චාප දිග සහ අංශ ප්රදේශය අතර සම්බන්ධතාවය සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
ජ්යාමිතික පාඩම් වලදී, විශේෂයෙන් වෘත්ත අධ්යයනයේදී, අපට බොහෝ විට චාප දිග සහ අංශ වර්ගඵලය පිළිබඳ සංකල්ප හමු වේ. වෘත්ත සම්බන්ධ විවිධ ජ්යාමිතික සංසිද්ධි තේරුම් ගැනීම සඳහා මෙම සංකල්ප දෙක ඉතා වැදගත් වේ. උදාහරණ ගැටළු සහ ඒවාට විසඳුම් ලබා දීමට පෙර මෙම සංකල්ප දෙක පැහැදිලි කරමු.
චාප දිග
චාප දිග යනු වෘත්තයක ලක්ෂ්ය දෙකක් අතර චාපය දිගේ ඇති දුරයි. වෘත්තයක චාප දිග ගණනය කිරීම සඳහා, අපට සාමාන්යයෙන් වෘත්තයේ අරය (r) සහ චාපය රේඩියන වලින් යටත් වන මධ්ය කෝණය (θ) අවශ්ය වේ. චාප දිග (s) ගණනය කිරීමේ සූත්රය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
\[ s = r \times \theta \]
මධ්ය කෝණය අංශක වලින් දී ඇත්නම්, අපි පළමුව එය රේඩියන බවට පරිවර්තනය කළ යුත්තේ:
\[ \තීටා_{රේඩියන්} = \තීටා_{අංශක} \වරක් \frac{\pi}{180} \]
අංශයේ ප්රදේශය
අංශයක් යනු අරය දෙකකින් සහ ඒවා අතර චාපයෙන් මායිම් වූ වෘත්තයක කොටසකි. අංශයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි රවුමේ අරය (r) සහ මධ්ය කෝණය (θ) භාවිතා කරමු. අංශයක (A) වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ සූත්රය:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
චාප දිග මෙන්, මධ්ය කෝණය අංශක වලින් මනින්නේ නම්, අපි පළමුව එය රේඩියන බවට පරිවර්තනය කළ යුතුය.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
චාප දිග සහ අංශ වර්ගඵලය පිළිබඳ සංකල්පය පැහැදිලි කිරීම සඳහා, පහත උදාහරණ ප්රශ්න සහ ඒවායේ සාකච්ඡා සමාලෝචනය කරමු.
ප්රශ්නය 1:
සෙන්ටිමීටර 10 ක අරයක් සහ අංශක 60 ක මධ්ය කෝණයක් සහිත වෘත්තයක් ලබා දී ඇති විට, චාපයේ දිග සහ කෝණයෙන් සාදන ලද අංශයෙහි වර්ගඵලය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
1. චාප දිග ගණනය කිරීම:
– පළමුව, අපි කෝණය අංශක සිට රේඩියන බවට පරිවර්තනය කරමු:
\[ \තීටා = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \, \පෙළ{රේඩියන්} \]
– චාප දිග සූත්රය භාවිතා කරමින්:
\[ s = r \times \theta \]
\[ s = 10 \වරක් \frac{\pi}{3} \]
\[ s = \frac{10\pi}{3} \, \පෙළ{සෙ.මී.} \]
2. අංශයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම:
– අංශයක වර්ගඵලය සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින්:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{3} \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\pi}{3} \]
\[ A = \frac{100\pi}{6} \]
\[ A = \frac{50\pi}{3} \, \පෙළ{cm}^2 \]
ඉතින්, චාපයේ දිග \(\frac{10\pi}{3}\) සෙ.මී. වන අතර, අංශයේ වර්ගඵලය \(\frac{50\pi}{3}\) සෙ.මී.² වේ.
