ශ්රිත සහ ශ්රිත නොවන: ගණිතයේ සංකල්ප අවබෝධ කර ගැනීම
ගණිතයේ දී, අපට බොහෝ විට ගැඹුරු අවබෝධයක් අවශ්ය වියුක්ත සංකල්ප හමු වේ. එවැනි මූලික නමුත් වැදගත් සංකල්පයක් වන්නේ "ශ්රිතය" ය. මෙම සංකල්පය ගණිතයේ පමණක් නොව භෞතික විද්යාව, පරිගණක විද්යාව සහ ආර්ථික විද්යාව වැනි විවිධ ක්ෂේත්රවල ද දක්නට ලැබේ. කෙසේ වෙතත්, ශ්රිත සහ ශ්රිත නොවන දේ අතර වෙනස හඳුනා ගැනීමේදී බොහෝ විට ව්යාකූලත්වයක් ඇති වේ. මෙම ලිපියෙන් ශ්රිතයක් යනු කුමක්ද, එහි ලක්ෂණ සහ ශ්රිත නොවන දේවලින් එය වෙන්කර හඳුනා ගන්නේ කෙසේද යන්න ගැඹුරින් සාකච්ඡා කරනු ඇත.
ශ්රිතයක් යනු කුමක්ද?
සරලව කිවහොත්, ශ්රිතයක් යනු එක් කට්ටලයක සෑම මූලද්රව්යයක්ම තවත් කට්ටලයක හරියටම එක් මූලද්රව්යයක් සමඟ සම්බන්ධ කරන සම්බන්ධතාවයකි. එහි විධිමත් අර්ථ දැක්වීම දෙස බලමු:
ශ්රිතයේ විධිමත් අර්ථ දැක්වීම:
A කුලකයේ සිට B කුලකය දක්වා f ශ්රිතයක් යනු A හි සෑම මූලද්රව්යයක්ම B හි හරියටම එක් මූලද්රව්යයක් සමඟ සම්බන්ධ කරන රීතියකි. එය \( f : A \දකුණු ඊතලය B \) ලෙස ලියා ඇත.
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, A කුලකයේ වෙනස් මූලද්රව්ය දෙකක් තිබේ නම්, ඒවා B කුලකයේ එකම මූලද්රව්යයට සම්බන්ධ නොවිය යුතුය.
ශ්රිතයක සරල උදාහරණයක් වන්නේ පුද්ගලයෙකුගේ ශරීර උෂ්ණත්වය (වසම/කුසලය A) සහ එය සෙල්සියස් අංශක වලින් මැනීම (පරාසය/කුසලය B) ය. සෑම පුද්ගලයෙකුම තනි ශරීර උෂ්ණත්ව අගයක් සමඟ සම්බන්ධ වේ. එබැවින්, මෙම ප්රතිසමයේදී, ශ්රිතය පුද්ගලයන් (වසම් මූලද්රව්ය) ශරීර උෂ්ණත්ව අගයන්ට (කෝඩොමේන් මූලද්රව්ය) සම්බන්ධ කරයි.
ක්රියාකාරී ලක්ෂණ
මෙම සංකල්පය තේරුම් ගැනීමේදී, සම්බන්ධතාවයක් ශ්රිතයක් ලෙස සැලකීමට සපුරාලිය යුතු නිශ්චිත ලක්ෂණ කිහිපයක් තිබේ:
1. කට්ටල අතර සම්බන්ධතා:
ශ්රිතයක්, වසමේ සෑම මූලද්රව්යයක්ම (මූලාශ්ර කට්ටලය) කෝඩොමේනයේ හරියටම එක් මූලද්රව්යයක් සමඟ (ඉලක්ක කට්ටලය) සම්බන්ධ කළ යුතුය. වසමේ මූලද්රව්යයක් කෝඩොමේනයේ එක් මූලද්රව්යයකට වඩා සම්බන්ධ වී ඇත්නම්, එය ශ්රිතයක් නොවේ.
