නිෂ්පාදන මොහොත සහසම්බන්ධතාවය පිළිබඳ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාව
නිෂ්පාදන-මොහොත සහසම්බන්ධය, පියර්සන් සහසම්බන්ධය ලෙසද හැඳින්වේ, එය විචල්ය දෙකක් අතර රේඛීය සම්බන්ධතාවයක ශක්තිය සහ දිශාව මැනීමට භාවිතා කරන සංඛ්යානමය ක්රමයකි. මෙම ක්රමය අධ්යයන පර්යේෂණ සහ ව්යාපාර විශ්ලේෂණයේ සිට ස්වාභාවික විද්යාවන්හි අත්හදා බැලීම් ඇගයීම දක්වා විවිධ ක්ෂේත්රවල ප්රයෝජනවත් වේ. නිෂ්පාදන-මොහොත සහසම්බන්ධය ගණනය කිරීම සඳහා උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සහ ඒවායේ විසඳුම් මෙම ලිපියෙන් සාකච්ඡා කෙරේ.
පෙන්ඩහුලුවන්
උදාහරණ ප්රශ්නවලට පිවිසීමට පෙර, නිෂ්පාදන මොහොත සහසම්බන්ධතාවයේ මූලික සංකල්පය තේරුම් ගැනීම හොඳ අදහසකි. පියර්සන් සහසම්බන්ධතා සංගුණකය (\(r\)) ගණනය කිරීමට භාවිතා කරන සාමාන්ය සූත්රය වන්නේ:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
කොහෙද:
– \( n \) යනු දත්ත යුගල ගණනයි.
– \( \sum{XY} \) යනු \( X \) සහ \( Y \) හි ගුණිතවල එකතුවයි.
– \( \sum{X} \) යනු \( X \) විචල්යයන්ගේ එකතුවයි.
– \( \sum{Y} \) යනු \( Y \) විචල්යයන්ගේ එකතුවයි.
– \( \sum{X^2} \) යනු \( X \) විචල්යයේ වර්ගවල එකතුවයි.
– \( \sum{Y^2} \) යනු \( Y \) විචල්යයේ වර්ගවල එකතුවයි.
පියර්සන්ගේ සහසම්බන්ධතා සංගුණකය (\( r \)) සෑම විටම -1 සහ 1 අතර වේ. ධනාත්මක සහසම්බන්ධතාවයක් මඟින් විචල්ය දෙකම එකම දිශාවකට ගමන් කරන බව පෙන්නුම් කරන අතර සෘණ සහසම්බන්ධයක් මඟින් එක් විචල්යයක් වැඩි වන විට අනෙක අඩු වන බව පෙන්නුම් කරයි. \( r = 0 \) නම්, විචල්ය දෙක අතර රේඛීය සහසම්බන්ධයක් නොමැත.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
දත්ත
සිසුන් 5 දෙනෙකු සඳහා ගණිතය සහ භෞතික විද්යාව විභාග ලකුණු දත්ත පහත දැක්වේ:
| ශිෂ්යයා | ගණිතය (X) | භෞතික විද්යාව (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
විසඳුම් පියවර
1. වැදගත් සංරචක ගණනය කිරීම:
– \( \එකතුව{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \එකතුව{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \එකතුව{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \එකතුව{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \එකතුව{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. සූත්රය ඇතුළත් කරන්න:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. ප්රතිඵල ගණනය කිරීම:
– සංඛ්යාංකය: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– හරය:
– \( n\එකතුව{X^2} – (\එකතුව{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\එකතුව{Y^2} – (\එකතුව{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \ආසන්න වශයෙන් \sqrt{976856} \ආසන්න වශයෙන් 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \ආසන්න වශයෙන් 0.633 \]
මේ අනුව, ගණිතය සහ භෞතික විද්යාව පරීක්ෂණ ලකුණු අතර පියර්සන් සහසම්බන්ධතා සංගුණකය 0.633 ක් වන අතර, එයින් පෙන්නුම් කරන්නේ විචල්ය දෙක අතර මධ්යස්ථ ධනාත්මක සහසම්බන්ධයක් ඇති බවයි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
දත්ත
සමාගමක මාස 6 ක විකුණුම් වටිනාකම සහ වෙළඳ දැන්වීම් වියදම් පිළිබඳ දත්ත පහත දැක්වේ:
| මාසය | වෙළඳ දැන්වීම් (X) | විකුණුම් (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
විසඳුම් පියවර
1. වැදගත් සංරචක ගණනය කිරීම:
– \( \එකතුව{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \එකතුව{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \එකතුව{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \එකතුව{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. සූත්රය ඇතුළත් කරන්න:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. ප්රතිඵල ගණනය කිරීම:
– සංඛ්යාංකය: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– හරය:
– \( n\එකතුව{X^2} – (\එකතුව{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\එකතුව{Y^2} – (\එකතුව{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \ආසන්න වශයෙන් \sqrt{9343200000000} \ආසන්න වශයෙන් 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \ආසන්න වශයෙන් 0.981 \]
මේ අනුව, වෙළඳ දැන්වීම් වියදම් සහ විකුණුම් වටිනාකම අතර පියර්සන් සහසම්බන්ධතා සංගුණකය 0.981 ක් වන අතර, එයින් පෙන්නුම් කරන්නේ විචල්ය දෙක අතර ඉතා ශක්තිමත් ධනාත්මක සහසම්බන්ධයක් ඇති බවයි.
නිගමනය
පියර්සන් සහසම්බන්ධතා සංගුණකය (\(r\)) යනු විචල්ය දෙකක් අතර රේඛීය සම්බන්ධතාවය තේරුම් ගැනීම සඳහා ඉතා ප්රයෝජනවත් මෙවලමකි. සපයා ඇති උදාහරණ වලින්, \(r\) අගය ගණනය කර එය අර්ථ නිරූපණය කරන්නේ කෙසේදැයි අපි බලමු. ඉහළ සහසම්බන්ධයක් (1 හෝ -1 ට ආසන්න) ශක්තිමත් සම්බන්ධතාවයක් පෙන්නුම් කරන අතර, අඩු සහසම්බන්ධයක් (0 ට ආසන්න) දුර්වල සම්බන්ධතාවයක් පෙන්නුම් කරයි. සහසම්බන්ධය හේතුඵල සම්බන්ධතාවයක් අදහස් නොකරන බව සැලකිල්ලට ගැනීම වැදගත්ය; එය හුදෙක් විචල්ය දෙක අතර සම්බන්ධතාවයක් ඇති බව පෙන්නුම් කරයි.
