ශ්රිත පරිවර්තන සංයෝජන සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
ශ්රිත පරිවර්තන ගණිතයේ වැදගත් මාතෘකාවක් වන අතර, විශේෂයෙන් ශ්රිත සහ ඒවායේ ප්රස්ථාර අධ්යයනය කිරීමේදී වැදගත් වේ. ශ්රිත පරිවර්තන යෙදීමට පරිවර්තන, පරාවර්තන, විස්තාරණ සහ භ්රමණ වැනි විවිධ මෙහෙයුම් ඇතුළත් වේ. මෙම ලිපියෙන්, ඒකාබද්ධ ශ්රිත පරිවර්තන යනු කුමක්ද සහ ඒවා විසඳන්නේ කෙසේද යන්න උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් හරහා අපි ගවේෂණය කරන්නෙමු.
ශ්රිත පරිවර්තන සංයෝජනයක් යනු කුමක්ද?
ශ්රිත පරිවර්තනය යනු මුල් ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරයේ ජ්යාමිතික පිහිටීම හෝ හැඩය වෙනස් කිරීමයි. ශ්රිත පරිවර්තනයන් ඒකාබද්ධ කිරීම යනු තනි ශ්රිතයක පරිවර්තනයන් දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් ඒකාබද්ධ කිරීමයි.
ශ්රිත පරිවර්තනයන්හි සමහර පොදු වර්ග නම්:
– පරිවර්තනය (Shift):
– තිරස්: \( f(x) \සිට f(x – h) \) \( h \) මගින් දකුණට මාරු කරන්න.
– සිරස්: \( f(x) \සිට f(x) + k \) දුරක් ඉහළට ගෙනයන්න \( k \)
– පරාවර්තනය:
– තිරස් (y-අක්ෂයට සාපේක්ෂව): \( f(x) \සිට f(-x) \)
– සිරස් (x-අක්ෂයට සාපේක්ෂව): \( f(x) \to -f(x) \)
– විස්තාරණය (පරිමාණය කිරීම):
– තිරස්: \( f(x) \to f(ax) \) තිරස් පරිමාණ සාධකය ලෙස \( a \) සමඟ
– සිරස්: \( f(x) \to kf(x) \) සිරස් පරිමාණ සාධකය ලෙස \( k \) සමඟ
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
ප්රශ්නය 1:
මුල් ශ්රිතය \( f(x) = x^2 \) ලබා දී ඇත. පහත දැක්වෙන පරිවර්තන සංයෝජනය යෙදීමෙන් පසු ශ්රිතයේ නව ස්වරූපය තීරණය කරන්න:
1. ඒකක 3 කින් දකුණට තිරස් පරිවර්තනය.
2. පරිමාණ සාධකය 2ක් සහිත සිරස් ප්රසාරණය.
සාකච්ඡාව:
1. තිරස් පරිවර්තනය:
ඒකක 3 කින් දකුණට මාරු කළහොත් \( f(x) = x^2 \) ශ්රිතය \( f(x – 3) = (x – 3)^2 \) බවට පත්වේ.
එබැවින් තිරස් පරිවර්තනයෙන් පසු නව ශ්රිතය \( f_1(x) = (x – 3)^2 \) වේ.
2. සිරස් ප්රසාරණය:
2 ගුණයකින් සිරස් ප්රසාරණයෙන් පසු, ආකෘතිය \( 2 \times f_1(x) = 2(x-3)^2 \) බවට පත්වේ.
පරිවර්තන සංයෝජනයෙන් පසු ශ්රිතයේ අවසාන ප්රතිඵලය වන්නේ:
\[ g(x) = 2(x – 3)^2 \]
ප්රශ්නය 2:
\( f(x) = \sqrt{x} \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. පහත දැක්වෙන පරිවර්තන සංයෝජනය ලබා දීමෙන් පසු ශ්රිතයේ නව ආකාරය තීරණය කරන්න:
1. y-අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය.
2. සිරස් පරිවර්තනය ඒකක 2 කින් පහළට.
සාකච්ඡාව:
1. y-අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය:
\( f(x) = \sqrt{x} \) ශ්රිතය y-අක්ෂය වටා පරාවර්තනය වන බැවින් එය \( f(-x) = \sqrt{-x} \) බවට පත්වේ.
2. සිරස් පරිවර්තනය:
ඉන්පසු ලැබෙන පරාවර්තන ශ්රිතය ඒකක 2 කින් පහළට ගෙන ගොස් \( \sqrt{-x} – 2 \) බවට පත්වේ.
ඉතින්, පරිවර්තනයෙන් පසු ශ්රිතයේ අවසාන ස්වරූපය වන්නේ:
\[ g(x) = \sqrt{-x} – 2 \]
ප්රශ්නය 3:
\( f(x) = \frac{1}{x} \) ශ්රිතය ලබා දී ඇත. පහත දැක්වෙන පරිවර්තන සංයෝජනය යෙදීමෙන් පසු ශ්රිතයේ නව ආකාරය තීරණය කරන්න:
1. ඒකක 4 කින් වමට තිරස් පරිවර්තනය.