2. ඒකීයභාවය:
වසමක ඇති මූලද්රව්යයක් සම්බන්ධ කළ හැක්කේ කෝඩොමේනයේ එක් අගයක් සමඟ පමණි. උදාහරණයක් ලෙස, එකවර f(a) = 3 සහ f(a) = 5 නම්, f යනු ශ්රිතයක් නොවේ.
3. වසම හිස් නොවේ:
ශ්රිතයක, වසමේ සෑම මූලද්රව්යයකටම කෝඩොමේන් තුළ ප්රතිසමයක් තිබිය යුතුය, එනම් වසම හිස් විය නොහැක.
කාර්යයක් නොවේ
ඉහත ලක්ෂණ තුන සපුරා නොගන්නා සම්බන්ධතාවයක් ක්රියාකාරී නොවන බව කියනු ලැබේ. මෙය තවදුරටත් තේරුම් ගැනීමට, අපි සංයුක්ත උදාහරණ කිහිපයක් පරීක්ෂා කර බලමු.
1. වසමේ එක් මූලද්රව්යයක් කෝඩොමේනයේ එක් මූලද්රව්යයකට වඩා සම්බන්ධ වේ:
උදාහරණයක් ලෙස, සිසුන් (වසම) ඔවුන්ගේ විභාග ලකුණු (codomain) සමඟ සම්බන්ධ කර ඇති සම්බන්ධතාවයක් අපට ඇතැයි සිතන්න. ශිෂ්යයෙකුට එක් විභාගයකදී ලකුණු එකකට වඩා ලබා ගත හැකි නම් (උදා: එකම විභාගයේදී 75 සහ 90), මෙම සම්බන්ධතාවය ශ්රිතයක් නොවේ.
2. සියලුම වසම් මූලද්රව්යවලට යුගලයක් නොමැත:
සඳහන් කළ පරිදි, ශ්රිතයක, වසමේ සියලුම මූලද්රව්යවලට කෝඩොමේන් තුළ ප්රතිසමයක් තිබිය යුතුය. ඕනෑම මූලද්රව්යයකට ප්රතිසමයක් නොමැති නම්, සම්බන්ධතාවය ශ්රිතයක් නොවේ.
කාර්යය අවබෝධ කර ගැනීම වැදගත් වන්නේ ඇයි?
මෙම ශ්රිත පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් ශුද්ධ ගණිතයේ පමණක් නොව අනෙකුත් විවිධ ක්ෂේත්රවල යෙදීම් වලදී ද වැදගත් වේ:
1. පරිගණක විද්යාව:
ක්රමලේඛනයේ පදනම ශ්රිත වන අතර, ව්යුහගත ඇල්ගොරිතම ගොඩනැගීමට අප භාවිතා කරන මෙවලම් වේ. ශ්රිත ක්රියාත්මක කිරීම මඟින් අපට වඩාත් මොඩියුලර් සහ තේරුම් ගැනීමට පහසු කේත ලිවීමට ඉඩ සලසයි.
2. භෞතික විද්යාව:
බොහෝ ස්වාභාවික නියතයන් සහ භෞතික නීති ශ්රිත අනුව ප්රකාශ වේ. උදාහරණයක් ලෙස, නිව්ටන්ගේ සිසිලන නියමය උෂ්ණත්වයට එදිරිව කාලයට ශ්රිතයක් ලෙස ප්රකාශ කළ හැකිය.
3. ආර්ථිකය:
ආර්ථික ආකෘතිවල ආදායම සහ පරිභෝජනය වැනි විවිධ විචල්යයන් අතර සම්බන්ධතාවය පුරෝකථනය කිරීම සඳහා ශ්රිත භාවිතා වේ.
ශ්රිත නිරූපණය
අවශ්යතා සහ සන්දර්භය අනුව කාර්යයන් විවිධ ආකාරවලින් නිරූපණය කළ හැකිය:
1. වගුව:
වසම් සහ කෝඩොමේන් මූලද්රව්ය යුගල පෙන්වන වගු මගින් ශ්රිත නිරූපණය කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, දෛනික උෂ්ණත්වය (වසම) සහ විකුණන ලද අයිස්ක්රීම් කෝන් ගණන (කෝඩොමේන්) පෙන්වන වගුවක්.
