දෛශික අඩු කිරීම පිළිබඳ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාව
පෙන්ඩහුලුවන්
ගණිතය හා භෞතික විද්යාවේදී, දෛශික යනු බොහෝ ස්වාභාවික හා ඉංජිනේරු සංසිද්ධි පැහැදිලි කිරීමට භාවිතා කරන මූලික සංකල්පයකි. දෛශිකයක් යනු විශාලත්වය සහ දිශාව යන දෙකම ඇති ප්රමාණයකි. දෛශික සඳහා වැදගත් උදාහරණ කිහිපයක් වන්නේ විස්ථාපනය, ප්රවේගය, ත්වරණය සහ බලයයි. මෙම ලිපියෙන් අපි දෛශික අඩු කිරීම සාකච්ඡා කරමු, නමුත් මෙම මාතෘකාව බොහෝ විට දෛශික සංයෝජනයේ සන්දර්භය තුළ අවධාරණය කෙරේ.
දෛශික අඩු කිරීම යනු දෛශික විශ්ලේෂණයේ දී ඉතා වැදගත් වන මූලික මෙහෙයුමකි. මෙම සංකල්පය ගැඹුරින් අධ්යයනය කිරීම සඳහා, දෛශික අඩු කිරීමට අදාළ ගැටළු සහ සාකච්ඡා කිහිපයක් සමාලෝචනය කරමු.
දෛශික අඩු කිරීම
දෛශික අඩු කිරීම {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} යනු දෛශිකය {\displaystyle -\mathbf{B}} සමඟ දෛශිකය {\displaystyle \mathbf{A}} එකතු කිරීමේ මෙහෙයුම ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත, එහිදී {\displaystyle -\mathbf{B}} යනු {\displaystyle \mathbf{B}} ට සමාන විශාලත්වයක් ඇති නමුත් ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවක් ඇති දෛශිකයකි. ගණිතමය වශයෙන්, මෙය මෙසේ ලිවිය හැකිය:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
ප්රශ්නය 1: ද්විමාන දෛශික අඩු කිරීම
කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවල දෛශික දෙකක් ඇතැයි සිතමු:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} සහ {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමු පියවර වන්නේ {\displaystyle \mathbf{B}} හි සෘණ දෛශිකය සොයා ගැනීමයි, එනම්:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
ඊළඟට, {\displaystyle \mathbf{A}} දෛශිකය {\displaystyle -\mathbf{B}} සමඟ එක් කරන්න:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
එක් එක් x සහ y සංරචක එකතු කිරීමෙන් දෛශික එකතු කිරීම සිදු කරන්න:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
ඉතින්, දෛශික {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} අඩු කිරීමේ ප්රතිඵලය වන්නේ දෛශිකය (3, 1) වේ.
ප්රශ්නය 2: ත්රිමාණ දෛශික අඩු කිරීම
ත්රිමාණ ඛණ්ඩාංකවල දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} සහ {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමු පියවර වන්නේ {\displaystyle \mathbf{Q}} හි සෘණ දෛශිකය සොයා ගැනීමයි:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
ඊළඟට, {\displaystyle -\mathbf{Q}} සමඟ {\displaystyle \mathbf{P}} දෛශිකය එක් කරන්න:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
එක් එක් x, y, සහ z සංරචක එකතු කිරීමෙන් දෛශික එකතු කිරීම සිදු කරන්න:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
ඉතින්, දෛශික {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} අඩු කිරීමේ ප්රතිඵලය වන්නේ දෛශිකය (5, -9, -1) වේ.
ප්රශ්නය 3: සංකීර්ණ තලයේ දෛශික අඩු කිරීම
සංකීර්ණ සංඛ්යා මගින් නිරූපණය වන දෛශික දෙකක් ඇතැයි සිතමු:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} සහ {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමු පියවර වන්නේ {\displaystyle \mathbf{N}} හි සෘණ දෛශිකය සොයා ගැනීමයි:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
ඊළඟට, {\displaystyle -\mathbf{N}} සමඟ {\displaystyle \mathbf{M}} දෛශිකය එක් කරන්න:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
එක් එක් සැබෑ සහ මනඃකල්පිත සංරචක එකතු කිරීමෙන් දෛශික එකතු කිරීම සිදු කරන්න:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
ඉතින්, දෛශික {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} අඩු කිරීමේ ප්රතිඵලය වන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්යාව 2 + 2i වේ.
ප්රශ්නය 4: ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ දෛශික අඩු කිරීම
ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංකවල දෛශික දෙකක් ඇතැයි සිතමු:
{\displaystyle \mathbf{U}} හි විශාලත්වය 5 ක් සහ කෝණය 30° ක් වේ,
සහ {\displaystyle \mathbf{V}} හි විශාලත්වය 3 ක් සහ කෝණය 150° කි.
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමු පියවර වන්නේ දෛශික {\displaystyle \mathbf{U}} සහ {\displaystyle \mathbf{V}} කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක බවට පරිවර්තනය කිරීමයි.
{\displaystyle \mathbf{U}} සඳහා:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\දකුණ) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\දකුණ) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
එබැවින් කාටිසියානු භාෂාවෙන් {\displaystyle \mathbf{U}} යනු (4.33, 2.5) වේ.
{\displaystyle \mathbf{V}} සඳහා:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\දකුණ) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\දකුණ) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
එබැවින් කාටිසියානු භාෂාවෙන් {\displaystyle \mathbf{V}} යනු (-2.598, 1.5) වේ.
ඊළඟ පියවරේදී, කාටිසියානු භාෂාවෙන් දෛශික අඩු කිරීම ගණනය කරන්න:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
එනම් දෛශිකයේ සෘණ අගය එකතු කිරීමෙන්:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
ඉතින්, කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවල දෛශිකය {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} අඩු කිරීමේ ප්රතිඵලය (6.928, 1) වේ.
නිගමනය
දෛශික විශ්ලේෂණය භාවිතා කරන බොහෝ ක්ෂේත්රවල දෛශික අඩු කිරීම අත්යවශ්ය ගණිතමය මෙහෙයුමකි. ද්විමාන, ත්රිමාණ, සංකීර්ණ හෝ ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිවල වේවා, මූලික මූලධර්මය එලෙසම පවතී: එක් දෛශිකයක් තවත් දෛශිකයක සෘණයට එකතු කිරීම. ඉහත උදාහරණ මගින් විවිධ සන්දර්භයන් තුළ මෙම මෙහෙයුම යෙදීමට විවිධ ක්රම නිරූපණය කරයි, එමඟින් සංකල්පය වඩාත් ගැඹුරින් සහ ප්රායෝගිකව තේරුම් ගැනීමට අපට උපකාරී වේ.
