ද්විපද ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය
ද්විපද ව්යාප්තිය යනු සංඛ්යාලේඛන සහ සම්භාවිතාව තුළ බහුලව දක්නට ලැබෙන විවික්ත සම්භාවිතා ව්යාප්තියකි. මෙම ව්යාප්තිය ස්වාධීන ද්විමය අත්හදා බැලීම් මාලාවක සාර්ථකත්ව ගණන විස්තර කරයි (ප්රතිඵල දෙකක් පමණක් ඇති අත්හදා බැලීම්: සාර්ථකත්වය හෝ අසාර්ථකත්වය). ද්විපද ව්යාප්තිය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, දිගු කාලීනව නැවත නැවත අත්හදා බැලීම් මාලාවක සාමාන්ය අගය විස්තර කරන අපේක්ෂිත අගය පිළිබඳ සංකල්පය තේරුම් ගැනීම වැදගත් වේ. මෙම ලිපිය ද්විපද ව්යාප්තියේ සන්දර්භය තුළ අපේක්ෂිත අගය පිළිබඳ සංකල්පය සමාලෝචනය කරනු ඇත.
ද්විපද ව්යාප්තියේ අර්ථ දැක්වීම
ද්විපද ව්යාප්තිය පැන නගින්නේ අපි සමාන හා ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් ගණනාවක් සිදු කරන සන්දර්භයන් තුළ වන අතර, සෑම අත්හදා බැලීමකටම අන්යෝන්ය වශයෙන් සුවිශේෂී ප්රතිඵල දෙකක් ඇති අතර ඒවා සාමාන්යයෙන් "සාර්ථකත්වය" සහ "අසාර්ථකත්වය" ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, කාසියක් (හිස් හෝ වලිග) පෙරළීම, විභාග ප්රශ්නයකට පිළිතුරු දීම (සත්ය හෝ අසත්ය), හෝ වෛද්ය අත්හදා බැලීමක් (සුව කළ හෝ සුව නොකළ).
ද්විපද ව්යාප්තිය පරාමිති දෙකකින් අර්ථ දක්වා ඇත:
– n, අත්හදා බැලීම් ගණන.
– p, එක් එක් අත්හදා බැලීමේදී සාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව.
දළ වශයෙන් කිවහොත්, X යනු n අත්හදා බැලීම්වල සාර්ථකත්ව ගණන නිරූපණය කරන අහඹු විචල්යයක් නම්, X යනු n සහ p පරාමිතීන් සහිත ද්විපද ව්යාප්තියක් අනුගමනය කරයි, එය X ~ ද්විපද(n, p) ලෙස දැක්වේ.
සම්භාවිතා ශ්රිතය
ද්විපද ව්යාප්තියේ සම්භාවිතා ශ්රිතය පහත පරිදි වේ:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
කොහෙද:
– \( \binom{n}{k} \) යනු ද්විපද සංගුණකය වන අතර එය \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) ලෙස ගණනය කෙරේ.
– \( k \) යනු අපේක්ෂිත සාර්ථකත්ව ගණනයි.
– \( n \) යනු අත්හදා බැලීම් ගණනයි.
– \( p \) යනු එක් එක් අත්හදා බැලීමේදී සාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාවයි.
– \( (1-p) \) යනු එක් එක් අත්හදා බැලීමේදී අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාවයි.
අපේක්ෂිත අගය
සම්භාවිතා ව්යාප්තියක අපේක්ෂිත අගය හෝ මධ්යන්යය මධ්ය ස්ථානයේ වැදගත්ම මිනුමකි. ද්විපද ව්යාප්තිය සඳහා, ද්විපද(n, p) අනුගමනය කරන අහඹු විචල්ය X හි අපේක්ෂිත අගය වන්නේ:
\[ E(X) = np \]
අපේක්ෂිත වටිනාකම පිළිබඳ සාධනය
ද්විපද ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය np වන්නේ මන්දැයි තේරුම් ගැනීමට, අපට අපේක්ෂිත අගයේ රේඛීයතා ගුණාංගය භාවිතා කර ද්විමය විචල්යයන් ඒවායේ දායකත්වයට එකතු වන ආකාරය බලන්න.