2. ප්රස්තාරය:
ශ්රිත ප්රස්ථාර යනු ශ්රිත නිරූපණය කිරීමට ඇති වඩාත් ඵලදායී ක්රමවලින් එකකි. ප්රස්ථාරයක, වසම බොහෝ විට x-අක්ෂය මගින් සහ කෝඩොමේනය y-අක්ෂය මගින් දක්වනු ලැබේ. ශ්රිතයක් යනු සිරස් රේඛා පරීක්ෂණය සමත් වන ප්රස්ථාරයකි - එනම්, සෑම සිරස් රේඛාවක්ම ප්රස්ථාරය හරියටම එක් ලක්ෂ්යයකින් ඡේදනය කරයි.
3. සමීකරණය:
ගණිතයේ දී ශ්රිතයක් ප්රකාශ කිරීම සඳහා ශ්රිතයක වීජීය ආකාරය වඩාත් පොදු ක්රමයයි. උදාහරණයක් ලෙස, රේඛීය ශ්රිතය \( f(x) = mx + c \) හෝ චතුරස්ර ශ්රිතය \( f(x) = ax^2 + bx + c \) වේ.
ශ්රිත සහ ශ්රිත නොවන උදාහරණ
කාර්යයන් පිළිබඳ අපගේ අවබෝධය ස්ඵටිකීකරණය කිරීම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් බලමු:
උදාහරණය 1:
– ශ්රිතය: අපට A = {1, 2, 3} කුලකයක් සහ B = {4, 5, 6} කුලකයක් ඇත. \( f \) ශ්රිතය \( f(1) = 4 \), \( f(2) = 5 \), සහ \( f(3) = 6 \) ලෙස අර්ථ දක්වයි.
– ශ්රිතයක් නොවේ: \( f \) \( f(1) = 4 \) සහ \( f(1) = 5 \) ලෙස අර්ථ දක්වන්නේ නම්, මෙම සම්බන්ධතාවය පැහැදිලිවම ශ්රිතයක් නොවේ, මන්ද වසමේ එක් මූලද්රව්යයක් කෝඩොමේනයේ එක් මූලද්රව්යයකට වඩා සම්බන්ධ වී ඇති බැවිනි.
උදාහරණය 2:
– කාර්යය: ශිෂ්යයෙකු (වසම) ඔවුන්ගේ පරීක්ෂණ ලකුණු (codomain) සමඟ සම්බන්ධ වේ.
– ශ්රිතයක් නොවේ: එකම ශිෂ්යයාට එක් විභාගයකදී වෙනස් ලකුණු දෙකක් තිබිය නොහැක. ලකුණු දෙකක් තිබේ නම්, සම්බන්ධතාවය ශ්රිතයක් නොවේ.
නිගමනය
ඉහත පැහැදිලි කිරීම අනුව විනිශ්චය කිරීමේදී, ශ්රිතයක් යනු ගණිතයේ මූලික සංකල්පයක් වන අතර එය විවිධ විෂයයන්හි බොහෝ යෙදුම් සොයා ගනී. ශ්රිතයක් වසම් කට්ටලයේ සෑම මූලද්රව්යයක්ම කෝඩොමේන් කට්ටලයේ හරියටම එක් මූලද්රව්යයක් සමඟ සම්බන්ධ කරයි. සම්බන්ධතාවයක් මෙම ලක්ෂණ සපුරාලීමට අපොහොසත් වුවහොත් එය ශ්රිතයක් නොවේ. ශ්රිතයක් සහ ශ්රිතයක් නොවන එකක් අතර වෙනස අවබෝධ කර ගැනීම තවදුරටත් ගණිතමය අධ්යයනය සහ එදිනෙදා ජීවිතයේ ප්රායෝගික යෙදුම් සඳහා ශක්තිමත් පදනමක් සපයයි.
