එකම විශාලත්ව ත්වරණයක් සහිත වස්තූන් දෙකක් - නිව්ටන්ගේ චලිත නියමයේ යෙදීම් සහ ගැටළු වලට විසඳුම්

1. Two masses m₁ = 2 kg සහ m₂ = 5 kg are on inclined plane and are connected together by a string as shown in the figure. The coefficient of the kinetic friction between m₁ and incline is 0.2 and the coefficient of the චාලක ඝර්ෂණය between m₂ and incline is 0.1.

(a) Determine their ත්වරණය

(b) Determine the tension force

දන්නා:

ජනරාල් 1 (m₁) = කිලෝග්‍රෑම් 2

Mass 2 (m₂) = කිලෝග්‍රෑම් 4

Coefficient of the kinetic friction between m₁ සහ ආනත තලය (μ_k1) = 0.2

Coefficient of the kinetic friction between m₂ and inclined plane (μ_k2) = 0.1

ගුරුත්වාකර්ෂණය හේතුවෙන් වේගවත් වීම (උ) = 9.8 මීටර්/තත්පර²

a) The magnitude and direction of the acceleration

w₁ = බර 1 = m₁ උ = (කිලෝග්‍රෑම් 2) (මීටර් 9.8/තත්පර²) = 19.6 නිව්ටන්

w_1x = ඩබ්ලිව්₁ පාපය 30^o = (19.6 N)(0.5) = නිව්ටන් 9.8

w_1y = ඩබ්ලිව්₁ කොස් 30^o = (19.6 N)(0.87) = නිව්ටන් 17

N₁ = The සාමාන්‍ය බලය මීටර් මත₁ = ඩබ්ලිව්_1y = 17 නිව්ටන්

F_k1 = The force of the kinetic friction on m₁ = μ_k1 N₁ = (0.2)(17 N) = 3.4 නිව්ටන්

---

w₂ = weight 2 = m₂ උ = (කිලෝග්‍රෑම් 4) (මීටර් 9.8/තත්පර²) = 39.2 නිව්ටන්

w_2x = ඩබ්ලිව්₂ පාපය 60^o = (39.2 N)(0.87) = නිව්ටන් 34.1

w_2y = ඩබ්ලිව්₂ කොස් 60^o = (39.2 N)(0.5) = නිව්ටන් 19.6

N₂ = The normal force on m₂ = ඩබ්ලිව්_2y = 19.6 නිව්ටන්

F_k2 = The force of the kinetic friction on m₂ = μ_k2 N₂ = (0.1)(19.6 N) = 1.96 නිව්ටන්

---

The magnitude of the acceleration :

ΣF_x = මා_x

w_2x > ඩබ්ලිව්_1x so direction of the acceleration is the same as direction of w_2x.

Forces which points along acceleration is positive and forces which has opposite direction with acceleration is negative.

w_2x - එෆ්_k2 - ටී₂ + ටී₁ - w_1x - එෆ්_k1 = (එම්₁ + එම්₂) a_x

w_2x - එෆ්_k2 - w_1x - එෆ්_k1 = (එම්₁ + එම්₂ ) a_x

34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a_x

18.94 N = (කිලෝග්‍රෑම් 6) a_x

a_x = 18.94 N : 6 kg

a_x = මීටර් 3.16/තත්පර²

ත්වරණයේ විශාලත්වය = 3.16 m/s² . Direction of the acceleration = direction of T₁ = direction of w_2x

b) Magnitude of the tension force

Apply Newton’s second law on the object 2 :

w_2x - එෆ්_k2 - ටී₂ = එම්₂ a_x

34.1 N – 1.96 N – T₂ = (4 kg)(3.16 m/s²)

32.14 N – T₂ = 12.64 එන්

T₂ = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 Newton

The tension force = T = T₁ = ටී₂ = 19.5 නිව්ටන්

2. මීටර්₁ = 4 kg, මීටර්₂ = 2 kg. Determine (a) magnitude and direction of the acceleration (b) Magnitude of the tension force which connecting m₁ සහ එම්₂ (c) magnitude of the tension force which connecting pulley and roof.

විසඳුමක්

w₁ = එම්₁ උ = (කිලෝග්‍රෑම් 4) (මීටර් 9.8/තත්පර²) = 39.2 නිව්ටන්

w₂ = එම්₂ උ = (කිලෝග්‍රෑම් 2) (මීටර් 9.8/තත්පර²) = 19.6 නිව්ටන්

a) Magnitude and direction of the acceleration

ΣF_y = මා_y

w₁ > ඩබ්ලිව්₂ so the direction of the object is same as the direction of the weight 1 (w₁). Forces which has the same direction with acceleration is positive and forces which has opposite direction with acceleration is negative.

