ශ්රිත පරිවර්තනය සාකච්ඡා කරන ප්රශ්න සඳහා උදාහරණ
ශ්රිත පරිවර්තන යනු ගණිතයේ, විශේෂයෙන් වීජ ගණිතයේ සහ ශ්රිත විශ්ලේෂණයේ ප්රධාන සංකල්පයකි. මෙම පරිවර්තනවලට ශ්රිතයක ප්රස්ථාරයේ පරිවර්තන, පරාවර්තන, විස්තාරණ සහ භ්රමණ වැනි විවිධ මෙහෙයුම් ඇතුළත් වේ. ශ්රිත පරිවර්තන ක්රියා කරන ආකාරය තේරුම් ගැනීම සහ ගැටළු වලට ඒවා යෙදවීමට හැකි වීම, අධ්යයන සන්දර්භයන්හිදී සහ එදිනෙදා ප්රායෝගික යෙදීම් දෙකෙහිම වටිනා කුසලතාවයකි.
මෙම සංකල්ප යෙදිය යුතු ආකාරය පිළිබඳ පැහැදිලි චිත්රයක් ලබා දීම සඳහා, පැහැදිලි කිරීම් සමඟින්, ශ්රිත පරිවර්තන ගැටළු සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් මෙම ලිපියෙන් ආවරණය කෙරේ. උදාහරණ වෙත කිමිදීමට පෙර, පොදු ශ්රිත පරිවර්තන වර්ග කිහිපයක් සමාලෝචනය කරමු:
1. පරිවර්තනය (Shift):
– තිරස් පරිවර්තනය: \( f(x) \longrightarrow f(x – h) \) මෙහි \( h \) යනු දකුණට හෝ වමට මාරුවීමේ ප්රමාණයයි.
– සිරස් පරිවර්තනය: \( f(x) \longrightarrow f(x) + k \) මෙහි \( k \) යනු ඉහළට හෝ පහළට මාරුවීමේ ප්රමාණයයි.
2. පරාවර්තනය (පරාවර්තනය):
– \( x \) අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය: \( f(x) \longrightarrow -f(x) \).
– \( y \) අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය: \( f(x) \longrightarrow f(-x) \).
3. ප්රසාරණය (පරිමාණයේ වෙනස):
– තිරස් ප්රසාරණය: \( f(x) \longrightarrow f(cx) \) මෙහි \( c \) යනු තිරස් පරිමාණ සාධකයයි.
– සිරස් ප්රසාරණය: \( f(x) \longrightarrow af(x) \) මෙහි \( a \) යනු සිරස් පරිමාණ සාධකයයි.
මෙම මූලික අවබෝධය සමඟින්, අපි ශ්රිත පරිවර්තන ගැටළු සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් වෙත යමු.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1: තිරස් පරිවර්තනය
ප්රශ්නය: \( f(x) = x^2 \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. ඒකක 3ක් දකුණට පරිවර්තනය කළ පසු ශ්රිතයේ ස්වරූපය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
තිරස් පරිවර්තනයක් මඟින් ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය \( x \) අක්ෂය දිගේ මාරු කරයි. ඒකක 3 කින් දකුණට කරන පරිවර්තනයක් මෙසේ පරිවර්තනය වේ:
\[ f(x-3) \]
ඉතින්, අපි මුල් ශ්රිතයේ එක් එක් \( x \) \( x – 3 \) සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරමු:
\[ f(x-3) = (x-3)^2 \]
එබැවින් ඒකක 3 කින් දකුණට පරිවර්තනය කරන ලද ශ්රිතය වන්නේ:
\[ (x-3)^2 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 2: සිරස් පරිවර්තනය
ප්රශ්නය: \( g(x) = \sqrt{x} \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. ඒකක 4ක් ඉහළට පරිවර්තනය කළ පසු ශ්රිතයේ ස්වරූපය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
සිරස් පරිවර්තනයක් මඟින් ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය \( y \ ) අක්ෂය දිගේ මාරු කරයි. ඒකක 4 කින් ඉහළට පරිවර්තනයක් මෙසේ පරිවර්තනය කෙරේ:
\[ උ(x) + 4 \]
ඉතින්, ඉහළට පරිවර්තනය කිරීමෙන් පසු ශ්රිතය:
\[ \වර්ග{x} + 4 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 3: \( x \) අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය
ප්රශ්නය: \( h(x) = \sin(x) \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. \( x \) අක්ෂය වටා පරාවර්තනය වූ පසු ශ්රිතයේ ස්වරූපය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\( x \) අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය ශ්රිතයේ ලකුණ වෙනස් කරයි. එබැවින් අපි ශ්රිතය -1 න් ගුණ කරමු:
\[ -h(x) \]
ඉතින්, \( x \) අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනයෙන් පසු ශ්රිතය වන්නේ:
\[ -\පව්(x) \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 4: \( y \) අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය
