ශ්රිත එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
ශ්රිත එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම ගණිතයේ මූලික හා තීරණාත්මක සංකල්පයකි. මෙම සංකල්පය අධ්යයන සන්දර්භයන් තුළ පමණක් නොව එදිනෙදා ජීවිතයේදී සහ අනෙකුත් අධ්යයන ක්ෂේත්රවල ප්රායෝගික යෙදුම් රාශියක් ඇත. මෙම ලිපියෙන්, එකතු කිරීමේ සහ අඩු කිරීමේ ගැටළු සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් සහ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් අපි සාකච්ඡා කරමු.
මූලික අර්ථ දැක්වීම් සහ සංකල්ප
උදාහරණ ප්රශ්න වලට පිවිසීමට පෙර, එකතු කිරීමේ සහ අඩු කිරීමේ ශ්රිතවල අර්ථ දැක්වීම සහ මූලික සංකල්ප පිළිබඳව ටිකක් සාකච්ඡා කරමු.
ශ්රිත එකතු කිරීම
අපට ශ්රිත දෙකක් තිබේ නම් \( f(x) \) සහ \( g(x) \), එවිට මෙම ශ්රිත දෙකෙහි එකතුව නව ශ්රිතයක් වන අතර එය පහත පරිදි අර්ථ දැක්වේ:
\[ (f + g)(x) = f(x) + g(x) \]
ක්රියාකාරීත්වය අඩු කිරීම
ශ්රිත අඩු කිරීම ද ශ්රිත එකතු කිරීම හා සමාන ආකාරයකින් අර්ථ දක්වා ඇත. අපට ශ්රිත දෙකක් තිබේ නම් \( f(x) \) සහ \( g(x) \), එවිට මෙම ශ්රිත දෙකෙහි අඩු කිරීම පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇති නව ශ්රිතයකි:
\[ (f – g)(x) = f(x) – g(x) \]
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
මෙම සංකල්පය පැහැදිලි කිරීම සඳහා උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් දෙස බලමු.
උදාහරණ 1: රේඛීය ශ්රිත එකතු කිරීම
\( f(x) = 2x + 3 \) සහ \( g(x) = x – 1 \) ලෙස සලකන්න. \( (f + g)(x) \) නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
අපට අනුරූප පද එකතු කිරීමෙන් ශ්රිත දෙක එකතු කළ හැකිය.
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
\]
\[
(f + g)(x) = (2x + 3) + (x – 1)
\]
\[
(f + g)(x) = 2x + x + 3 – 1
\]
\[
(f + g)(x) = 3x + 2
\]
ඉතින්, \( (f + g)(x) = 3x + 2 \).
උදාහරණ 2: රේඛීය ශ්රිත අඩු කිරීම
\( f(x) = 4x + 5 \) සහ \( g(x) = 2x – 3 \) ලෙස උපකල්පනය කරන්න. \( (f – g)(x) \) නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
අනුරූප පද අඩු කිරීමෙන් අපට ශ්රිත දෙකම අඩු කළ හැකිය.
\[
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
\]
\[
(f – g)(x) = (4x + 5) – (2x – 3)
\]
\[
(f – g)(x) = 4x + 5 – 2x + 3
\]
\[
(f – g)(x) = 2x + 8
\]
ඉතින්, \( (f – g)(x) = 2x + 8 \).
උදාහරණය 3: චතුර්ථ ශ්රිත එකතු කිරීම
\( f(x) = x^2 + 2x + 1 \) සහ \( g(x) = -x^2 + 4x – 3 \) ලෙස සලකන්න. \( (f + g)(x) \) නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
අපට අනුරූප පද එකතු කිරීමෙන් ශ්රිත දෙක එකතු කළ හැකිය.
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
\]
\[
(f + g)(x) = (x^2 + 2x + 1) + (-x^2 + 4x – 3)
\]
\[
(f + g)(x) = x^2 – x^2 + 2x + 4x + 1 – 3
\]
\[
(f + g)(x) = 6x – 2
\]
ඉතින්, \( (f + g)(x) = 6x – 2 \).
