වෘත්තයකට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්යයක පිහිටීම සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
වෘත්තයකට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්යයක පිහිටීම තීරණය කිරීම මූලික ජ්යාමිතියේ, විශේෂයෙන් වෘත්ත අධ්යයනයේ දී වැදගත් මාතෘකාවකි. මෙම ලිපියෙන්, වෘත්තයකට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්යයක පිහිටීම හා සම්බන්ධ උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සහ ඒවායේ පැහැදිලි කිරීම් අපි සාකච්ඡා කරමු. මෙය ප්රායෝගික යෙදුම් හරහා සංකල්පය පැහැදිලි කිරීමට උපකාරී වනු ඇත.
පෙන්ඩහුලුවන්
උදාහරණ ප්රශ්න වෙත කිමිදීමට පෙර, වෘත්තයක ලක්ෂ්යයක විය හැකි ස්ථාන තුන සිහිපත් කරමු:
1. වෘත්තයක් ඇතුළත: ලක්ෂ්යයක සිට වෘත්තයේ කේන්ද්රය දක්වා ඇති දුර වෘත්තයේ අරයට වඩා කුඩා නම්.
2. වෘත්තයෙන් පිටත: ලක්ෂ්යයේ සිට වෘත්තයේ කේන්ද්රය දක්වා ඇති දුර වෘත්තයේ අරයට වඩා වැඩි නම්.
3. වෘත්තයක් මත: ලක්ෂ්යයේ සිට වෘත්තයේ කේන්ද්රය දක්වා ඇති දුර වෘත්තයේ අරයට සමාන නම්.
ගණිතමය වශයෙන්, \(a, b)\) අරය \(r\) සහිත කේන්ද්රගත වූ වෘත්තයට සාපේක්ෂව \(T(x_1, y_1)\) ලක්ෂ්යයේ පිහිටීම \(T(x_1, y_1)\) රවුමේ සමීකරණය සමඟ සංසන්දනය කිරීමෙන් තීරණය කළ හැකිය, එනම්:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
සමීකරණයේ \(x_1\) සහ \(y_1\) ආදේශ කිරීමේ ප්රතිඵලය අගය ලබා දෙන්නේ නම්:
– \(r^2\) ට වඩා කුඩා නම්, ලක්ෂ්යය වෘත්තය තුළ ඇත.
– \(r^2\) ට වඩා විශාල නම්, ලක්ෂ්යය වෘත්තයෙන් පිටත වේ.
– \(r^2\) ට සමානව, ලක්ෂ්යය රවුම මත ඇත.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
ප්රශ්නය 1
\((x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \) සමීකරණය සමඟ රවුමට සාපේක්ෂව \(T(3, 4)\) ලක්ෂ්යයේ පිහිටීම තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමු පියවර වන්නේ රවුමේ සමීකරණය ඇගයීම සහ \(T(3, 4)\) ලක්ෂ්යයේ සිට රවුමේ මැදට ඇති දුර \((1, 2)\) සොයා ගැනීමයි.
1. රවුමේ කේන්ද්රය සහ අරය හඳුනා ගන්න:
වෘත්තයක සමීකරණය: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– වෘත්තයේ කේන්ද්රය (\(a, b\)): (1, 2)
– වෘත්තයේ අරය (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. ලක්ෂ්යය \(T(3, 4)\) සහ රවුමේ කේන්ද්රය \( (1, 2) \) අතර දුර ගණනය කරන්න:
\[
D = \sqrt{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
අගය \( 2\sqrt{2} \ආසන්න වශයෙන් 2 \times 1.414 = 2.828 \) (\(5\) ට වඩා අඩු).
3. නිගමනය:
\( 2\sqrt{2} < 5 \), එවිට ලක්ෂ්යය \( T(3, 4) \) වෘත්තය තුළ ඇත. ප්රශ්නය 2 වෘත්තයක \( (0, 0) \) ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රයක් සහ අරය 7 කි. වෘත්තයට සාපේක්ෂව \(P(5, 6)\) ලක්ෂ්යයේ පිහිටීම තීරණය කරන්න.
ප්රශ්නය 3
\( x^2 + y^2 = 5 \) සමීකරණය භාවිතා කරමින් රවුමට සාපේක්ෂව \(M(2, -1)\) ලක්ෂ්යයේ පිහිටීම තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
1. \(M(2, -1)\) ලක්ෂ්යයේ සිට රවුමේ මැදට ඇති දුර ගණනය කරන්න \( (0, 0) :
\[
D = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. දුර \(D\) රවුමේ අරය සමඟ සසඳන්න:
වෘත්තයේ අරය (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. නිගමනය:
\( \sqrt{5} = \sqrt{5} \) බැවින්, \( M(2, -1) \) ලක්ෂ්යය වෘත්තය මත වේ.
ප්රශ්නය 4
\( (4, 3) \) කේන්ද්රය සහිත වෘත්තයක අරය \(\sqrt{10}\) වේ. මෙම වෘත්තයට සාපේක්ෂව \( N(7, 7) \) ලක්ෂ්යයේ පිහිටීම පෙන්වන්න.
සාකච්ඡාව:
1. කව සමීකරණය:
\( (4, 3) \) කේන්ද්රය සහ \( \sqrt{10} \) අරය සහිත වෘත්තයක සමීකරණය වන්නේ:
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. ලක්ෂ්යයේ සිට \( N(7, 7) \) රවුමේ මැදට ඇති දුර ගණනය කරන්න \( (4, 3) \):
\[
D = \sqrt{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. නිගමනය:
\( 5 > \sqrt{10} \) බැවින්, \( N(7, 7) \) ලක්ෂ්යය වෘත්තයෙන් පිටත වේ.
වසා දැමීම
වෘත්තයක කේන්ද්රයේ සිට ලක්ෂ්යයක දුර ගණනය කරන ආකාරය තේරුම් ගැනීමෙන් සහ එය අරයට සංසන්දනය කිරීමෙන්, වෘත්තයට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්යයක පිහිටීම අපට පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. මෙම ලිපියේ සාකච්ඡාව මඟින් සංකල්පය පිළිබඳ පැහැදිලි අවබෝධයක් සහ වෘත්තයකට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්යයක පිහිටීම සම්බන්ධ ගැටළු විසඳන්නේ කෙසේද යන්න ලබා දෙනු ඇතැයි අපේක්ෂා කෙරේ.
ප්රායෝගිකව, මෙම ලක්ෂ්යවල පිහිටීම දැන ගැනීම ජ්යාමිතික විශ්ලේෂණය, ග්රැෆික් නිර්මාණය සහ ඉංජිනේරු විද්යාව ඇතුළු විවිධ ගණිතමය යෙදුම්වල අතිශයින් ප්රයෝජනවත් වේ. එබැවින්, මෙම සංකල්පය ප්රගුණ කිරීම ප්රවේශමෙන් අවධානය යොමු කළ යුතු සහ ගැඹුරු අවබෝධයක් ලැබිය යුතු වැදගත් පදනමකි.
