ශ්රිත ව්යුත්පන්න සංකල්පය පිළිබඳ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාව
ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය යනු භෞතික විද්යාව, ආර්ථික විද්යාව සහ ඉංජිනේරු විද්යාව වැනි විවිධ විෂයයන්හි පුළුල් ලෙස යෙදීම් ඇති කලනයේ මූලික සංකල්පයකි. මෙම ලිපියෙන් උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් ආවරණය කෙරෙන අතර මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් ලබා දීම සඳහා ශ්රිතයක ව්යුත්පන්න සංකල්පය සාකච්ඡා කෙරේ.
ව්යුත්පන්නයන්ගේ මූලික අර්ථ දැක්වීම
උදාහරණ ප්රශ්නවලට පිවිසීමට පෙර, ව්යුත්පන්නයන්ගේ අර්ථ දැක්වීම සහ මූලික කරුණු කෙටියෙන් සමාලෝචනය කිරීම හොඳ අදහසකි. \( x = a \) ලක්ෂ්යයේ \( f(x) \) ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය වන්නේ:
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
\( f'(x) \) ශ්රිතය \( f(x) \) හි ව්යුත්පන්න ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1: මූලික බහුපද ව්යුත්පන්න
ප්රශ්නය:
ශ්රිතයේ පළමු ව්යුත්පන්නය සොයන්න \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \).
සාකච්ඡාව:
මූලික ව්යුත්පන්න රීතිය \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) භාවිතා කරන්න.
1. \( 3x^3 \) සඳහා:
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. \( -5x^2 \) සඳහා:
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. \( 2x \) සඳහා:
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. \( -7 \) සඳහා:
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
මේ අනුව:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 2: ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න
ප්රශ්නය:
ශ්රිතයේ පළමු ව්යුත්පන්නය සොයන්න \( g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
සාකච්ඡාව:
\( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) යන ගුණිත රීතිය \( u(x) = \sin(x) \) සහ \( v(x) = \cos(x) \) සමඟ භාවිතා කරන්න.
1. \( \sin(x) \) හි ව්යුත්පන්නය \( \cos(x) \), එබැවින් \( u'(x) = \cos(x) \).
2. \( \cos(x) \) හි ව්යුත්පන්නය \( -\sin(x) \), එබැවින් \( v'(x) = -\sin(x) \).
ආදේශනය \( u'(x) \) සහ \( v'(x) \):
\[ g'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \]
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
අවසාන ප්රතිඵලය:
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
උදාහරණය 3: ඝාතීය ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය
ප්රශ්නය:
\( h(x) = e^{2x} \) ශ්රිතයේ පළමු ව්යුත්පන්නය සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
\( k = 2 \) සමඟ ඝාතීය ශ්රිතයේ \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) ව්යුත්පන්නයේ රීතිය භාවිතා කරන්න.
\[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
\[ h'(x) = 2 \cdot e^{2x} \]
අවසාන ප්රතිඵලය:
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 4: ලඝුගණක ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය
ප්රශ්නය:
\( p(x) = \ln(3x + 1) \) ශ්රිතයේ පළමු ව්යුත්පන්නය සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
ලඝුගණක ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ රීතිය \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) සමඟ \( u(x) = 3x + 1 \) භාවිතා කරන්න.
1. අභ්යන්තර ව්යුත්පන්නය සොයන්න \( u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
2. ලඝුගණක ව්යුත්පන්න රීතිය භාවිතා කරන්න:
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]
අවසාන ප්රතිඵලය:
\[ p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 5: ව්යුත්පන්න යෙදීම – උපරිම සහ අවම
ප්රශ්නය:
\( x \in [-2, 2] \) පරතරය මත \( q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5 \) ශ්රිතයේ උපරිම සහ අවම අගයන් සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
1. \( q(x) \) හි පළමු ව්යුත්පන්නය සොයන්න:
\[ q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) \]
\[ q'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \]
2. \( q'(x) = 0 \) විසඳා ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සොයන්න:
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
නිශ්චල ලක්ෂ්ය වන්නේ \( x = 2 \) සහ \( x = -1 \) වේ.
3. තීරණාත්මක ලක්ෂ්ය සහ අන්තර මායිම්වලදී \( q(x) \) තක්සේරු කරන්න:
\[ q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5 \]
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
\[ q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5 \]
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. ප්රතිඵල ඇගයීම:
– උපරිම අගය \( x = 2 \) හිදී \( q(2) = 15 \) සමඟ සිදු වේ.
– අවම අගය \( x = -1 \) හිදී \( q(-1) = -12 \) සමඟ සිදු වේ.
වසා දැමීම
ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය පිළිබඳ සංකල්පය පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් විද්යාවේ විවිධ ක්ෂේත්රවල ඉතා වැදගත් වේ. ඉහත උදාහරණ ගැටළු සහ සාකච්ඡා සංකල්පය පිළිබඳ ඔබේ අවබෝධය ගැඹුරු කිරීමට උපකාරී වනු ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු. ප්රායෝගිකව, වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු විසඳීම සඳහා අපට බොහෝ විට විවිධ නීති සහ ප්රමේයයන් ඒකාබද්ධ කිරීමට අවශ්ය වේ. සතුටින් ඉගෙන ගන්න!
