ත්රිකෝණමිතික අනුපාත සාකච්ඡා කරන ප්රශ්න සඳහා උදාහරණ
ත්රිකෝණමිතිය යනු ත්රිකෝණවල දිග සහ කෝණ අතර සම්බන්ධතාවය සමඟ කටයුතු කරන ගණිත අංශයකි. ත්රිකෝණමිතික අනුපාත ඉංජිනේරු විද්යාව, භෞතික විද්යාව, තාරකා විද්යාව සහ එදිනෙදා ජීවිතය වැනි විවිධ ක්ෂේත්රවල ප්රධාන කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. ත්රිකෝණමිතික අනුපාතවල මූලික සංකල්ප තේරුම් ගැනීමට ඔබට උපකාර කිරීම සඳහා උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සහ ඒවායේ විසඳුම් මෙම ලිපියෙන් සමාලෝචනය කෙරේ.
සෘජුකෝණී ත්රිකෝණවල ත්රිකෝණමිතික අනුපාත
සෘජුකෝණාස්ර ත්රිකෝණයක මූලික අනුපාත තේරුම් ගැනීමෙන් පටන් ගනිමු. මෙම අනුපාත සයින් (පව්), කෝසයින් (කොස්) සහ ටැන්ජන්ට් (ටැන්) ලෙස හැඳින්වේ. සෘජුකෝණාස්ර ත්රිකෝණයක, අප හඳුනාගත යුතු වැදගත් පැති තුනක් තිබේ:
1. ප්රතිවිරුද්ධ පැත්ත: අප සලකා බලන කෝණයට කෙළින්ම ප්රතිවිරුද්ධ පැත්ත.
2. යාබද පැත්ත: අප සලකා බලන කෝණයට යාබදව ඇති පැත්ත.
3. කර්ණ: සෘජුකෝණාස්ර ත්රිකෝණයක සෘජු කෝණයට ප්රතිවිරුද්ධ දිගම පැත්ත.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
θ කෝණයක් සහිත සෘජුකෝණාස්ර ත්රිකෝණයක් ලබා දී ඇති විට, θ කෝණයට ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තේ දිග ඒකක 3 ක් වන අතර, යාබද පැත්තේ දිග ඒකක 4 ක් වන අතර, කර්ණය ඒකක 5 ක් වේ. θ කෝණයේ sin, cos සහ tan අගයන් සොයන්න.
විසඳුමක්:
θ කෝණයේ සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක අගයන් සොයා ගැනීමට, අපි මූලික ත්රිකෝණමිතික අනුපාත සූත්ර භාවිතා කරමු:
– සයින් (පව්) θ = ඉදිරිපස පැත්ත / හයිපොටෙනස්
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]
– කොසයින් (cos) θ = පැති පැත්ත / කර්ණ
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]
– ටැන්ජන්ට් (ටැන්) θ = ඉදිරිපස පැත්ත / පැත්ත
\[ \ටැන් θ = \frac{3}{4} \]
අනෙකුත් කෝණවල ත්රිකෝණමිතික සම්බන්ධතා
ත්රිකෝණමිතික අනුපාත, සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණ සහ සාමාන්ය ත්රිකෝණ ඇතුළු විවිධ වර්ගයේ ත්රිකෝණවල අනෙකුත් කෝණ සඳහා ද යෙදිය හැකිය. සෘජුකෝණාස්ර ත්රිකෝණ නොවන ත්රිකෝණ සඳහා අදාළ වන සයින් රීතිය සහ කෝසයින් රීතිය වැනි මූලික නීති තේරුම් ගැනීම වැදගත් වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
පැති a = 7 cm, b = 24 cm, සහ කෝණය C = 90° සහිත ABC ත්රිකෝණයක් දී ඇති විට, c පැත්තේ දිග සහ A සහ B කෝණවල අගයන් සොයන්න.
විසඳුමක්:
C කෝණය සෘජු කෝණයක් බැවින්, c පැත්තේ දිග (කර්ණය) සොයා ගැනීමට අපට පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කළ හැකිය:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ c = \sqrt{49 + 576} \]
\[ c = \sqrt{625} \]
\[ c = 25 \, \පෙළ{සෙ.මී.} \]
ඊළඟට, A සහ B කෝණවල අගය තීරණය කිරීම සඳහා, අපට මූලික ත්රිකෝණමිතික අනුපාත භාවිතා කළ හැකිය.
A කෝණය සඳහා, අපි කෝසයින් භාවිතා කරමු:
\[ \cos A = \frac{\පෙළ{යාබද පැත්ත}}{\පෙළ{කර්ණය}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \වම(\frac{24}{25}\දකුණ) \]
B කෝණය සඳහා, අපි සයින් භාවිතා කරමු:
\[ \sin B = \frac{\පෙළ{ප්රතිමුඛ පැත්ත}}{\පෙළ{කර්ණය}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \වම(\frac{24}{25}\දකුණ) \]
මක්නිසාද යත් සෘජුකෝණී ත්රිකෝණයක සෘජු කෝණය හැර අනෙකුත් කෝණවල එකතුව 90° විය යුතු බැවිනි:
\[ A + B = 90° \]
\[ A = 90° – B \]
සයින් රීතිය
සයින් රීතිය පහත පරිදි දක්වා ඇත:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
a පැත්ත = 8 cm, b පැත්ත = 15 cm, සහ C කෝණය = 60° සහිත ත්රිකෝණයක් දී ඇති විට, සයිනස් රීතිය භාවිතයෙන් A කෝණය සහ c පැත්තේ දිග සොයන්න.
විසඳුමක්:
පළමුව, අනෙක් කෝණවලින් එකක් සොයා ගැනීමට සයින් රීතිය භාවිතා කරන්න (උදාහරණයක් ලෙස, කෝණය A):
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
අපි මුලින්ම c හි අගය ගණනය කළ යුතුයි. C කෝණය 60° වන බැවින්, අපට කෝසයින් නියමය භාවිතා කළ හැකිය:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[ ඇ^2 = 289 – 120 \]
\[ ඇ^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \පෙළ{සෙ.මී.} \]
දැන් අපට A කෝණය සොයාගත හැකිය:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
\(\sin 60° = \sqrt{3}/2\) නිසා:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]
අවසාන වශයෙන්, ප්රතිලෝම සයින් භාවිතා කිරීම:
\[ A = \sin^{-1}\වම(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\දකුණ) \]
කෝසයින් රීතිය
කෝසයින් රීතිය මෙසේ පවසයි:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 4
a පැත්ත = 9 cm, b පැත්ත = 12 cm, සහ c පැත්ත = 15 cm වන ත්රිකෝණයක් දී ඇති විට, C කෝණය සොයන්න.
විසඳුමක්:
C කෝණය සොයා ගැනීමට, අපි කෝසයින් රීතිය භාවිතා කරමු:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[ 15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[ 225 = 225 – 216 \cos C \]
\[ 0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]
මෙතැන් සිට අපට C කෝණය 90° බව දැනගත හැකිය, මන්ද cos 90° = 0 බැවිනි.
ත්රිකෝණමිතික අනුපාත තේරුම් ගැනීමට ඔබට උපකාරී වන උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් මෙන්න. විවිධ ගැටළු සමඟ අඛණ්ඩව පුහුණුවීම මෙම සංකල්ප පිළිබඳ ඔබේ අවබෝධය ශක්තිමත් කිරීමට බෙහෙවින් උපකාරී වනු ඇත. මෙම ලිපිය ඔබේ ඉගෙනීමට ප්රයෝජනවත් වී ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු!
