මාණය වේගය සහ ස්ථාවරත්වය වැඩි කිරීම සඳහා බර්නූලිගේ මූලධර්මය භාවිතා කරයි. වාතය ගලායාම නියාමනය කිරීමට, පහළට බලය වැඩි කිරීමට, මාර්ගයේ වාහනයේ කම්පනය වැඩි දියුණු කිරීමට ස්පොයිලර් සහ විසරණ භාවිතා කරයි.
3. ශරීරයේ රුධිර ප්රවාහය: බර්නූලිගේ මූලධර්මය රුධිර වාහිනී හරහා රුධිර ප්රවාහයට ද අදාළ වේ. ශරීරයේ විවිධ කොටස්වල රුධිර ප්රවාහ ප්රවේගයේ සහ පීඩනයේ වෙනස්කම් අධ්යයනය කිරීමෙන් වෛද්ය තත්වයන් හඳුනා ගත හැකිය.
4. වෙන්චුරි මීටරය: පයිප්පයක තරල ප්රවාහ අනුපාතය මැනීමට භාවිතා කරන උපකරණයකි. වෙන්චුරි මීටරයක පටු කොටසක් ඇති අතර එමඟින් බර්නූලිගේ මූලධර්මයට අනුකූලව තරල ප්රවාහ ප්රවේගය වැඩි වන අතර පීඩනය අඩු වේ. ප්රවාහ අනුපාතය ගණනය කිරීම සඳහා පළල් සහ පටු කොටස් අතර පීඩන වෙනස භාවිතා වේ.
5. සුවඳ විලවුන් ඉසින යන්ත්ර: සුවඳ විලවුන් ඉසින යන්ත්ර හෝ දියර ඉසින යන්ත්ර බර්නූලිගේ මූලධර්මය භාවිතා කරයි. පටු නලයක් හරහා වාතය පිඹින විට, නලයේ කෙළවර වටා ඇති වායු පීඩනය අඩු වන අතර, නළය හරහා සුවඳ විලවුන් ද්රවය ඉහළට ඇදගෙන සිහින් මීදුමක් ලෙස ඉසිනු ලැබේ.
බර්නූලි මූලධර්මය ක්රියාත්මක කිරීමට බලපාන සාධක
1. ඝර්ෂණය: යථාර්ථයේ දී, තරල පරිපූර්ණ නොවන අතර සෑම විටම අභ්යන්තර ඝර්ෂණය (දුස්ස්රාවීතාවය) පවතින අතර එමඟින් ශක්ති අලාභය සිදු වේ. මෙය බර්නූලි මූලධර්මයේ යෙදීම වඩාත් සංකීර්ණ කරයි.
2. තරල සම්පීඩ්යතාව: බර්නූලි මූලධර්මය සම්පීඩ්ය නොවන තරල (ජලය වැනි) සඳහා යෙදීම පහසුය. වායු හෝ සම්පීඩ්ය තරල සඳහා, සමීකරණය සකස් කළ යුතුය.
3. කැළඹිලි ස්වභාවය: බර්නූලිගේ මූලධර්මය ලැමිනාර් (නිත්ය) ප්රවාහයට අදාළ වේ. කැළඹිලි සහිත (අක්රමවත්) ප්රවාහයේදී, විශ්ලේෂණය වඩාත් සංකීර්ණ වේ.
සිද්ධි අධ්යයනය: ගුවන් යානා පියාපත් නිර්මාණයේදී බර්නූලි මූලධර්මය භාවිතය
ගුවන් යානා තටුවක සැලසුම බර්නූලි මූලධර්මය ක්රියාත්මක වන බවට සම්භාව්ය උදාහරණයකි. පියාපතේ වක්ර ඉහළ සහ පැතලි පහළ හැඩය නිසා පියාපත යටට වඩා වේගයෙන් වාතය පියාපත හරහා ගලා යාමට ඉඩ සලසයි. බර්නූලි මූලධර්මයට අනුව, පියාපතට ඉහළින් ඇති ඉහළ වායු ප්රවාහ ප්රවේගය පියාපත යටට වඩා අඩු පීඩනයක් ඇති කරයි. මෙම පීඩන වෙනස ගුවන් යානයට පියාසර කිරීමට ඉඩ සලසන එසවුම් බලය නිර්මාණය කරයි.
ගුවන් යානයක පියාපත් වර්ගඵලය 25 m² යැයි සිතමු. පියාපතට ඉහළින් වාතයේ වේගය 70 m/s වන අතර, පියාපතට පහළින් වාතයේ වේගය 50 m/s වේ. වායු ඝනත්වය 1.225 kg/m³ වේ. ප්රතිඵලයක් ලෙස එසවීම ගණනය කරන්න.
1. බර්නූලිගේ සූත්රය භාවිතයෙන් පීඩන වෙනස (\( \Delta P \)) ගණනය කරන්න:
\[ P_{පහළ} – P_{ඉහළ} = \frac{1}{2} \rho (v_{ඉහළ}^2 – v_{පහළ}^2) \]
දන්නා අගයන් ආදේශ කරන්න:
\[ \ඩෙල්ටා P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ \ඩෙල්ටා P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]
\[ \ඩෙල්ටා P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]
\[ \ඩෙල්ටා P = 1.225 \times 1200 \]
\[ \ඩෙල්ටා P = 1470 \, \පෙළ{Pa} \]
2. එසවුම් බලය (\( F_{lift} \)) ගණනය කරන්න:
\[ F_{එසවුම} = \ඩෙල්ටා P \වරක් A \]
\[ F_{එසවුම} = 1470 \, \පෙළ{Pa} \වරක් 25 \, \පෙළ{m}^2 \]
\[ F_{එසවීම} = 36,750 \, \පෙළ{
න්} \]
ඉතින්, ප්රතිඵලයක් ලෙස එසවුම් බලය නිව්ටන් 36,750 කි.
නිගමනය
බර්නූලිගේ මූලධර්මය තරල යාන්ත්ර විද්යාවේ මූලිකාංගවලින් එකක් වන අතර එය තරල ප්රවාහ ප්රවේගය සහ පීඩනය අතර සම්බන්ධතාවය පැහැදිලි කරයි. බර්නූලිගේ සූත්රය තේරුම් ගැනීමෙන් සහ යෙදීමෙන්, ගුවන් යානාවල සිට ප්රවාහ මීටර දක්වා තරල ප්රවාහය සම්බන්ධ විවිධ පද්ධති විශ්ලේෂණය කර සැලසුම් කළ හැකිය. ප්රායෝගිකව අපට බොහෝ විට ඝර්ෂණය සහ කැළඹිලි වැනි සාධක සලකා බැලීමට සිදු වුවද, තරල ගතිකය තේරුම් ගැනීමට සහ කාර්යක්ෂම ඉංජිනේරු විසඳුම් සැලසුම් කිරීමට බර්නූලිගේ මූලධර්මය අත්යවශ්ය මෙවලමක් ලෙස පවතී.