w₁ - ටී₁ + ටී₂ - w₂ = (එම්₁ + එම්₂) a_y

w₁ - w₂ = (එම්₁ + එම්₂) a_y

39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) a_y

19.6 N = (කිලෝග්‍රෑම් 6) a_y

a_y = 19.6 N : 6 kg

a_y = මීටර් 3.26/තත්පර²

Magnitude of acceleration = 3.26 m/s². Direction of acceleration = direction of w₁ .

b) Magnitude of tension force which connecting m₁ සහ එම්₂

අදාළ Newton’s second law මීටර් මත₂ :

ΣF_y = මා_y

w₁ - ටී₁ = එම්₁ a_y

39.2 N – T₁ = (4 kg)( 3.26 m/s²)

39.2 N – T₁ = 13.04 එන්

T₁ = 39.2 N – 13.04 N

T₁ = 26.16 නිව්ටන්

Magnitude of the tension force which connection objects = T = T₁ = ටී₂ = 26.16 නිව්ටන්

c) Magnitude of the tension force which connecting pulley and roof.

Pulley is at rest :

ΣF_y = මා_y —— a_y = 0

ΣF_y = 0

Upward force are positive, downward forces are negative :

T₃ - ටී₁ - ටී₂ = 0

T₃ = ටී₁ + ටී₂

T₁ හා T₂ have the same magnitude, ටී₁ = ටී₂ = T = 26.16 N :

T₃ = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 Newton

3. Block 1 (m₁ = 10 kg) and block 2 (m₂ = 15 kg) connected by a cord over frictionless pulley. Coefficient of the static friction between the block 2 with incline = 0.6. The coefficient of the kinetic friction between the block 2 with incline = 0.42. Determine (a) The magnitude of the minimum force F exerted on the objects so the objects accelerated upward (b) Determine the magnitude of the tension force.

විසඳුමක්

w₁ = The weight of the block 1 = m₁ උ = (කිලෝග්‍රෑම් 10) (මීටර් 9.8/තත්පර²) = 98 නිව්ටන්

w₂ = The weight of the block 2 = m₂ උ = (කිලෝග්‍රෑම් 15) (මීටර් 9.8/තත්පර²) = 147 නිව්ටන්

w_2y = ඩබ්ලිව්₂ කොස් 30^o = (147 N)(0.87) = නිව්ටන් 127.89

w_2x = ඩබ්ලිව්₂ පාපය 30^o = (147 N)(0.5) = නිව්ටන් 73.5

N₂ = The normal force on the block 2 = w_2y = 127.89 නිව්ටන්

F_k2 = The force of the kinetic friction on the block 2 = μ_k2 N₂ = (0.42)(127.89 N) = 53.7 නිව්ටන්

F_s2 = The force of the static friction on the block 2 = μ_s2 N₂ = (0.6)(127.89 N) = 76.7 නිව්ටන්

a) The magnitude of the minimum force F exerted on the objects so the objects accelerated upward

ΣF_x = මා_x —— a_x = 0

ΣF_x = 0

Upward forces and rightward forces are positive, downward forces and leftward forces are negative.

එෆ් - එෆ්_k2 - w_2x - w₁ - ටී₂ + ටී₁ = 0

එෆ් - එෆ්_k2 - w_2x - w₁ = 0

එෆ් = එෆ්_k2 + ඩබ්ලිව්_2x + ඩබ්ලිව්₁

F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N

F = 225.2 නිව්ටන්

b) The magnitude of the tension force

Apply Newton’s law of the motion on the block 1 :

ΣF_y = මා_y —— a_y = 0

ΣF_y = 0

T₁ - w₁ = 0

T₁ = ඩබ්ලිව්₁ = 98 නිව්ටන්

Apply Newton’s law of the motion on the block 2 :

එෆ් - එෆ්_k2 - w_2x - ටී₂ = 0

T₂ = F – F_k2 - w_2x

T₂ = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N

T₂ = 98 නිව්ටන්

Magnitude of the tension force = T₁ = ටී₂ = T = 98 නිව්ටන්

4. Block 1 (m₁ = 16 kg) lies on a horizontal surface and the block 2 (m₂ = 12 kg) lies on a smooth inclined plane, connected by a cord that passes over a small, frictionless pulley. Block 3 (m₃ = 5 kg) lies on the block 2. The coefficient of the kinetic friction between the block 2 and the horizontal surface is 0,4. The coefficient of the static friction between the block 2 with the block 3 is 0,3.

(ඒ) When the system is released from rest, the block 3 and the block 2 still slide together ?

(බී) If there is no block 3, what is the acceleration of the block 1 and the block 2 ?

