චතුර්ථ ශ්රිත සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
ගණිතයේ, විශේෂයෙන් ද්විතීයික ගණිතයේ සාකච්ඡා කෙරෙන වැදගත් මාතෘකාවක් වන්නේ චතුර්ථ ශ්රිතයි. මෙම ශ්රිතයට සාමාන්ය ස්වරූපයක් ඇත \( f(x) = ax^2 + bx + c \), එහිදී \(a\), \(b\), සහ \(c\) \(a \neq 0\) සමඟ නියතයන් වේ. මෙම සංකල්පය වඩා හොඳින් තේරුම් ගැනීමට සිසුන්ට උපකාර කිරීම සඳහා සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සමඟ චතුර්ථ ශ්රිතවලට අදාළ උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් මෙම ලිපියෙන් සාකච්ඡා කෙරේ.
1. චතුරස්ර ශ්රිතයක මූලයන් නිර්ණය කිරීම
ප්රශ්නය 1: පහත චතුරස්ර ශ්රිතයේ මූලයන් සොයන්න:
\[ f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \]
සාකච්ඡාව:
චතුර්ථ ශ්රිතයක මූලයන් සොයා ගැනීමට, අපට චතුර්ථ සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය, එනම්:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
චතුරස්ර ශ්රිතය \( f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \), අපට \(a\), \(b\), සහ \(c\) හි අගයන් හඳුනාගත හැකිය:
– \( ඒ = 2 \)
– \( ආ = -3 \)
– \( ඇ = -5 \)
පියවර පහත පරිදි වේ:
1. වෙනස්කම් කරන්නා (\( \Delta \)) සොයන්න:
\[ \ඩෙල්ටා = b^2 – 4ac \]
\[ \ඩෙල්ටා = (-3)^2 – 4(2)(-5) \]
\[ \ඩෙල්ටා = 9 + 40 \]
\[ \ඩෙල්ටා = 49 \]
2. මූලයන් සොයා ගැනීමට චතුරස්ර සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \]
ඉතින් අපට විසඳුම් දෙකක් ලැබෙනවා:
\[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
එබැවින් ශ්රිතයේ මූලයන් \( x = 2.5 \) සහ \( x = -1 \) වේ.
2. චතුරස්ර ශ්රිතයක සිරස් තීරණය කිරීම
ප්රශ්නය 2: පහත චතුරස්ර ශ්රිතයේ ශීර්ෂය තීරණය කරන්න:
\[ g(x) = -x^2 + 4x – 3 \]
සාකච්ඡාව:
චතුර්ථ ශ්රිතයක ශීර්ෂය සූත්රය භාවිතයෙන් තීරණය කළ හැක:
\[ x_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = \frac{-b}{2a} \]
චතුරස්ර ශ්රිතයේ \( g(x) = -x^2 + 4x – 3 \), අපට \(a\), \(b\), සහ \(c\) හි අගයන් හඳුනාගත හැකිය:
– \( ඒ = -1 \)
– \( ආ = 4 \)
– \( ඇ = -3 \)
පියවර පහත පරිදි වේ:
1. ශීර්ෂයේ \( x \) අගය සොයන්න:
\[ x_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = \frac{-4}{-2} \]
\[ x_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = 2 \]
2. \( x_{\text{vertex}} \) ශ්රිතයට ආදේශ කිරීමෙන් \( y \) හි අගය සොයන්න:
\[ y_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = g(2) \]
\[ y_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[ y_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = -4 + 8 – 3 \]
\[ y_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = 1 \]
එබැවින් ශ්රිතයේ ශීර්ෂය \( (2, 1) \) වේ.
3. චතුර්ථ ශ්රිත ප්රස්තාරයක් ඇඳීම
ප්රශ්නය 3: පහත දැක්වෙන චතුර්ථ ශ්රිතයේ ප්රස්තාරය අඳින්න:
\[ h(x) = x^2 – 2x – 3 \]
සාකච්ඡාව:
චතුර්ථ ශ්රිතයක ප්රස්තාරයක් ඇඳීමට පෙර, පරාවලයේ මූලයන්, ශීර්ෂය සහ දිශාව වැනි වැදගත් කරුණු කිහිපයක් අප දැනගත යුතුය.
මූලයන් තීරණය කිරීම
\( h(x) = x^2 – 2x – 3 \) හි මූලයන් සොයා ගැනීමට අපට චතුරස්ර සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය:
\[ අ = 1 \]
\[ ආ = -2 \]
\[ ඇ = -3 \]
1. වෙනස්කම් කරන්නා ගණනය කරන්න:
\[ \ඩෙල්ටා = b^2 – 4ac \]
\[ \ඩෙල්ටා = (-2)^2 – 4(1)(-3) \]
\[ \ඩෙල්ටා = 4 + 12 \]
\[ \ඩෙල්ටා = 16 \]
2. මූලයන් ගණනය කරන්න:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]
ඉතින් අපට විසඳුම් දෙකක් ලැබෙනවා:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
උච්ච ලක්ෂ්යය තීරණය කිරීම
3. ශීර්ෂ සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ x_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = 1 \]
4. \( y \) හි අගය ගණනය කරන්න:
\[ y_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = h(1) \]
\[ y_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[ y_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = 1 – 2 – 3 \]
\[ y_{\පෙළ{ශීර්ෂය}} = -4 \]
එබැවින් ශීර්ෂය \( (1, -4) \) වේ.
ප්රස්තාර ඇඳීම
– මූලයන් \( x = 3 \) සහ \( x = -1 \) හි ඇත.
– ශීර්ෂය \( (1, -4) \) හි ඇත.
– \( a > 0 \) සිට, පැරබෝලා ඉහළට විවෘත වේ.
මෙම වැදගත් කරුණු ප්රස්ථාරයක සටහන් කර ඒවා හරහා ගමන් කරන පැරබෝලාවක් අඳින්න.
පැරබෝලාවේ මූලයන්, ශීර්ෂය සහ දිශාව තේරුම් ගැනීමෙන්, අපට චතුරස්ර ශ්රිතයක වඩාත් පරිපූර්ණ ප්රස්තාරයක් අඳින්න පුළුවන්.
නිගමනය
චතුර්ථ ශ්රිතය යනු ගණිතයේ මූලික සංකල්පයක් වන අතර එය පුළුල් ලෙස යෙදීම් සමඟින් ක්රියාත්මක වේ. චතුර්ථ ශ්රිත තේරුම් ගැනීම ගණිතයේ සහ ව්යවහාරික විද්යාවන්හි අනෙකුත් සංකල්ප පිළිබඳ අපගේ අවබෝධය ගැඹුරු කිරීමට උපකාරී වේ. උදාහරණ සමඟ පුහුණුවීමෙන් සහ ඒවා විසඳීමට පියවර තේරුම් ගැනීමෙන්, චතුර්ථ ශ්රිත පිළිබඳ අපගේ අවබෝධය ගැඹුරු වී වඩාත් අදාළ වනු ඇතැයි අපේක්ෂා කෙරේ.
