චතුර්ථ ශ්රිත ගොඩනැගීම සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
අතරමැදි සහ උසස් ගණිත විෂයමාලා වල නිතර දක්නට ලැබෙන වීජ ගණිතයේ ප්රධාන මාතෘකාවක් වන්නේ චතුර්ථ ශ්රිත ගොඩනැගීමයි. දත්ත විශ්ලේෂණය, භෞතික විද්යා ආකෘති නිර්මාණය සහ ආර්ථික විද්යාව වැනි විවිධ සන්දර්භයන් තුළ ඒවා නිතර යෙදෙන බැවින් චතුර්ථ ශ්රිත තේරුම් ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ. මෙම ලිපියෙන්, අපි විවිධ උදාහරණ ගැටළු සහ චතුර්ථ ශ්රිත ගොඩනැගීම සඳහා ඒවා විසඳන්නේ කෙසේද යන්න සාකච්ඡා කරමු.
චතුර්ථ ශ්රිත අවබෝධ කර ගැනීම
චතුරස්ර ශ්රිතයක් යනු සාමාන්ය ස්වරූපය ඇති දෙවන උපාධි බහුපද ශ්රිතයකි:
\[ f(x) = අක්ෂය^2 + bx + c \]
මෙහි \(a\), \(b\), සහ \(c\) නියතයන් වන අතර \(a \neq 0\).
චතුරස්ර ශ්රිතයක ප්රස්ථාරය පරාවලයක් ලෙස හඳුන්වන වක්රයකි. පරාවලවලට සමමිතියක් සහ නියතයේ ලකුණ මත රඳා පවතින හැඩයක් ඇත \(a\). \(a > 0\) නම්, පරාවලය ඉහළට විවෘත වේ. ප්රතිවිරුද්ධව, \(a < 0\) නම්, පරාවලය පහළට විවෘත වේ. චතුරස්ර ශ්රිතවල වැදගත් අංග - චතුරස්ර සමීකරණයක මූලයන්: \(f(x) = 0\) සඳහා වන අගයන්, එය චතුරස්ර සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). - ශීර්ෂය: \((x, y)\) සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකි පරාවලයේ ඉහළම හෝ පහළම ලක්ෂ්යය, එහිදී \(x = -\frac{b}{2a}}\) සහ \(y = f(-\frac{b}{2a})\). - සමමිතික අක්ෂය: පැරබෝලාව සමමිතික කොටස් දෙකකට බෙදන සිරස් රේඛාව, එය \(x = -\frac{b}{2a}\) වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1: ලක්ෂ්ය තුනකින් චතුර්ථ ශ්රිතයක් රචනා කිරීම ප්රශ්නය: (1, 2), (2, 5) සහ (3, 10) ලක්ෂ්ය හරහා ගමන් කරන චතුර්ථ ශ්රිතය සඳහා සූත්රය තීරණය කරන්න. විසඳුම: 1. අපි චතුරස්ර ශ්රිතයේ සාමාන්ය ආකාරයෙන් පටන් ගනිමු: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] 2. ලක්ෂ්යය (1, 2) සමීකරණයට ආදේශ කරන්න: \[ a(1)^2 + b(1) + c = 2 \] \[ a + b + c = 2 \] (සමීකරණය 1) 3. ලක්ෂ්යය (2, 5) සමීකරණයට ආදේශ කරන්න: \[ a(2)^2 + b(2) + c = 5 \] \[ 4a + 2b + c = 5 \] (සමීකරණය 2) 4. ලක්ෂ්යය (3, 10) සමීකරණයට ආදේශ කරන්න: \[ a(3)^2 + b(3) + c = 10 \] \[ 9a + 3b + c = 10 \] (සමීකරණය 3) 5. දැන් අපට රේඛීය සමීකරණ පද්ධති තුනක් ඇත: \[ \begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 5 \\ 9a + 3b + c = 10 \\ \end{cases} \] 6. විසඳීම සඳහා, අපි දෙවන සහ පළමු සමීකරණ අඩු කරමු: \[ (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 5 - 2 \] \[ 3a + b = 3 \] (සමීකරණය 4) 7. තුන්වන සහ දෙවන සමීකරණ අඩු කරන්න: \[ (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 10 - 5 \] \[ 5a + b = 5 \] (සමීකරණය 5) 