ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ද්විමාන දෛශික සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්‍රශ්න

ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ද්විමාන දෛශික සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්‍රශ්න

දෛශිකයක් යනු විශාලත්වය සහ දිශාව යන දෙකම ඇති ප්‍රමාණයකි. විවිධ සංසිද්ධි නිරූපණය කිරීම සඳහා විවිධ ගණිත හා භෞතික විද්‍යා මාතෘකා වලදී දෛශික නිතර භාවිතා වේ. මෙම ලිපියෙන් අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ද්විමාන දෛශික සඳහා උදාහරණ සාකච්ඡා කරමු.

ඛණ්ඩාංක පද්ධතිවල දෛශික පිළිබඳ මූලික සංකල්ප
ද්විමාන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශිකයක් \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ලෙස නිරූපණය කළ හැක, එහිදී \(a_1\) යනු දෛශිකයේ x-සංරචකය වන අතර \(a_2\) යනු දෛශිකයේ y-සංරචකය වේ. දෛශිකය x-සංරචකය සහ y-සංරචකය ලෙස සංරචක දෙකකට වියෝජනය කළ හැක.

දෛශික එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
\(\vec{A} = (a_1, a_2)\) සහ \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) දෛශික දෙකක එකතු කිරීම වන්නේ:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
අඩු කිරීම:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]

අදිශ ගුණ කිරීම
\(\vec{A} = (a_1, a_2)\) සහ \(k\) යනු අදිශයක් නම්, \(k\vec{A}\) යනු:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]

දෛශික විශාලත්වය
දෛශිකයේ විශාලත්වය හෝ දිග \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) යනු:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]

ඒකක දෛශිකය
ඒකක දෛශිකයක් යනු ඒකකයක දිගක් ඇති දෛශිකයකි. \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) හි ඒකක දෛශිකය වන්නේ:
\[
\hat{A} ​​​= \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \දකුණ)
\]

නියැදි ප්‍රශ්න සහ සාකච්ඡා

ප්‍රශ්නය 1: දෛශික එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
දෛශික දෙකක් පහත පරිදි ලබා දී ඇත: \(\vec{A} = (3, 4)\) සහ \(\vec{B} = (1, 2)\). \(\vec{A} + \vec{B}\) සහ \(\vec{A} – \vec{B}\) හි ගුණිතය සොයන්න.

සාකච්ඡාව:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]

ප්‍රශ්නය 2: පරිමාණ ගුණ කිරීම
\(\vec{C} = (2, -3)\) දෛශිකය ලබා දී, \(3\vec{C}\) සහ \(-2\vec{C}\) ගණනය කරන්න.

සාකච්ඡාව:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]

ප්‍රශ්නය 3: දෛශික විශාලත්වය
දෛශිකයේ විශාලත්වය ගණනය කරන්න \(\vec{D} = (5, 12)\).

සාකච්ඡාව:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]

ප්‍රශ්නය 4: ඒකක දෛශික
\(\vec{E} = (4, 3)\) දෛශිකයේ ඒකක දෛශිකය සොයන්න.

සාකච්ඡාව:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \වම( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \දකුණ)
\]

ප්‍රශ්නය 5: දෛශිකවල පිහිටීම සහ දුර
ද්විමාන ඛණ්ඩාංක තලයේ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් P(2, 3) සහ Q(5, 7) වේ. P ලක්ෂ්‍යයේ සිට Q ලක්ෂ්‍යය දක්වා පිහිටීම් දෛශිකය සහ ඒවා අතර දුර තීරණය කරන්න.

සාකච්ඡාව:
P සිට Q දක්වා පිහිටුම් දෛශිකය වන්නේ:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
P සහ Q ලක්ෂ්‍ය අතර දුර:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

ප්‍රශ්නය 6: තිත් නිෂ්පාදන ප්‍රතිඵලය
\(\vec{F} = (-3, 4)\) සහ \(\vec{G} = (2, 1)\) නම්, \(\vec{F} \cdot \vec{G}\) හි තිත් ගුණිතය ගණනය කරන්න.

සාකච්ඡාව:
දෛශික දෙකක තිත් ගුණිතය වන්නේ:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]

ප්‍රශ්නය 7: දෛශික දෙකක් අතර කෝණය
\(\vec{H} = (7, -4)\) සහ \(\vec{I} = (3, 0)\) නම්, දෛශික දෙක අතර කෝණය නිර්ණය කරන්න.

සාකච්ඡාව:
දෛශික දෙකක් අතර කෝණය තීරණය කිරීම සඳහා, අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමු:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
පළමුව, තිත් ගුණිතය ගණනය කරන්න \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
ඉන්පසු, \(\vec{H}\) සහ \(\vec{I}\) හි විශාලත්වයන් ගණනය කරන්න:
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
මෙම අගයන් සූත්‍රයට ඇතුළත් කරන්න:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
ඉතින්, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).

ප්‍රශ්නය 8: දෛශික ප්‍රක්ෂේපණය
\(\vec{J} = (2, 1)\) සහ \(\vec{K} = (-1, 3)\) යන දෛශික සඳහා, \(\vec{K}\) මත \(\vec{J}\) හි ප්‍රක්ෂේපණය ගණනය කරන්න.

සාකච්ඡාව:
\(\vec{K}\) මත \(\vec{J}\) හි ප්‍රක්ෂේපණය වන්නේ:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \දකුණ) \vec{K}
\]
පළමුව, තිත් ගුණිතය ගණනය කරන්න \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
එවිට, \(\vec{K}\) හි විශාලත්වය:
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
ඉතින් එතකොට,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
සූත්‍රයට ඇතුළු කරන්න:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \වම( \frac{1}{10} \දකුණ) \vec{K} = \වම( \frac{1}{10} \දකුණ) (-1, 3) = \වම( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \දකුණ)
\]

මේවා ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ද්විමාන දෛශිකවලට අදාළ ගැටළු සහ සාකච්ඡා සඳහා උදාහරණ වේ. දෛශික පිළිබඳ හොඳ අවබෝධයක් ගණිතය, භෞතික විද්‍යාව සහ ඉංජිනේරු විද්‍යාවේ බොහෝ යෙදුම් සඳහා උපකාරී විය හැකිය. විවිධ උදාහරණ සමඟ පුහුණුවීමෙන් මෙම සංකල්පය පිළිබඳ ඔබේ අවබෝධය ගැඹුරු කළ හැකි අතර, එය විවිධ අවස්ථාවන්හිදී ඵලදායී ලෙස යෙදිය හැකිය.