ඒකාබද්ධ සාකච්ඡා ප්රශ්න සඳහා උදාහරණය
සම්භාවිතා න්යායේ සහ සංඛ්යාලේඛනවල සංයෝජන වැදගත් සංකල්පයක් වන අතර, අනුපිළිවෙල නොසලකා කට්ටලයකින් වස්තූන් තෝරා ගැනීමට ඇති ක්රම ගණන ගණනය කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි. සංයෝජනවලදී, තේරීමේ අනුපිළිවෙල නොවෙනස්ව පවතී, තේරීමේ අනුපිළිවෙල ප්රධාන වේ. පරිගණක විද්යාව සහ ජීව විද්යාවේ සිට ආර්ථික විද්යාව සහ ගණිතය දක්වා විවිධ ක්ෂේත්රවල සංයෝජන භාවිතා වේ. මෙම ලිපිය සංයෝජන පිළිබඳ මූලික සංකල්පය පැහැදිලි කරන අතර ඔබේ අවබෝධයට උපකාර කිරීම සඳහා උදාහරණ ගැටළු සහ සාකච්ඡා කිහිපයක් සපයනු ඇත.
සංයෝජනය පිළිබඳ මූලික සංකල්පය
අපි උදාහරණ ගැටළු වෙත යාමට පෙර, සංයෝජන පිළිබඳ මූලික අවබෝධයකින් පටන් ගනිමු.
එකවර \(r\) ගන්නා ලද \(n\) වස්තූන්ගේ සංයෝජනය \(\binom{n}{r}\) හෝ \(\mathbf{C}(n, r)\) යන සංකේතයෙන් දැක්වේ. සංයෝජනය ගණනය කිරීමේ සූත්රය වන්නේ:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \( n \) යනු ලබා ගත හැකි මුළු වස්තු ගණනයි.
– \( r \) යනු තෝරා ගත යුතු වස්තු ගණනයි.
– ! (සාධක) යනු සංඛ්යාවක් ඊට පහළින් ඇති සියලුම ධන සංඛ්යා වලින් 1 දක්වා ගුණ කරන ගණිතමය මෙහෙයුමකි.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
උදාහරණ ප්රශ්නය 1: ශිෂ්ය කණ්ඩායමකින් කණ්ඩායමක් තෝරා ගැනීම
ප්රශ්නය:
පන්තියක සිසුන් 10 දෙනෙක් සිටිති. තරඟයට සහභාගී වීම සඳහා පන්තියෙන් සිසුන් 4 දෙනෙකු තෝරා ගත හැකි ක්රම කීයද?
සාකච්ඡාව:
සංයෝජන සූත්රය භාවිතා කිරීම:
\[ \බිනෝම්{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
ක්රමාරෝපිත ගණනය කිරීම:
– \( 10! = 10 \වර 9 \වර 8 \වර 7 \වර 6! \)
– \( 4! = 4 \වර 3 \වර 2 \වර 1 = 24 \)
– \( 6! \) දැනටමත් ඉහළින්ම ඇති බැවින්, එයට \(10!\) හි 6! අවලංගු කළ හැකිය.
ඒ නිසා:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
ඉතින්, සිසුන් 10 දෙනෙකුගෙන් සිසුන් 4 දෙනෙකු තෝරා ගැනීමට ක්රම 210 ක් ඇත.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2: කාඩ්පත් කට්ටල භාවිතා කරමින් සංයෝජන
ප්රශ්නය:
කාඩ්පත් 52 ක තට්ටුවකින්, කාඩ්පත් 5 ක පෝකර් අතක් තෝරා ගැනීමට කොපමණ ක්රම තිබේද?
සාකච්ඡාව:
සංයෝජන සූත්රය භාවිතා කිරීම:
\[ \බිනෝම්{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
ක්රමාරෝපිත ගණනය කිරීම:
– \( 52! = 52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \times 47! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– \( 47! \) දැනටමත් ඉහළින්ම ඇති බැවින්, එයට \(52!\) හි 47! අවලංගු කළ හැකිය.
ඒ නිසා:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
ඉතින්, කාඩ්පත් 52 න් කාඩ්පත් 5 ක් තෝරා ගැනීමට ක්රම 2,598,960 ක් ඇත.