2. පරිමාණ සාධකය \(\frac{1}{2}\) සහිත තිරස් ප්රසාරණය.
සාකච්ඡාව:
1. තිරස් පරිවර්තනය:
ඒකක 4 කින් වමට මාරු කළ පසු \( f(x) = \frac{1}{x} \) ශ්රිතය \( f(x + 4) = \frac{1}{x + 4} \) බවට පත්වේ.
2. තිරස් ප්රසාරණය:
ඉන්පසු ලැබෙන පරිවර්තන ශ්රිතය \(\frac{1}{2}\) සාධකයකින් තිරස් අතට විස්තාරණය කර \( f\left( \frac{x}{\frac{1}{2}} + 4 \right) = f(2x + 4) = \frac{1}{2x + 4} \) බවට පත්වේ.
එබැවින් පරිවර්තනයෙන් පසු ශ්රිතයේ අවසාන ස්වරූපය වන්නේ:
\[ g(x) = \frac{1}{2x + 4} \]
ප්රශ්නය 4:
ශ්රිතය ලබා දී ඇත \( f(x) = \sin x \). පහත දැක්වෙන පරිවර්තන සංයෝජනය ලබා දීමෙන් පසු ශ්රිතයේ නව ස්වරූපය තීරණය කරන්න:
1. පරිමාණ සාධකය 3ක් සහිත සිරස් ප්රසාරණය.
2. x-අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය.
සාකච්ඡාව:
1. සිරස් ප්රසාරණය:
3 පරිමාණ සාධකයක් සහිත සිරස් ප්රසාරණයෙන් පසු මුල් ශ්රිතය \( f(x) = \sin x \) \( 3 \sin x \) බවට පත්වේ.
2. x-අක්ෂය පිළිබඳ පරාවර්තනය:
එවිට ලැබෙන ප්රසාරණය වන ශ්රිතය x-අක්ෂය වටා පරාවර්තනය වන අතර එමඟින් එය \( -3 \sin x \) බවට පත්වේ.
පරිවර්තන සංයෝජනයෙන් පසු ශ්රිතයේ අවසාන ප්රතිඵලය වන්නේ:
\[ g(x) = -3 \sin x \]
ග්රැෆික්ස් වල යෙදුම
ශ්රිත පරිවර්තනවල සංයෝජනය තේරුම් ගැනීම එම ශ්රිතවල ප්රස්ථාර අධ්යයනය කිරීමේදී ඉතා වැදගත් වේ. මතක තබා ගත යුතු වැදගත් කරුණු කිහිපයක් මෙන්න:
1. පරිවර්තන අනුපිළිවෙල:
පරිවර්තන සිදු කරන අනුපිළිවෙල බොහෝ විට අවසාන ප්රතිඵලයට බලපායි. උදාහරණයක් ලෙස, පරිවර්තනයට පෙර අපි ප්රසාරණය සිදු කළහොත්, අවසාන ප්රතිඵලය පරිවර්තන අනුපිළිවෙල ප්රතිලෝම කළ විට වඩා වෙනස් වනු ඇත.
2. චිත්රක නිරූපණය:
සෑම පරිවර්තනයක්ම ප්රස්ථාරයේ හැඩයට නිශ්චිත ආකාරයකින් බලපායි:
- පරිවර්තනය එහි හැඩය වෙනස් නොකර ප්රස්ථාරය මාරු කරයි.
- ප්රසාරණය ප්රස්ථාරයේ "පළල" හෝ "අඩුවීම" වෙනස් කරයි.
- පරාවර්තනය රේඛාවක් වටා ප්රස්තාරය පිළිබිඹු කරයි.
3. අඛණ්ඩ පුහුණුව:
මෙම සංකල්පය තේරුම් ගැනීමට පරිවර්තන මත පදනම්ව ශ්රිත ප්රස්ථාරගත කිරීම ඵලදායී ක්රමයකි. ඉහත සාකච්ඡා ප්රශ්නවල දී ඇති ශ්රිතවල ප්රස්ථාර වෙනස් වන ආකාරය බැලීමට ඔබට ඒවා ප්රස්ථාරගත කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය.
නිගමනය
ශ්රිත පරිවර්තනය යනු ගණිතයේ මූලික සංකල්පයක් වන අතර එය ශාස්ත්රීය හා ප්රායෝගික යන දෙඅංශයෙන්ම විවිධ ක්ෂේත්රවල භාවිතා වේ. ශ්රිත පරිවර්තනයන්හි සංයෝජන ඉගෙනීම සඳහා එක් එක් ආකාරයේ පරිවර්තනයන්හි මූලික කරුණු පිළිබඳ අවබෝධයක් අවශ්ය වේ. පුහුණුවීම් සහ උදාහරණ හරහා, අපට ඇඳීම සහ ප්රස්ථාරකරණ ශ්රිත වඩා හොඳින් ප්රගුණ කළ හැකිය. අඛණ්ඩ පුහුණුව මඟින් විවිධ පරිවර්තනයන් සමඟ ශ්රිත වෙනස් වන ආකාරය තේරුම් ගැනීමට ඔබව වඩාත් ප්රවීණ කරනු ඇත.