ප්රශ්නය 2:
වෘත්තයක අරය සෙන්ටිමීටර 7 ක් වන අතර රේඩියන 2 ක චාපයකින් යටපත් කරන ලද මධ්ය කෝණයක් ඇත. චාපයේ දිග සහ වෘත්තයේ අංශයේ වර්ගඵලය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
1. චාප දිග ගණනය කිරීම:
– මධ්ය කෝණය දැනටමත් රේඩියන වලින් ඇත, එබැවින් අපට චාප දිග සූත්රය කෙලින්ම භාවිතා කළ හැකිය:
\[ s = r \times \theta \]
\[ s = 7 \ගුණ 2 \]
\[ s = 14 \, \පෙළ{සෙ.මී.} \]
2. අංශයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම:
– අංශයක වර්ගඵලය සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින්:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 7^2 \times 2 \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 49 \times 2 \]
\[ A = 49 \, \පෙළ{සෙ.මී.}^2 \]
ඉතින්, චාපයේ දිග සෙන්ටිමීටර 14 ක් වන අතර, අංශයේ වර්ගඵලය සෙන්ටිමීටර 49 කි.
ප්රශ්නය 3:
සෙන්ටිමීටර 12 ක අරයක් සහිත කවයක චාප දිග සෙන්ටිමීටර 15\(\pi\) වන අංශයක් ඇත. මධ්යම කෝණය අංශක වලින් සහ අංශයෙහි වර්ගඵලය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
1. මධ්ය කෝණය තීරණය කිරීම:
– මධ්ය කෝණය සොයා ගැනීමට චාප දිග සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ s = r \times \theta \]
\[ 15\pi = 12 \ගුණයක් \තීටා \]
\[ \තීටා = \frac{15\pi}{12} \]
\[ \තීටා = \frac{5\pi}{4} \, \පෙළ{රේඩියන්} \]
– මධ්යම කෝණය අංශක බවට පරිවර්තනය කරන්න:
\[ \තීටා = \frac{5\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} \]
\[ \තීටා = \frac{5 \times 180}{4} \]
\[ \තීටා = 225 \, \පෙළ{අංශක} \]
2. අංශයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම:
– අංශයක වර්ගඵලය සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින්:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{5\pi}{4} \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{5\pi}{4} \]
\[ A = 72 \වරක් \frac{5\pi}{4} \]
\[ A = 90\pi \, \පෙළ{සෙ.මී.}^2 \]
ඉතින්, අංශයෙහි මධ්ය කෝණය අංශක 225 ක් වන අතර, අංශයෙහි වර්ගඵලය 90\(\pi\) cm² වේ.
නිගමනය
චාප දිග සහ අංශ ප්රදේශය අතර සම්බන්ධතාවය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා වෘත්තවල මූලික මූලධර්ම සහ සූත්ර නිසි ලෙස භාවිතා කිරීම පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් අවශ්ය වේ. ඉහත ප්රායෝගික ගැටළු හරහා, කෝණ පරිවර්තන ප්රගුණ කිරීමේ සහ වෘත්තාකාර ජ්යාමිතියේ සන්දර්භය තුළ සූත්ර සෘජුවම යෙදීමේ වැදගත්කම අපට දැකගත හැකිය. ගැටළු සාකච්ඡාවේ සෑම පියවරක්ම සූත්ර ක්රියා කරන ආකාරය සහ ඒවා ඵලදායී ලෙස යෙදිය යුතු ආකාරය තේරුම් ගැනීමට අපට උපකාරී වේ.
පැහැදිලි කර ඇති මූලික කරුණු අඛණ්ඩව පුහුණු වීමෙන් සහ තේරුම් ගැනීමෙන්, චාප දිග සහ අංශ ප්රදේශය ආශ්රිත ගැටළු විසඳීමේදී අපි වඩාත් ප්රවීණයන් බවට පත් වන අතර, මෙය විවිධ ගණිතමය සහ අනෙකුත් විද්යාත්මක යෙදීම් වලදී ඉතා ප්රයෝජනවත් වනු ඇත.
