සංකීර්ණ සංඛ්යා මත මෙහෙයුම් පිළිබඳ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා සඳහා උදාහරණ
සංකීර්ණ සංඛ්යා යනු තාත්වික සංඛ්යා සංකල්පයේ දිගුවක් වන අතර එය අතාත්වික සංඛ්යා ඇතුළත් කිරීමට භාවිතා කරයි. සංකීර්ණ සංඛ්යාවක සාමාන්ය ස්වරූපය a + bi වන අතර, එහිදී a සහ b තාත්වික සංඛ්යා වන අතර i යනු i² = -1 ගුණය සහිත මනඃකල්පිත ඒකකයකි. සංකීර්ණ සංඛ්යා මත මෙහෙයුම් වලට එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම ඇතුළත් වේ. මෙම ලිපිය සංකීර්ණ සංඛ්යා මත විවිධ මෙහෙයුම් සඳහා උදාහරණ ගැටළු සහ සාකච්ඡා කිහිපයක් සපයනු ඇත.
සංකීර්ණ සංඛ්යා එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
පහත සංකීර්ණ සංඛ්යා එකතු කරන්න: (3 + 4i) සහ (1 + 2i).
සාකච්ඡාව:
සංකීර්ණ සංඛ්යා එකතු කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ ඒවායේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් වෙන වෙනම එකතු කිරීමෙනි.
\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]
ඉතින්, (3 + 4i) සහ (1 + 2i) එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලය 4 + 6i වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
සංකීර්ණ සංඛ්යාව (2 + 5i) (6 + 3i) න් අඩු කරන්න.
සාකච්ඡාව:
සංකීර්ණ සංඛ්යා අඩු කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ තාත්වික කොටස සහ මනඃකල්පිත කොටස වෙන වෙනම අඩු කිරීමෙනි.
\[ (6 + 3i) – (2 + 5i) = (6 – 2) + (3i – 5i) = 4 – 2i \]
ඉතින්, (6 + 3i) න් (2 + 5i) අඩු කිරීමේ ප්රතිඵලය 4 – 2i වේ.
සංකීර්ණ සංඛ්යා ගුණ කිරීම
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
පහත සංකීර්ණ සංඛ්යා ගුණ කරන්න: (2 + 3i) සහ (4 + i).
සාකච්ඡාව:
සංකීර්ණ සංඛ්යා ගුණ කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ සාමාන්ය වීජ ගණිතයේ ද්විපද දෙකක් ගුණ කිරීමට සමානව, ව්යාප්ති හෝ විධිමත් සැකසුම් භාවිතා කරමිනි.
\[
(2 + 3i) \cdot (4 + i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot i
\]
ඉන්පසු අපි විස්තරාත්මකව ගණනය කරමු:
\[
= 8 + 2i + 12i + 3i^2
\]
\( i^2 = -1 \):
\[
= 8 + 14i + 3(-1)
\]
\[
= 8 + 14i – 3
\]
\[
= 5 + 14i
\]
ඉතින්, (2 + 3i) සහ (4 + i) ගුණ කිරීමේ ප්රතිඵලය 5 + 14i වේ.
සංකීර්ණ සංඛ්යා බෙදීම
උදාහරණ ප්රශ්නය 4
පහත සංකීර්ණ සංඛ්යාව (5 + 6i) (2 + i)න් බෙදන්න.
සාකච්ඡාව:
සංකීර්ණ සංඛ්යා වල සංයුජය, \(2 + i\) හි සංයුජය, \(2 – i\) වේ.
අපි හරයන්ගේ සංයෝජකයෙන් සංඛ්යාව සහ හරය ගුණ කරමු:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
දැන් අපි සංඛ්යාංකය සහ හරය වෙන වෙනම ගණනය කරමු:
\[
= \frac{(5 + 6i) \cdot (2 – i)}{(2 + i) \cdot (2 – i)}
\]
හරයන් ගුණ කිරීම:
\[
(2 + i) \cdot (2 – i) = 2^2 – i^2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
\]
සංඛ්යා ගුණ කිරීම:
\[
(5 + 6i) \cdot (2 – i) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-i) + 6i \cdot 2 + 6i \cdot (-i)
= 10 – 5i + 12i – 6i^2
= 10 + 7i – 6(-1)
= 10 + 7i + 6
= 16 + 7i
\]
ඉතින්, බෙදීම:
\[
= \frac{16 + 7i}{5} = \frac{16}{5} + \frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
එබැවින් (5 + 6i) (2 + i) න් බෙදීමේ ප්රතිඵලය 3.2 + 1.4i වේ.
අමතර සාකච්ඡාව: සංකීර්ණ සංඛ්යාවල මොඩියුලස් සහ සංයුක්තය
උදාහරණ ප්රශ්නය 5
\(z = 3 + 4i\) සංකීර්ණ සංඛ්යාවේ මොඩියුලස් සහ සංයුග්මය සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
සංකීර්ණ සංඛ්යාවක මොඩියුලස් \(z = a + bi\) වන්නේ:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
\(z = 3 + 4i\) සඳහා:
\[
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
\(z = a + bi\) යන සංකීර්ණ සංඛ්යාවේ සංයුග්මය \(z^ = a – bi\) වේ.
\(z = 3 + 4i\) සඳහා:
\[
z^ = 3 – 4i
\]
එබැවින් \(3 + 4i\) හි මාපාංකය 5 වන අතර, එහි සංයුග්මය \(3 – 4i\) වේ.
නිගමනය
සංකීර්ණ සංඛ්යා විවිධ ගණිත ක්ෂේත්ර සහ තාක්ෂණික යෙදීම්වල වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම වැනි සංකීර්ණ සංඛ්යා පිළිබඳ මූලික මෙහෙයුම් තේරුම් ගැනීම, වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු විසඳීමේදී මෙම සංකල්ප භාවිතා කිරීමට යතුරයි. ඉහත විස්තර කර ඇති ගැටළු වර්ග පුහුණු වීම, සංකීර්ණ සංඛ්යා සමඟ වැඩ කිරීමේදී ඔබේ අවබෝධය සහ කුසලතා ශක්තිමත් කිරීමට උපකාරී වේ.