විසඳුම:

a) When the system is released from rest, the block 3 and the block 2 still slide together?

w₁ = The weight of the block 1 = m₁ උ = (කිලෝග්‍රෑම් 16) (මීටර් 9.8/තත්පර²) = 156.8 නිව්ටන්

w_1x = ඩබ්ලිව්₁ පාපය 60^o = (156.8 N)(0.87) = නිව්ටන් 136.4

w_1y = ඩබ්ලිව්₁ කොස් 60^o = (156.8 N)(0.5) = නිව්ටන් 78.4

N₁ = The normal force exerted on the block 1 by the inclined plane = ඩබ්ලිව්_1y = 78.4 නිව්ටන්

w₃ = The weight of the block 3 = m₃ උ = (කිලෝග්‍රෑම් 5) (මීටර් 9.8/තත්පර²) = 49 නිව්ටන්

N₂₃ = The normal force exerted on the block 3 bythe  block 2 = ඩබ්ලිව්₃ = 49 නිව්ටන්

N₃₂ = The normal force exerted on the block 2 by the block 3 = එන්₂₃ = ඩබ්ලිව්₃ = 49 නිව්ටන්

(N₂₃ සහ N₃₂ are action-reaction pair)

F_s23 = The force of the static friction exerted on the block 3 by the block 2 = μ_s N₂₃ = (0.3)(49 N) = 14.7 නිව්ටන්

F_s32 = The force of the static friction exerted on th block 2 by the block 3 = එෆ්_s23 = 14.7 නිව්ටන්

(F_s23 සහ F_s32 are action-reaction pair)

w₂ = The weight of the block 2 = එම්₂ උ = (කිලෝග්‍රෑම් 12) (මීටර් 9.8/තත්පර²) = 117.6 නිව්ටන්

N₂ = The normal force exerted on the object 2 by the horizontal surface = ඩබ්ලිව්₂ + එන්₃₂ = 117.6 Newton + 49

Newton = 166.6 Newton

F_k2 = The force of the kinetic friction on the block 2 = μ_k N₂ = (0.4)(166.6 N) = 66.64 නිව්ටන්

Apply Newton’s law of motion on the block 3 :

ΣF_x = මා_x

F_s23 =m₃ a_x

—–> F_s23 = μ_s N₂₃ = μ_s w₃ = μ_s m₃ g

μ_s m₃ g = m₃ a_x

μ_s g = a_x

a_x = (0.3)(9.8 m/s²) = 2.94 m/s²

The maximum acceleration of the block 3 so that the block 3 and the block 2 still slide together is 2.94 m/s².

Now we calculate the magnitude of the system’s acceleration after released from rest.

The direction of the block displacement = the direction of the block’s acceleration = the direction of T₂ = the direction of w_1x.

ΣF_x = මා_x

w_1x - ටී₁ + ටී₂ - එෆ්_k2 - එෆ්_s32 + එෆ්_s23 = (එම්₁ + එම්₂ + එම්₃) a_x

w_1x - එෆ්_k2 = (එම්₁ + එම්₂ + එම්₃ ) a_x

136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a_x

69.76 N = (කිලෝග්‍රෑම් 33) a_x

a_x = මීටර් 2.11/තත්පර²

a_x is positive, means direction of the block displacement or the direction of the acceleration is same as direction of T₂ or direction of w_1x.

The magnitude of the acceleration is 2.11 m / s² , එල්ower than 2.94 m / s² so we can conclude that block 3 and block 2 still slide together after released from rest.

b) The magnitude of the acceleration of the block 1 and the block 2

ΣF_x = මා_x

w_1x - එෆ්_k2 = (එම්₁ + එම්₂) a_x

—–> F_k2 = μ_k N₂ = μ_k w₂ = μ_k m₂ g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s²) = 47.04 නිව්ටන්

136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a_x

89.36 N = (කිලෝග්‍රෑම් 28) a_x

a_x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s²

[wpdm_package id = '493 ′]

1. ස්කන්ධය සහ බර
2. සාමාන්ය බලය
3. නිව්ටන්ගේ දෙවන චලිත නියමය
4. ඝර්ෂණ බලය
5. ඝර්ෂණ බලයකින් තොරව තිරස් පෘෂ්ඨයක් මත චලනය
6. රළු තිරස් පෘෂ්ඨයක් මත ඝර්ෂණ බලය ඇතිව එකම ත්වරණයක් සහිත වස්තූන් දෙකක චලිතය
7. ඝර්ෂණ බලයකින් තොරව ආනත තලයක චලනය
8. ඝර්ෂණ බලය සහිත රළු ආනත තලයක චලිතය
9. සෝපානයක චලනය
10. සිරුරු වල චලනය ලණු සහ කප්පි මගින් සම්බන්ධ වේ.
11. එකම විශාලත්ව ත්වරණයක් සහිත වස්තූන් දෙකක්
12. පැතලි වක්‍රයක් වට කිරීම - චක්‍ර චලිතයේ ගතිකය
13. බැංකු වක්‍රයක් වට කිරීම - චක්‍ර චලිතයේ ගතිකය
14. තිරස් කවයක ඒකාකාර චලිතය
15. ඒකාකාර චක්‍ර චලිතයේදී කේන්ද්‍රාපසාරී බලය