සංරචක අනුව දෛශික එකතු කිරීම පිළිබඳ සාකච්ඡා ප්‍රශ්නයක උදාහරණයක්

සංරචක අනුව දෛශික එකතු කිරීම සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්‍රශ්න

දෛශික එකතු කිරීම යනු භෞතික විද්‍යාවේ සහ ගණිතයේ මූලික ක්‍රියා පටිපාටියක් වන අතර එය දෛශික දෙකක හෝ වැඩි ගණනක ප්‍රතිඵලය සොයා ගැනීමට භාවිතා කරයි. දෛශික එකතු කිරීම විසඳීම සඳහා සංරචක අනුව ප්‍රවේශය විශේෂයෙන් ප්‍රයෝජනවත් ක්‍රමයකි, විශේෂයෙන් ද්විමාන හෝ ත්‍රිමාණ දෛශික සමඟ කටයුතු කරන විට. මෙම ලිපිය සංරචක අනුව දෛශික එකතු කිරීමේ සංකල්පය පැහැදිලි කරන අතර උදාහරණ ගැටළු සහ විසඳුම් කිහිපයක් සපයයි.

සංරචක දෛශික එකතු කිරීමේ සංකල්පය

ද්විමාන (2D) අවකාශයේ ඇති සෑම දෛශිකයක්ම සංරචක දෙකකට බෙදිය හැකිය: x (තිරස්) සංරචකයක් සහ y (සිරස්) සංරචකයක්. ත්‍රිමාණ (3D) වලදී, දෛශිකවලට අතිරේක සංරචකයක් ඇත, එනම් z (ගැඹුර) සංරචකය.

අපට A සහ ​​B දෛශික දෙකක් ඇතැයි සිතමු. මෙම දෛශිකවල සංරචක පහත පරිදි ප්‍රකාශ කළ හැකිය:

– දෛශික A හි 2D හි \(A_x\) සහ \(A_y\) සංරචක ඇත (නැතහොත් 3D හි \(A_z\) ද ඇත).
– දෛශික B හි 2D හි \(B_x\) සහ \(B_y\) සංරචක ඇත (නැතහොත් 3D හි \(B_z\) ද ඇත).

මෙම දෛශික දෙක එකතු කිරීමෙන් පහත සඳහන් සංරචක සහිත ප්‍රතිඵලයක් ලෙස දෛශිකයක් R නිපදවනු ඇත:

\[ ආර්_එක්ස් = අ_එක්ස් + ආ_එක්ස් \]
\[ R_y = අ_ය + අ_ය \]

ත්‍රිමාණයේ දෛශික සඳහා, z සංරචකය ද පහත පරිදි වේ:

\[ R_z = A_z + B_z \]

ප්‍රතිඵල දෛශිකයේ එක් එක් සංරචකය ගණනය කිරීමෙන් පසු, අපට සූත්‍රය භාවිතයෙන් ප්‍රතිඵල දෛශිකයේ මොඩියුලය (විශාලත්වය) සහ දිශාව සොයාගත හැකිය:

\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (2D සඳහා)

හෝ 3D සඳහා:

\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]

සහ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකයේ දිශාව ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට ඇති කෝණය මගින් තීරණය කළ හැක.

නියැදි ප්‍රශ්න සහ සාකච්ඡා

ප්‍රශ්නය 1
ද්විමාන තලයක දෛශික දෙකක් දී ඇති විට:
– A යනු නැගෙනහිරට \(5 \, \පෙළ{ඒකකය}\) වේ.
– B උතුරට \(3 \, \පෙළ{ඒකකය}\) වේ.

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය R තීරණය කරන්න.

සාකච්ඡා
පළමුව, අපි දෛශිකය එහි අදාළ සංරචක බවට පරිවර්තනය කරමු.
– දෛශික A : \(A = (5, 0)\) මන්ද එහි ඇත්තේ x සංරචකයක් පමණි.
– දෛශික B : \(B = (0, 3)\) මන්ද එයට y සංරචකයක් පමණක් ඇති බැවිනි.

සංරචකවල එකතුව මෙන්න:
\[ ආර්_එක්ස් = අ_එක්ස් + බී_එක්ස් = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]

එවිට ප්‍රතිඵලය වන දෛශිකය R වන්නේ:
\[ ආර් = (5, 3) \]

දෛශිකයේ දිග (මොඩියුලස්) ගණනය කිරීම සඳහා R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \ආසන්න වශයෙන් 5.83 \]

දෛශික R හි දිශාව x-අක්ෂයට θ කෝණය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:
\[ \ටැන්(\තීටා) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \තීටා = \ආක්ටාන්\වම(\frac{3}{5}\දකුණ) \ආසන්න වශයෙන් 30.96^\පරිච්ඡේදය \]

මේ අනුව, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය R ඒකක 5.83 ක් පමණ දිගකින් යුක්ත වන අතර x-අක්ෂය සමඟ 30.96° කෝණයක් සාදයි.