උදාහරණය 3: ක්රීඩා කණ්ඩායම් තේරීම සඳහා සංයෝජන ගණනය කිරීම
ප්රශ්නය:
පැසිපන්දු කණ්ඩායමක් ක්රීඩකයින් 15 දෙනෙකුගෙන් සමන්විත වේ. පුහුණුකරුට ආරම්භකයින් ලෙස ක්රීඩකයින් 5 දෙනෙකු තෝරා ගැනීමට අවශ්ය නම්, මෙය කොපමණ ක්රම මගින් කළ හැකිද?
සාකච්ඡාව:
සංයෝජන සූත්රය භාවිතා කිරීම:
\[ \බිනෝම්{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
ක්රමාරෝපිත ගණනය කිරීම:
– \( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– \( 10! \) දැනටමත් ඉහළින්ම ඇති බැවින්, එයට \(15!\) හි 10! අවලංගු කළ හැකිය.
ඒ නිසා:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
ඉතින්, ක්රීඩකයින් 15 දෙනෙකුගෙන් ක්රීඩකයින් 5 දෙනෙකු තෝරා ගැනීමට ක්රම 3,003 ක් ඇත.
උදාහරණ ප්රශ්නය 4: ජීව විද්යාවේ සංයෝජන
ප්රශ්නය:
උද්යානයක විවිධ මල් වර්ග 8 ක් ඇත. මල් සැකැස්මක් සෑදීමට මල් වර්ග 3 ක් කොපමණ ක්රම තෝරා ගත හැකිද?
සාකච්ඡාව:
සංයෝජන සූත්රය භාවිතා කිරීම:
\[ \බිනෝම්{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
ක්රමාරෝපිත ගණනය කිරීම:
– \( 8! = 8 \වරක් 7 \වරක් 6 \වරක් 5! \)
– \( 3! = 3 \වර 2 \වර 1 = 6 \)
– \( 5! \) දැනටමත් ඉහළින්ම ඇති බැවින්, එයට \(8!\) හි 5! අවලංගු කළ හැකිය.
ඒ නිසා:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
ඉතින්, මල් වර්ග 8 කින් මල් වර්ග 3 ක් තෝරා ගැනීමට ක්රම 56 ක් ඇත.
උදාහරණ ප්රශ්නය 5: කණ්ඩායම් ගොඩනැගීමේදී සංයෝජනය
ප්රශ්නය:
ඔබට පොත් රාක්කයක විවිධ පොත් 12ක් තිබේ. ඔබට පොත් 12න් 5ක් තෝරා ගත හැක්කේ කීයටද?
සාකච්ඡාව:
සංයෝජන සූත්රය භාවිතා කිරීම:
\[ \බිනෝම්{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
ක්රමාරෝපිත ගණනය කිරීම:
– \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– \( 7! \) දැනටමත් ඉහළින්ම ඇති බැවින්, එයට \(12!\) හි 7! අවලංගු කළ හැකිය.
ඒ නිසා:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
ඉතින්, පොත් 12 න් පොත් 5 ක් තෝරා ගැනීමට ක්රම 792 ක් ඇත.
නිගමනය
විවිධ ක්ෂේත්රවල සංයෝජන ඉතා ප්රයෝජනවත් සංකල්පයකි, විශේෂයෙන් අනුපිළිවෙල නොසලකා වස්තූන් තෝරා ගැනීමට අපට ක්රම ගණන දැන ගැනීමට අවශ්ය වූ විට. \(\binom{n}{r}\) මූලික සංයෝජන සූත්රය භාවිතා කරමින්, සාධක ක්රියා කරන ආකාරය අපට වැටහෙන තාක් කල්, අපට ඒවා ඉක්මනින් සහ පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය. ඉහත උදාහරණ හරහා, සංයෝජන පිළිබඳ වඩාත් සම්පූර්ණ සහ පැහැදිලි අවබෝධයක් ලබා ගැනීමට අපි බලාපොරොත්තු වෙමු. ඔබේ අවබෝධය තවදුරටත් ශක්තිමත් කිරීම සඳහා විවිධ ගැටළු සමඟ පුහුණුවීම දිගටම කරගෙන යන්න.
