දෛශික මෙහෙයුම් සාකච්ඡා ප්රශ්න සඳහා උදාහරණය
දෛශික මෙහෙයුම් යනු භෞතික විද්යාව, ඉංජිනේරු විද්යාව සහ පරිගණක විද්යාව වැනි විවිධ පර්යේෂණ ක්ෂේත්රවල නිතර දක්නට ලැබෙන ගණිතයේ මූලික සංකල්පයකි. මෙම ලිපියෙන්, ගැඹුරු සහ වඩාත් සංයුක්ත අවබෝධයක් ලබා දීම සඳහා දෛශික මෙහෙයුම් සහ ඒවායේ විසඳුම් පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයක් අපි සාකච්ඡා කරමු. මෙම උදාහරණ මගින් දෛශික එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම වැනි මූලික මෙහෙයුම් මෙන්ම අදිශ ගුණ කිරීම සහ හරස්-දෛශික ගුණ කිරීම වැනි වඩාත් දියුණු මෙහෙයුම් ආවරණය කෙරේ.
1. දෛශික එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
A සහ B යන දෛශික දෙකක් සංරචක ආකාරයෙන් දී ඇති විට:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
දෛශික දෙකෙහි එකතු කිරීමේ සහ අඩු කිරීමේ ප්රතිඵලය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡා
දෛශික එකතු කිරීම සඳහා, අපි දෛශික දෙකෙහි එක් එක් අනුරූප සංරචකය එකතු කරමු.
\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
දෛශික අඩු කිරීම සඳහා, අපි දෛශික දෙකෙහිම අනුරූප සංරචකය අඩු කරමු.
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]
2. දෛශිකය මගින් පරිමාණ ගුණ කිරීම
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
දෛශික C සහ අදිශ k ලබා දී ඇති විට:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ කේ = 4 \]
දෛශික C හි අදිශ ගුණිතය අදිශ k මගින් ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡා
දෛශිකයකින් අදිශයක් ගුණ කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ දෛශිකයේ සෑම සංරචකයක්ම අදිශයෙන් ගුණ කිරීමෙනි.
\[ k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
3. තිත් නිෂ්පාදනය
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
D සහ E දෛශික දෙකක් දී ඇති විට:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
දෛශික දෙකෙහි තිත් ගුණිතය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡා
දෛශික දෙකක තිත් ගුණිතය ලබා ගන්නේ ඒවායේ අනුරූප සංරචකවල ගුණිත එකතු කිරීමෙනි.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. හරස් නිෂ්පාදනය
උදාහරණ ප්රශ්නය 4
F සහ G දෛශික දෙකක් දී ඇති විට:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
දෛශික දෙකෙහි හරස් ගුණිතය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡා
ත්රිමාණ අවකාශයක දෛශික දෙකක හරස් ගුණිතය ලබා ගන්නේ එම දෛශික මගින් සාදන ලද න්යාසයේ නිර්ණායකය භාවිතා කිරීමෙනි. හරස් ගුණිතය සූත්රය මගින් ලබා දෙනු ලැබේ:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
මෙය පහත ආකාරයෙන් ගණනය කළ හැක:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} – \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 සහ 4 \\ 1 සහ 2 \end \matrix} 3 \\ 1 සහ -1 \end{vmatrix}
\]
එක් එක් උප අනුකෘතියේ නිර්ණායකය ගණනය කිරීම:
\[
= \mathbf{i} (3 \cdot 2 – 4 \cdot -1) – \mathbf{j} (2 \cdot 2 – 4 \cdot 1) + \mathbf{k} (2 \cdot -1 – 3 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \ආරම්භය{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \අවසානය{pmatrix}
\]
ඉතින්, F සහ G හි හරස් ගුණිතය වන්නේ:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. දෛශික දෙකක් අතර කෝණය තීරණය කිරීම
උදාහරණ ප්රශ්නය 5
H සහ I දෛශික දෙකක් දී ඇති විට:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
දෛශික දෙක අතර කෝණය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡා
දෛශික දෙකක් අතර කෝණය \(\theta\) තිත් ගුණිතය සහ දෛශික දෙකෙහි විශාලත්වයන් අතර සම්බන්ධතාවය භාවිතා කිරීමෙන් සොයාගත හැකිය:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \| \cos \theta \]
පළමුව, තිත් ගුණිතය ගණනය කරන්න \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 – 6 = 8 \]
ඊළඟට, දෛශික දෙකෙහිම විශාලත්වය ගණනය කරන්න:
\[ \| \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
ඉන්පසු, මෙම අගයන් කෝණ සූත්රයට ආදේශ කරන්න:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
\[ \තීටා = \cos^{-1} \වම( \frac{8}{7\sqrt{21}} \දකුණ) \]
අවසාන ප්රතිඵලයක් ලෙස, අපට කෝණයේ අගය සොයා ගැනීමට කැල්කියුලේටරය භාවිතා කළ හැකිය:
\[ \තීටා \ආසන්න වශයෙන් 73,4^\පරිමාණය \]
නිගමනය
දෛශික මෙහෙයුම් පිළිබඳ සංකල්පය ගණිතය හා විද්යාව තුළ ඉතා වැදගත් වේ. දෛශික එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම, අදිශ ගුණ කිරීම, තිත් ගුණ කිරීම, හරස් ගුණිතය සහ දෛශික දෙකක් අතර කෝණය තීරණය කිරීම වැනි උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සහ ඒවායේ විසඳුම් මෙම ලිපියෙන් සාකච්ඡා කෙරේ. මෙම උදාහරණ හරහා වැඩ කිරීමෙන්, දෛශික මෙහෙයුම් පිළිබඳ ඔබේ අවබෝධය වැඩි දියුණු කිරීමට සහ විවිධ සන්දර්භයන් තුළ දෛශික සම්බන්ධ ගැටළු විසඳීමට ඔබට උපකාර කිරීමට අපි බලාපොරොත්තු වෙමු.