උදාහරණය 4: චතුර්ථ ශ්රිත අඩු කිරීම
\( f(x) = 3x^2 – 2x + 4 \) සහ \( g(x) = x^2 + x – 5 \) ලෙස සලකන්න. \( (f – g)(x) \) නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
අනුරූප පද අඩු කිරීමෙන් අපට ශ්රිත දෙකම අඩු කළ හැකිය.
\[
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
\]
\[
(f – g)(x) = (3x^2 – 2x + 4) – (x^2 + x – 5)
\]
\[
(f – g)(x) = 3x^2 – x^2 – 2x – x + 4 + 5
\]
\[
(f – g)(x) = 2x^2 – 3x + 9
\]
ඉතින්, \( (f – g)(x) = 2x^2 – 3x + 9 \).
උදාහරණ 5: ඝාතීය ශ්රිත එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
\( f(x) = e^x \) සහ \( g(x) = e^{-x} \) ලෙස සලකන්න. තීරණය කරන්න:
1. \( (f + g)(x) \)
2. \( (f – g)(x) \)
සාකච්ඡාව:
1. එකතු කිරීමේ කාර්යය:
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
\]
\[
(f + g)(x) = e^x + e^{-x}
\]
ඉතින්, \( (f + g)(x) = e^x + e^{-x} \).
2. ක්රියාකාරීත්වය අඩු කිරීම:
\[
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
\]
\[
(f – g)(x) = e^x – e^{-x}
\]
ඉතින්, \( (f – g)(x) = e^x – e^{-x} \).
උදාහරණ 6: ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
\( f(x) = \sin x \) සහ \( g(x) = \cos x \) ලෙස උපකල්පනය කරන්න. තීරණය කරන්න:
1. \( (f + g)(x) \)
2. \( (f – g)(x) \)
සාකච්ඡාව:
1. එකතු කිරීමේ කාර්යය:
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
\]
\[
(f + g)(x) = \sin x + \cos x
\]
ඉතින්, \( (f + g)(x) = \sin x + \cos x \).
2. ක්රියාකාරීත්වය අඩු කිරීම:
\[
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
\]
\[
(f – g)(x) = \sin x – \cos x
\]
ඉතින්, \( (f – g)(x) = \sin x – \cos x \).
උදාහරණ 7: භෞතික ගැටළු වලදී ශ්රිත එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම යෙදීම
එකම මාර්ගයේ ගමන් කරන මෝටර් රථ දෙකක පිහිටීම (මීටර වලින්) කාලයෙන් \( t \) (තත්පර වලින්) විස්තර කරන ශ්රිත දෙකක් ඇතැයි සිතමු.
කාර් A: \( f(t) = 5t + 2 \)
කාර් B: \( g(t) = 3t + 4 \)
තීරණය කරන්න:
1. මෝටර් රථ දෙකෙහි ඒකාබද්ධ පිහිටීම.
2. මෝටර් රථ දෙකෙහි වේලාවේ පිහිටීමෙහි වෙනස \( t \).
සාකච්ඡාව:
1. එකතු කිරීමේ කාර්යය:
\[
(f + g)(t) = f(t) + g(t)
\]
\[
(f + g)(t) = (5t + 2) + (3t + 4)
\]
\[
(f + g)(t) = 8t + 6
\]
ඉතින්, \( t \) වේලාවේදී මෝටර් රථ දෙකේ ඒකාබද්ධ පිහිටීම \( 8t + 6 \) මීටර් වේ.
2. ක්රියාකාරීත්වය අඩු කිරීම:
\[
(f – g)(t) = f(t) – g(t)
\]
\[
(f – g)(t) = (5t + 2) – (3t + 4)
\]
\[
(f – g)(t) = 2t – 2
\]
ඉතින්, වේලාවේදී මෝටර් රථ දෙකෙහි පිහිටීමෙහි වෙනස \( t \) මීටර් \( 2t – 2 \) කි.
නිගමනය
ගණිතයේ දී ශ්රිත එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම ඉතා වැදගත් මූලික සංකල්ප වේ. අනුරූප පද එකතු කිරීමෙන් හෝ අඩු කිරීමෙන් අපට ශ්රිත දෙකක් එකතු කිරීමට හෝ අඩු කිරීමට හැකිය. මෙම සංකල්පය ශාස්ත්රීය සන්දර්භයක් තුළ පමණක් නොව, බොහෝ ප්රායෝගික යෙදුම් ද ඇත. ඉහත විවිධ උදාහරණ ප්රශ්න හරහා, පාඨකයන්ට මෙම සංකල්පය වඩා හොඳින් තේරුම් ගත හැකි යැයි බලාපොරොත්තු වේ.