ප්රශ්නය: \( j(x) = e^x \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. \( y \) අක්ෂය වටා පරාවර්තනය වූ පසු ශ්රිතයේ ස්වරූපය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\( y \) අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය \( x \) විචල්යයේ ලකුණ වෙනස් කරයි. එබැවින් අපි එක් එක් \( x \) \( -x \) සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරමු:
\[ ජේ(-x) \]
ඉතින්, \( y \) අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනයෙන් පසු ශ්රිතය වන්නේ:
\[ e^{-x} \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 5: සිරස් ප්රසාරණය
ප්රශ්නය: \( f(x) = \cos(x) \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. 2 සාධකයක් සමඟ සිරස් ප්රසාරණය සිදු කරන විට ශ්රිතයේ ස්වරූපය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
සිරස් ප්රසාරණය යනු ශ්රිතයක් සිරස් පරිමාණ සාධකයකින් ගුණ කිරීමයි. එබැවින් අපි ශ්රිතය 2 න් ගුණ කරමු:
\[ 2f(x) \]
එබැවින්, 2 ගුණයකින් සිරස් ප්රසාරණයෙන් පසු ශ්රිතය වන්නේ:
\[ 2\කොස්(x) \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 6: තිරස් සහ සිරස් පරිවර්තන සංයෝජනය
ප්රශ්නය: \( k(x) = \ln(x) \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. ඒකක 2ක් වමට සහ ඒකක 3ක් පහළට පරිවර්තනය කළ පසු ශ්රිතයේ ස්වරූපය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමුව, ඒකක 2 ක වමට පරිවර්තනය \( k(x+2) \) ලෙස පරිවර්තනය වේ. දෙවනුව, ඒකක 3 ක පහළට පරිවර්තනය පහත පරිදි පරිවර්තනය වේ:
\[ k(x+2) – 3 \]
ඉතින්, මෙම පරිවර්තන සංයෝජනයෙන් පසු ශ්රිතය:
\[ \ln(x+2) – 3 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 7: පරාවර්තනය සහ ප්රසාරණය සංයෝජනය
ප්රශ්නය: \( m(x) = x^3 \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. \( y \) අක්ෂය වටා පරාවර්තනය වී 1/2 ක සාධකයක් සහිත සිරස් ප්රසාරණයක් සිදු කිරීමෙන් පසු ශ්රිතයේ ස්වරූපය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමුව, \( y \) අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය \( m(-x) \) ලෙස පරිවර්තනය වේ. දෙවනුව, 1/2 ගුණයකින් සිරස් ප්රසාරණය පරිවර්තනය වන්නේ:
\[ \frac{1}{2} m(-x) \]
ඉතින්, මෙම පරාවර්තනයේ සහ ප්රසාරණයේ සංයෝජනයෙන් පසු ශ්රිතය වන්නේ:
\[ \frac{1}{2}(-x)^3 = -\frac{1}{2} x^3 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 8: තිරස් ප්රසාරණය
ප්රශ්නය: \( n(x) = \tan(x) \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. 3 ක සාධකයක් සමඟ තිරස් ප්රසාරණය සිදු කරන විට ශ්රිතයේ ස්වරූපය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
තිරස් ප්රසාරණය යනු \( x \) විචල්යය 1/c න් ගුණ කිරීමයි (මෙහිදී \( c \) යනු තිරස් පරිමාණ සාධකයයි). එබැවින් අපි \( x \) විචල්යය 1/3 න් ගුණ කරමු:
\[ n(\frac{x}{3}) \]
එබැවින්, 3 ගුණයකින් තිරස් ප්රසාරණයෙන් පසු ශ්රිතය වන්නේ:
\[ \ටැන්(\ෆ්රැක්{x}{3}) \]
වසා දැමීම
පරිවර්තන, පරාවර්තන සහ විස්තාරණ ඇතුළු ශ්රිත පරිවර්තනයන් තේරුම් ගැනීම ගණිතය සහ එහි යෙදීම් සඳහා අතිශයින්ම ප්රයෝජනවත් වේ. ශ්රිත පරිවර්තනයන් සම්බන්ධ විවිධ ගැටළු පුහුණු කිරීමෙන් සහ විසඳීමෙන්, ශ්රිත ප්රස්ථාරවල හැඩයේ වෙනස්කම් දෘශ්යමාන කිරීමට සහ පුරෝකථනය කිරීමට ඔබට ඇති හැකියාව ඔබ ඔප් නංවනු ඇත.
මෙම ලිපියෙන් ඔබට ශ්රිත පරිවර්තන පිළිබඳව ඉගෙන ගැනීමට උපකාර වන උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සපයයි. සෑම උදාහරණ ගැටළුවක්ම සංකල්ප තේරුම් ගැනීම සහතික කිරීම සඳහා සවිස්තරාත්මක සාකච්ඡාවකින් පසුව සිදු කෙරේ. විවිධ ගැටළු සමඟ අඛණ්ඩව පුහුණුවීම මඟින් ශ්රිත පරිවර්තන තේරුම් ගැනීමට සහ යෙදීමට ඔබට වඩාත් ප්රවීණ වීමට උපකාරී වේ.