ප්‍රශ්නය 2
ත්‍රිමාණ දෛශික දෙකක් දී ඇති විට:
– A යනු \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\) වේ.
– B යනු \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\) වේ.

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය R තීරණය කරන්න.

සාකච්ඡා
පළමුව, අපි එක් එක් දෛශිකයේ සංරචක හඳුනා ගනිමු:
– දෛශිකය A : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– දෛශිකය B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).

සංරචකවල එකතුව මෙන්න:
\[ ආර්_එක්ස් = අ_එක්ස් + බී_එක්ස් = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]

එවිට ප්‍රතිඵලය වන දෛශිකය R වන්නේ:
\[ ආර් = (4, 6, 3) \]

දෛශිකයේ දිග (මොඩියුලස්) ගණනය කිරීම සඳහා R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \ආසන්න වශයෙන් 7.81 \]

x, y සහ z අක්ෂවලට සාපේක්ෂව R දෛශිකයේ දිශාව අධ්‍යක්ෂකයේ කෝසයිනය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \ආසන්න වශයෙන් 0.512 \]
\[ \ඇල්ෆා = \ආර්කෝස්(0.512) \ආසන්න වශයෙන් 59.50^\පරිසරය \]

\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \ආසන්න වශයෙන් 0.768 \]
\[ \බීටා = \ආර්කෝස්(0.768) \ආසන්න වශයෙන් 39.50^\පරිච්ඡේදය \]

\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \ආසන්න වශයෙන් 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \ආසන්න වශයෙන් 67.64^\circ \]

මේ අනුව, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය R හි දිග ඒකක 7.81 ක් පමණ වන අතර x, y සහ z අක්ෂවලට සාපේක්ෂව එහි දිශාවන් 59.50°, 39.50° සහ 67.64° වේ.

ප්‍රශ්නය 3
දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත:
– P හි විශාලත්වය ඒකක 4 ක් වන අතර ධන x-අක්ෂයට 45° කෝණයක් සාදයි.
– Q හි විශාලත්වය ඒකක 6 ක් වන අතර ධන x-අක්ෂයට 120° කෝණයක් සාදයි.

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය R තීරණය කරන්න.

සාකච්ඡා
පළමුව, අපි දෛශිකය එහි x සහ y සංරචක වලට බෙදමු:
– දෛශිකය P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \ආසන්න වශයෙන් 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \ආසන්න වශයෙන් 2.83\).
– දෛශික Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\දකුණ) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \ආසන්න වශයෙන් 5.2\).

සංරචකවල එකතුව මෙන්න:
\[ ආර්_x = පී_x + ප්‍රශ්නය_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]

එවිට, ප්‍රතිඵලය වන දෛශිකය R වන්නේ:
\[ ආර් = (-0.17, 8.03) \]

දෛශිකයේ දිග (මොඩියුලස්) ගණනය කිරීම සඳහා R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \ආසන්න වශයෙන් 8.03 \]

දෛශික R හි දිශාව:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \තීටා = \ආක්ටන්(-47.24) \ආසන්න වශයෙන් -88.99^\පරිසරය \]

කෙසේ වෙතත්, මෙම කෝණය සෘණ x-අක්ෂය වටා මනිනු ලැබේ, එබැවින් ගැටලුවේ සන්දර්භය තුළ සත්‍ය කෝණය:
\[ 180^\පරිසරය – 88.99^\පරිසරය \ආසන්න වශයෙන් 91.01^\පරිසරය \]

මේ අනුව, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය R ඒකක 8.03 ක් පමණ දිගකින් යුක්ත වන අතර ධන x-අක්ෂය සමඟ 91.01° කෝණයක් සාදයි.

මෙම ලිපියෙන් සංරචක අනුව දෛශික එකතු කිරීම සාකච්ඡා කර ඇති අතර, උදාහරණ ගැටළු සහ විසඳුම් කිහිපයක් සපයයි. සංරචක අනුව ක්‍රමය ගණනය කිරීම් සරල කිරීමට සහ අවකාශයේ ගණිතමය මානය තුළ දෛශික ගැටළු විසඳීමට ක්‍රමානුකූල ක්‍රමයක් සැපයීමට ඉතා ප්‍රයෝජනවත් වේ.