පැතලි තලයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේදී අනුකලනය යෙදීම පිළිබඳ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාව
ගණිතය ඉගැන්වීමේදී, අනුකලයන් බොහෝ විට කලනය තුළ හමු වේ. අනුකලයන්ගේ වඩාත් ප්රසිද්ධ යෙදුම්වලින් එකක් වන්නේ වක්රයක් හෝ තලයක් යටතේ ප්රදේශය ගණනය කිරීමයි. මෙම ලිපිය උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සාකච්ඡා කරන අතර තලයක ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා අනුකලයන්ගේ යෙදුම සාකච්ඡා කරනු ඇත.
න්යායට හැඳින්වීම
උදාහරණ ගැටලුව වෙත යාමට පෙර, අනුකලයන් භාවිතයෙන් වක්රයක් යටතේ ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ මූලික සංකල්පය සමාලෝචනය කරමු. අපට [a, b] අන්තරයේ අඛණ්ඩව පවතින f(x) ශ්රිතයක් තිබේ නම්, x = a සිට x = b දක්වා y = f(x) වක්රය යටතේ ඇති ප්රදේශය:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
ජ්යාමිතිකව, මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපි ඉතා තුනී සෘජුකෝණාස්රයක වර්ගඵලය x = a සිට x = b දක්වා සාරාංශ කරන බවයි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
සෝල්
[1, 3] පරතරය තුළ y = x² වක්රය යටතේ වර්ගඵලය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡා
ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි අනුකලනය භාවිතා කරමු:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
අපි \( x^2 \) හි ප්රතිව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමෙන් ආරම්භ කරමු. \( x^2 \) හි ප්රතිව්යුත්පන්නය \( \frac{x^3}{3} \) වේ. එවිට අනුකලය බවට පත් වන්නේ:
\[ L = \වම[ \frac{x^3}{3} \දකුණ]_{1}^{3} \]
අනුකලයේ සීමාවන් මත ප්රතිව්යුත්පන්නය ඇගයීමට සිදුවන බව මතක තබා ගන්න:
\[ L = \වම( \frac{3^3}{3} \දකුණ) – \වම( \frac{1^3}{3} \දකුණ) \]
\[ L = \වම( \frac{27}{3} \දකුණ) – \වම( \frac{1}{3} \දකුණ) \]
\[ එල් = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
ඉතින්, x = 1 සිට x = 3 දක්වා y = x² වක්රය යටතේ ඇති වර්ගඵලය:
\[ \frac{26}{3} \, \පෙළ{ප්රදේශ ඒකකය} \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
සෝල්
y = x³ වක්රය සහ x = 1 සහ x = 2 රේඛා මගින් සීමා වූ කලාපයේ ප්රදේශය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡා
ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි අනුකලනය භාවිතා කරමු:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
සුපුරුදු පරිදි, අපි \( x^3 \) හි ප්රතිව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමෙන් ආරම්භ කරමු. \( x^3 \) හි ප්රතිව්යුත්පන්නය \( \frac{x^4}{4} \) වේ. අනුකලනය බවට පත් වන්නේ:
\[ L = \වම[ \frac{x^4}{4} \දකුණ]_{1}^{2} \]
අනුකලනයේ සීමාවන් තක්සේරු කරන්න:
\[ L = \වම( \frac{2^4}{4} \දකුණ) – \වම( \frac{1^4}{4} \දකුණ) \]
\[ L = \වම( \frac{16}{4} \දකුණ) – \වම( \frac{1}{4} \දකුණ) \]
\[ එල් = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
ඉතින්, x = 1 සිට x = 2 දක්වා y = x³ වක්රය යටතේ ඇති ප්රදේශය:
\[ \frac{15}{4} \, \පෙළ{ප්රදේශ ඒකකය} \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
සෝල්
x = 0 සිට x = 1 දක්වා පරතරය තුළ y = x² + 1 සහ y = 2x + 2 වක්ර වලින් මායිම් වූ කලාපයේ ප්රදේශය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡා
පළමුව, අනුකලනයේ සීමාවන් තීරණය කිරීම සඳහා අපි ඡේදනය වන ලක්ෂ්ය සොයා ගත යුතුය. \( x^2 + 1 = 2x + 2 \): සඳහා විසඳුම.
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
චතුරස්ර සූත්රය භාවිතා කරමින්:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
කෙසේ වෙතත්, 0 සහ 1 අතර ඉහළ සහ පහළ සීමාවන් සඳහා, අපට චතුරස්ර විසඳුම භාවිතා කිරීමට අවශ්ය නැත, 0 සිට 1 දක්වා සාමාන්ය අනුකල සීමාව පමණි. ඊළඟට, මෙම සීමාවන්ට අනුව ඉහළ y වක්රයේ ප්රදේශය අඩු කර පහළ y වක්රය ගණනය කරන්න:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
කාර්යය සරල කිරීම:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
ඊළඟට, අපි ප්රතිව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
\( (-x^2) \) හි ප්රතිව්යුත්පන්නය \( -\frac{x^3}{3} \), වේ.
\( (2x) \) හි ප්රතිව්යුත්පන්නය \( x^2 \), වේ.
\( (1) \) හි ප්රතිව්යුත්පන්නය \( x \) වේ.
ඉතින් එතකොට,
\[ L = \වම. \වම(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \දකුණ) \දකුණ|_0^1 \]
ඊළඟ ඇගයීම:
\[ L = \වම[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \දකුණ] – \වම[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \දකුණ] \]
\[ L = \වම[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \දකුණ] – \වම[ 0 \දකුණ] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
ඉතින්, [0, 1] පරතරයේ y = x² + 1 සහ y = 2x + 2 වක්රවලින් මායිම් වූ කලාපයේ වර්ගඵලය:
\[ \frac{5}{3} \, \පෙළ{ප්රදේශ ඒකකය} \]
-
ඉහත උදාහරණ වලින්, වක්රයක් යටතේ හෝ වක්ර දෙකක් අතර ප්රදේශය ගණනය කිරීමට අනුකලයන් භාවිතා කළ හැකි ආකාරය අපට දැක ගත හැකිය. අනුකලයන් සහ ප්රතිව්යුත්පන්න ශිල්පීය ක්රම පිළිබඳ මූලික සංකල්ප පිළිබඳ නිසි අවබෝධයක් ඇතිව, මෙම ප්රදේශ ගණනය කිරීම ඉතා ක්රමානුකූල හා කාර්යක්ෂම වේ. බලාපොරොත්තු වන පරිදි, මෙම ලිපිය සැබෑ ලෝකයේ, විශේෂයෙන් තල මතුපිටවල ප්රදේශය මැනීමේ ක්ෂේත්රයේ අනුකලයන්ගේ යෙදුම පිළිබඳ අපගේ අවබෝධය වැඩි කර ඇත.
