කණ්ඩායම් දත්තවල විචලනය සහ සම්මත අපගමනය සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
පෙන්ඩහුලුවන්
සංඛ්යාලේඛනවලදී, විචලනය සහ සම්මත අපගමනය යනු මධ්යන්යයෙන් දත්තවල විසරණය හෝ පැතිරීම තේරුම් ගැනීම සඳහා ඉතා වැදගත් වන සංඛ්යානමය මිනුම් දෙකකි. විචලනය මඟින් දත්ත මධ්යන්යයෙන් කොතරම් දුරකට පැතිරී ඇත්දැයි මනිනු ලබන අතර, සම්මත අපගමනය විචලනයේ වර්ගමූලය වන අතර, එය මුල් දත්තවලට සමාන ඒකකවල මිනුමක් සපයයි.
අර්ථ දැක්වීම
– විචලනය (σ² හෝ S²): එක් එක් දත්ත අගය සහ දත්තවල මධ්යන්යය අතර වෙනස්කම්වල වර්ගවල සාමාන්යය වේ.
– සම්මත අපගමනය (σ හෝ S): විචලනයේ වර්ගමූලය වේ.
කණ්ඩායම් දත්තවල විචලනය සහ සම්මත අපගමනය සඳහා සූත්රය
කණ්ඩායම් දත්ත සඳහා, අපි එක් එක් පන්තියේ දත්තවල සංඛ්යාතය භාවිතා කරමු. මෙන්න සූත්රය:
විචල්ය
\[ S^2 = \frac{ \එකතුව f_i \වම( x_i – \තීරුව{x} \දකුණ)^2 }{ N-1 } \]
සම්මත අපගමනය
\[ S = \sqrt{S^2} \]
කොහෙද:
– \( f_i \) = එක් එක් පන්තියේ සංඛ්යාතය.
– \( x_i \) = එක් එක් පන්තියේ මධ්ය ලක්ෂ්යය.
– \( \bar{x} \) = කණ්ඩායම් දත්තවල සාමාන්යය.
– \( N \) = මුළු දත්ත ගණන.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
පන්තිවලට කාණ්ඩගත කර ඇති පුද්ගලයින් කණ්ඩායමක බර දත්ත අප සතුව ඇතැයි උපකල්පනය කරන්න.
| බර පරතරය (kg) | සංඛ්යාතය (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
පළමු පියවර වන්නේ එක් එක් පන්තියේ මධ්ය ලක්ෂ්යය ( \( x_i \) ) තීරණය කර පසුව මධ්යන්යය ( \( \bar{x} \)) ගණනය කිරීමයි.
1. මධ්ය ලක්ෂ්යය ගණනය කිරීම ( \( x_i \) )
\[ \පෙළ{මැද ලක්ෂ්යය} = \frac{\පෙළ{පහළ සීමාව} + \පෙළ{ඉහළ සීමාව}}{2} \]
| බර පරතරය (kg) | සංඛ්යාතය (f) | මධ්ය ලක්ෂ්යය ( \( x_i \) ) |
|———————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. සාමාන්යය ගණනය කිරීම ( \( \bar{x} \) )
\[ \බාර්{x} = \frac{ \එකතුව f_i x_i }{ N } \]
මුළු දත්ත ගණන \( N \):
\[ එන් = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \එකතුව f_i x_i = (2 \වර 52) + (5 \වර 57) + (8 \වර 62) + (7 \වර 67) + (3 \වර 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
ඉතින්, සාමාන්යය (\( \bar{x} \)):
\[ \තීරුව{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. විචලනය ගණනය කිරීම ( \( S^2 \) )
අපි \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) ගණනය කළ යුතුයි:
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
සහ (72 – 62.8)^2 = 84.64
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
සංඛ්යාතය අනුව ගුණ කිරීම:
\[
\ආරම්භ කරන්න{පෙළගස්වන්න}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
සහ 5 \times 33.64 = 168.2 \\
සහ 8 \times 0.64 = 5.12 \\
සහ 7 \times 17.64 = 123.48 \\
සහ 3 \times 84.64 = 253.92
\අවසානය{පෙළගස්වන්න}
\]
\[
\එකතුව f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
දැන් අපට විචලනය (\( S^2 \)) ගණනය කළ හැකිය:
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \ආසන්න වශයෙන් 32.85 \]
4. සම්මත අපගමනය ගණනය කිරීම ( \( S \) )
සම්මත අපගමනය ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \ආසන්න වශයෙන් 5.73 \]
නිගමනය
ඉහත උදාහරණ දත්ත වලින්, අපට ඇත්තේ:
– සාමාන්ය ශරීර බර ගණනය කිරීම: 62.8 kg
– විචලනය ගණනය කිරීම: 32.85 kg²
– සම්මත අපගමනය ගණනය කිරීම: 5.73 kg
සම්මත අපගමනය අර්ථ නිරූපණය කරන්නේ බර දත්තවල සාමාන්ය අපගමනය මධ්යන්යයෙන් ආසන්න වශයෙන් 5.73 kg බවයි. මෙය මධ්යන්යයට සාපේක්ෂව දත්තවල පැතිරීම පෙන්නුම් කරන අතර එමඟින් අපගේ දත්ත කෙතරම් විචල්යද යන්න අනුමාන කළ හැකිය.
විචලනය සහ සම්මත අපගමනය පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් ඉතා වැදගත් වේ, විශේෂයෙන් සංඛ්යාලේඛන, පර්යේෂණ සහ පරීක්ෂණ ක්ෂේත්රයන්හි සේවය කරන අයට, කණ්ඩායම් හෝ බෙදාහැරීම් ආකාරයෙන් දත්ත තේරුම් ගැනීමට උත්සාහ කරන විට. මෙම මිනුම් දෙක ගණනය කර අර්ථ නිරූපණය කරන්නේ කෙසේදැයි දැන ගැනීම, අතේ ඇති දත්ත මත පදනම්ව වඩා හොඳ තීරණ ගැනීමට උපකාරී වේ.
