වෘත්තයක සමීකරණය පිළිබඳ සාකච්ඡා ප්රශ්නයක උදාහරණයක්
විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතියේ වෘත්තයක සමීකරණය වැදගත් මාතෘකාවකි. වෘත්තයක සමීකරණය පිළිබඳ හොඳ අවබෝධයක් ගණිතයේ පමණක් නොව විවිධ ඉංජිනේරු සහ විද්යාත්මක යෙදීම්වල ද අතිශයින් ප්රයෝජනවත් වේ. මෙම ලිපියෙන් අපි වෘත්තයක සමීකරණ සහ ඒවායේ විසඳුම් සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් සාකච්ඡා කරමු. වෘත්තයක සමීකරණ සම්බන්ධ ගැටළු විසඳන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ පැහැදිලි සහ පුළුල් දළ විශ්ලේෂණයක් ලබා දීම ඉලක්කයයි.
වෘත්තයක සාමාන්ය සමීකරණය
කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවල වෘත්තයක වඩාත් පොදු සමීකරණය වන්නේ:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
මා:
– \( (a, b) \) යනු රවුමේ කේන්ද්රයේ ඛණ්ඩාංක වේ.
– \( r \) යනු වෘත්තයේ අරයයි.
රවුමේ කේන්ද්රය \( (0, 0) \) ලක්ෂ්යයේ නම්, රවුමේ සමීකරණය වනුයේ:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
දැන් අපි ගැටළු කිහිපයක් සහ ඒවාට විසඳුම් සාකච්ඡා කරමු.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
ප්රශ්නය: (3, -2) ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රය වන සහ 5 ක අරයක් ඇති වෘත්තයක සමීකරණය නිර්ණය කරන්න.
විසඳුමක්:
රවුමක සමීකරණය සඳහා පොදු සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
\( a = 3 \), \( b = -2 \), සහ \( r = 5 \) යන අගයන් ආදේශ කරන්න:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
ඉතින්, රවුමේ සමීකරණය:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
ප්රශ්නය: මූලාරම්භයේ කේන්ද්රය (0, 0) වන සහ අරය 7 ක් ඇති වෘත්තයක සමීකරණය නිර්ණය කරන්න.
විසඳුමක්:
රවුමේ කේන්ද්රය මූලාරම්භයේ ඇති බැවින්, අපට සරල සමීකරණය භාවිතා කළ හැකිය:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
අගය ආදේශ කරන්න \( r = 7 \):
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
ඉතින්, රවුමේ සමීකරණය:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
ප්රශ්නය: (4, -5) ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රය ඇති සහ Y අක්ෂය ස්පර්ශ කරන වෘත්තයක සමීකරණය නිර්ණය කරන්න.
විසඳුමක්:
Y-අක්ෂයට වෘත්ත ස්පර්ශකයක් යනු වෘත්තයේ කේන්ද්රයේ සිට Y-අක්ෂයට ඇති දුර එහි අරයට සමාන වේ. මෙම දුර වෘත්තයේ කේන්ද්රයේ X-ඛණ්ඩාංකයේ නිරපේක්ෂ අගය වේ. එබැවින්, අරය 4 වේ.
රවුමක සමීකරණය සඳහා පොදු සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
\( a = 4 \), \( b = -5 \), සහ \( r = 4 \) යන අගයන් ආදේශ කරන්න:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
ඉතින්, රවුමේ සමීකරණය:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 4
ප්රශ්නය: වෘත්තයකට \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \) සමීකරණය ඇත. වෘත්තයේ කේන්ද්රය සහ අරය නිර්ණය කරන්න.
විසඳුමක්:
මෙම සමීකරණය විසඳීම සඳහා, අපි එය සම්මත ආකාරය \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \) බවට පරිවර්තනය කළ යුතුය. එය සම්පූර්ණ කිරීමට පියවර පහත පරිදි වේ:
1. පරිපූර්ණ වර්ග කාණ්ඩගත කිරීම සහ විසඳීම:
ආරම්භක සමීකරණය වන්නේ:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
කණ්ඩායම \( x \) සහ \( y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. පරිපූර්ණ චතුරස්රය විසඳන්න:
\( x^2 – 6x \) සඳහා:
\[ x^2 – 6x + 9 \]
\( y^2 + 4y \) සඳහා:
\[ y^2 + 4y + 4 \]
සමීකරණයේ දෙපැත්තටම 9 සහ 4 එකතු කරන්න:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
එබැවින්, සම්මත ආකාරයෙන් වෘත්තයක සමීකරණය:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
මෙතැන් සිට, අපට පෙනෙන්නේ වෘත්තයේ කේන්ද්රය \( (3, -2) \) වන අතර අරය \( r = \sqrt{25} = 5 \) බවයි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 5
ප්රශ්නය: (2, 3) සහ (4, 5) ලක්ෂ්ය හරහා ගමන් කරන සහ x = 3 රේඛාවේ කේන්ද්රය ඇති කවයේ සමීකරණය නිර්ණය කරන්න.
විසඳුමක්:
ප්රශ්නයෙන්, අපි දන්නවා වෘත්තයේ කේන්ද්රය (3, b). වෘත්තය දන්නා ලක්ෂ්ය දෙකක් හරහා ද ගමන් කරයි. වෘත්තය (2, 3) හරහා ගමන් කරන බැවින්, කේන්ද්රයේ සිට මෙම ලක්ෂ්යය දක්වා ඇති දුර අරය වේ.
වෘත්තයක සමීකරණය වන්නේ:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
ආදේශන ලක්ෂ්යය (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – ආ)^2 = ආර්^2 \]
\[ 1 + (3 – ආ)^2 = ආර්^2 \]
\[ (3 – ආ)^2 = r^2 – 1 \]
ආදේශන ලක්ෂ්යය (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – ආ)^2 = ආර්^2 \]
\[ 1 + (5 – ආ)^2 = ආර්^2 \]
\[ (5 – ආ)^2 = r^2 – 1 \]
සමීකරණ දෙකෙන්, අපි (3 – b)^2 = (5 – b)^2 දැන ගනිමු. ඉතින්:
\[ 3 – ආ = \pm(5 – ආ) \]
\( 3 – b = 5 – b \) නම්, ප්රතිඵලය සත්ය විය නොහැක. එබැවින්:
\[ 3 – ආ = -(5 – ආ) \]
\[ ආ = 4 \]
b = 4 සමඟ, වෘත්තයේ සමීකරණය:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
කෙසේ වෙතත්, අපට කේන්ද්රය සහ ලක්ෂ්යය අතර දුරින් (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\) අරය ගණනය කළ හැකිය.
වෘත්තයේ සමීකරණය වන්නේ:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
නිගමනය
වෘත්තයක සමීකරණය තේරුම් ගැනීමෙන් බොහෝ ගණිත ගැටලු විසඳීම සරල කළ හැකිය. සෑම අවස්ථාවකදීම, කේන්ද්රය සහ අරය හඳුනා ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ. මෙම උදාහරණ ගැටළු සහ ඒවායේ පැහැදිලි කිරීම් පැහැදිලි කිරීමක් ලබා දෙන අතර වෘත්තයක සමීකරණය ඉගෙන ගැනීමට ඔබට උපකාරී වනු ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු. ගණිතයේ පුහුණුව පරිපූර්ණ කරයි, එබැවින් ඔබේ කුසලතා වැඩි දියුණු කිරීම සඳහා විවිධ ගැටළු උත්සාහ කිරීමට පසුබට නොවන්න.