8. සමීකරණය 5 සහ සමීකරණය 4 අඩු කරන්න: \[ (5a + b) - (3a + b) = 5 - 3 \] \[ 2a = 2 \] \[ a = 1 \] 9. \(a = 1\) සමීකරණය 4 ට ආදේශ කරන්න: \[ 3(1) + b = 3 \] \[ 3 + b = 3 \] \[ b = 0 \] 10. \(a = 1\) සහ \(b = 0\) සමීකරණය 1 ට ආදේශ කරන්න: \[ 1 + 0 + c = 2 \] \[ c = 1 \] 11. එබැවින්, චතුරස්ර ශ්රිතය: \[ f(x) = 1x^2 + 0x + 1 \] \[ f(x) = x^2 + 1 \] උදාහරණය 2 ප්රශ්නය: ශීර්ෂයකින් සහ තවත් එක් ලක්ෂ්යයකින් චතුර්ථ ශ්රිතයක් තීරණය කිරීම ප්රශ්නය: (-1, 4) හි ශීර්ෂයක් ඇති සහ (1, 0) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන චතුර්ථ ශ්රිතයක් සඳහා සූත්රය තීරණය කරන්න. විසඳුම: 1. ශීර්ෂය \((h, k)\) සහිත චතුරස්ර ශ්රිතයක සම්මත ආකාරය වන්නේ: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] 2. ශීර්ෂය (-1, 4) සම්මත ආකාරය බවට ආදේශ කරන්න: \[ f(x) = a(x + 1)^2 + 4 \] 3. ලක්ෂ්යය (1, 0) සමීකරණයට ආදේශ කර \(a\) සොයා ගන්න: \[ 0 = a(1 + 1)^2 + 4 \] \[ 0 = a(2)^2 + 4 \] \[ 0 = 4a + 4 \] \[ 4a = -4 \] \[ a = -1 \] 4. ඉතින්, චතුරස්ර ශ්රිතය: \[ f(x) = -1(x + 1)^2 + 4 \] \[ f(x) = - (x + 1)^2 + 4 \] 5. සම්මත ආකෘතිය සඳහා ව්යාප්තිය: \[ f(x) = - (x^2 + 2x + 1) + 4 \] \[ f(x) = -x^2 - 2x - 1 + 4 \] \[ f(x) = -x^2 - 2x + 3 \] උදාහරණ ප්රශ්නය 3: ශීර්ෂ ආකෘතිය සම්මත ආකෘතියට පරිවර්තනය කිරීම ප්රශ්නය: චතුරස්ර ශ්රිතය \( f(x) = 2(x - 3)^2 + 5 \) සම්මත ආකෘතියට පරිවර්තනය කරන්න \( ax^2 + bx + c \). විසඳුම: 1. පළමුව, අපි පුළුල් කළ යුතුයි: \[ f(x) = 2(x - 3)^2 + 5 \] 2. ද්විපදය පුළුල් කරන්න: \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] 3. ශ්රිතයට නැවත ආදේශ කරන්න: \[ f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) + 5 \] 4. ද්විපදයේ සෑම කොටසකටම 2 බෙදා හරින්න: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 18 + 5 \] 5. සියලුම කොටස් ඒකාබද්ධ කරන්න: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 23 \] එබැවින්, චතුරස්ර ශ්රිතයේ සම්මත ආකාරය වන්නේ: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 23 \] නිගමනය විවිධ තොරතුරු වලින් චතුරස්ර ශ්රිත ගොඩනැගීම ගණිතයේ වැදගත් කුසලතාවයකි. විවිධ ගැටළු වර්ග සමඟ අඛණ්ඩව පුහුණුවීමෙන්, අපට චතුරස්ර සමීකරණ විසඳීමේදී අපගේ අවබෝධය සහ චතුරතාව වැඩි දියුණු කළ හැකිය. මතක තබා ගත යුතු ප්රධාන කරුණු අතරට ශීර්ෂ ආකාරයෙන් තොරතුරු උපුටා ගැනීම සඳහා ශිල්පීය ක්රම සොයා ගැනීම සහ ප්රගුණ කිරීම, ශීර්ෂ සහ සම්මත ආකාරය අතර පරිවර්තනය කිරීම සහ දී ඇති ලක්ෂ්යවලින් ශ්රිත ගොඩනැගීම ඇතුළත් වේ. මෙම මාතෘකා පිළිබඳ ස්ථිර අවබෝධයක් ඇතිව, අනාගතයේදී අපට වඩාත් සංකීර්ණ ගණිතමය අභියෝගවලට මුහුණ දිය හැකිය.