n ද්විමය අත්හදා බැලීම්වල සාර්ථකත්ව ගණන ලෙස \( X \) අර්ථ දක්වමු. වඩාත් නිශ්චිතව, \( X_i \) යනු i-th අත්හදා බැලීමේ ප්රතිඵලය දක්වන අහඹු විචල්යයක් යැයි සිතමු, i-th අත්හදා බැලීම සාර්ථක නම් \( X_i = 1 \) සහ එය අසාර්ථක නම් \( X_i = 0 \) සමඟ. එවිට, අපට \( X \) ලෙස ලිවිය හැකිය:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
එක් එක් \( X_i \) සාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව p සහිත ද්විමය විචල්යයක් වන බැවින්, \( X_i \) හි අපේක්ෂිත අගය වන්නේ:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
X හි අපේක්ෂිත අගය සඳහා අපේක්ෂිත අගයේ රේඛීයතා ගුණාංගය අපට භාවිතා කළ හැකිය:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
මෙයින් පෙනී යන්නේ ද්විපද ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය np බවයි.
නිදර්ශන උදාහරණය
සාධාරණ කාසියක් 10 වතාවක් උඩ දැමූ අවස්ථාවක් සලකා බලන්න. හිස් ඇති වන පෙරලීම් ගණනෙහි අපේක්ෂිත අගය කොපමණ දැයි විමසමු.
මේ අවස්ථාවේ දී:
– n = 10 (කාසි විසි කිරීම් ගණන)
– p = 0.5 (කාසිය සාධාරණ බැවින් හිස් ලැබීමේ සම්භාවිතාව)
එබැවින්, අපේක්ෂිත අගය:
\[ E(X) = np = 10 \වරක් 0.5 = 5 \]
මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපි දිගු කාලීනව කාසියක් 10 වතාවක් නැවත නැවතත් පෙරළුවහොත්, සාමාන්යයෙන් අපට හිස් 5 වතාවක් ලැබෙනු ඇති බවයි.
විචලනය සහ සම්මත අපගමනය
අපේක්ෂිත අගයට අමතරව, ද්විපද ව්යාප්තියේ විචලනය සහ සම්මත අපගමනය තේරුම් ගැනීම ද වැදගත් වේ.
ද්විපද ව්යාප්තිය සඳහා, විචලනය \( \sigma^2 \) සහ සම්මත අපගමනය \( \sigma \) පහත පරිදි වේ:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
විචලනය මඟින් දත්ත අපේක්ෂිත අගයෙන් කොතරම් දුරට පැතිරී ඇත්දැයි මනිනු ලැබේ. සම්මත අපගමනය විචලනයේ වර්ගමූලය වන අතර දත්තවල පැතිරීම ද මනිනු ලැබේ, නමුත් මුල් දත්තවල ඒකක වලින්ම.
නිගමනය
ද්විපද ව්යාප්තිය යනු සංඛ්යාලේඛන සහ සම්භාවිතාව පිළිබඳ මූලික සංකල්පයක් වන අතර එය ව්යාපාරයේ සිට සමාජ විද්යාවන් සහ ජීව විද්යාව දක්වා විවිධ සැබෑ ලෝක යෙදුම්වල නිතර දක්නට ලැබේ. np ලෙස ගණනය කරන ලද ද්විපද ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය, ද්විමය අත්හදා බැලීම් මාලාවක සාමාන්ය සාර්ථකත්වයන් සංඛ්යාව පිළිබඳ වැදගත් අවබෝධයක් ලබා දෙයි. අපේක්ෂිත අගය, විචලනය සහ සම්මත අපගමනය පිළිබඳ සංකල්ප තේරුම් ගැනීමෙන්, ද්විපද ව්යාප්තියේ ලක්ෂණ සහ එය එදිනෙදා ජීවිතයේ ඇතැම් සංසිද්ධි විස්තර කරන ආකාරය පිළිබඳ පැහැදිලි අවබෝධයක් අපට ලබා ගත හැකිය.
මෙම දැනුම දත්ත විශ්ලේෂණය සහ සංඛ්යාලේඛන සඳහා පමණක් නොව, සම්භාවිතාව සහ අවිනිශ්චිතතාවය ඇගයීමට අවශ්ය තීරණ ගැනීමේදී ද අතිශයින් ප්රයෝජනවත් වේ. අපේක්ෂිත අගය සහ ද්විපද ව්යාප්තිය අවබෝධ කර ගැනීම අපට වඩාත් නිවැරදි අනාවැකි පළ කිරීමට සහ වඩාත් දැනුවත් තීරණ ගැනීමට උපකාරී වේ.
