ද්විපද ව්යාප්ති ශ්රිතය සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
ද්විපද ව්යාප්තිය යනු ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් ගණනාවකින් සමන්විත අත්හදා බැලීමක සාර්ථකත්ව සංඛ්යාව විස්තර කරන විවික්ත සම්භාවිතා ව්යාප්තියකි, එය සාර්ථකත්ව සහ අසාර්ථකත්වය යන ප්රතිඵල දෙකකින් සමන්විත වේ. සෑම අත්හදා බැලීමක්ම අත්හදා බැලීමක් ලෙස හැඳින්වෙන අතර, ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් ගණනාවක් හරහා සාර්ථකත්ව සංඛ්යාව උනන්දුවක් දක්වන අවස්ථාවන්හිදී ද්විපද ව්යාප්තිය බොහෝ විට භාවිතා වේ. මෙම ලිපියෙන් අපි ද්විපද ව්යාප්තියේ මූලික සංකල්ප සාකච්ඡා කර උදාහරණ සහ විසඳුම් ලබා දෙන්නෙමු.
ද්විපද ව්යාප්ති ශ්රිතයේ මූලික සංකල්ප
උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාවට පිවිසීමට පෙර, ද්විපද ව්යාප්තියට අදාළ මූලික සංකල්ප කිහිපයක් සාකච්ඡා කරමු.
1. අර්ථ දැක්වීම: ද්විපද ව්යාප්තිය අර්ථ දැක්වෙන්නේ 'n' ස්වාධීන අත්හදා බැලීම්වල සාර්ථකත්වයන්ගේ එකතුව ලෙස වන අතර, එහිදී සෑම අත්හදා බැලීමකටම විය හැකි ප්රතිඵල දෙකක් ඇත: සාර්ථකත්වය (සම්භාවිතාව p සමඟ) හෝ අසාර්ථකත්වය (සම්භාවිතාව q = 1 – p සමඟ).
2. සම්භාවිතා ශ්රිතය: ද්විපද ව්යාප්තියේ සම්භාවිතා ශ්රිතය වන්නේ:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
කොහෙද:
– \( P(X = k) \) යනු n අත්හදා බැලීම් වලදී k සාර්ථකත්ව ලැබීමේ සම්භාවිතාවයි.
– \( \binom{n}{k} \) යනු n take k හි සංයෝජනයකි, එය \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත.
– \( p \) යනු එක් එක් අත්හදා බැලීමේදී සාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාවයි.
– \( (1-p) \) යනු එක් එක් අත්හදා බැලීමේදී අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාවයි.
3. අපේක්ෂිත අගය සහ විචලනය:
– ද්විපද ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය (මධ්යන්යය) \( \mu = np \) වේ.
– ද්විපද ව්යාප්තියේ විචලනය \( \sigma^2 = np(1-p) \) වේ.
දැන්, ගැඹුරු අවබෝධයක් ලබා දීම සඳහා මෙම සංකල්ප උදාහරණ ගැටලුවක යොදමු.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1: ද්විපද ව්යාප්තියේ මූලික ගණනය කිරීම්
ප්රශ්නය :
සමාගමක් ඉලෙක්ට්රොනික උපාංග නිෂ්පාදනය කරන්නේ, එක් එක් සංරචකය තත්ත්ව පරීක්ෂණයකින් සමත් වීමේ සම්භාවිතාව 0.95 කි. සංරචක 10 ක් නිෂ්පාදනය කරන්නේ නම්, සංරචක 8 ක් ගුණාත්මක පරීක්ෂණයෙන් සමත් වීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව :
මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා අපට ද්විපද ව්යාප්ති සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය. පළමුව, අපි පහත පරාමිතීන් හඳුනා ගනිමු:
– \( n \) (මුළු අත්හදා බැලීම් ගණන) = 10
– \( k \) (සාර්ථකත්ව ගණන) = 8
– \( p \) (සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව) = 0.95
– \( q \) (අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව) = 1 – 0.95 = 0.05
ඉන්පසු මෙම අගයන් ද්විපද බෙදාහැරීමේ සූත්රයට ආදේශ කරන්න:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
පළමුව, සංයෝජනය ගණනය කරන්න \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
ඉන්පසු, සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න \( (0.95)^8 \) සහ \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \ආසන්න වශයෙන් 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
අවසාන වශයෙන්, ලබා ගැනීමට එම සියලු අගයන් ගුණ කරන්න:
\[
P(X = 8) = 45 \times 0.6634 \times 0.0025 \ආසන්න වශයෙන් 0.0744
\]
ඉතින්, සංරචක 10 න් 8 ක් ගුණාත්මක පරීක්ෂණය සමත් වීමේ සම්භාවිතාව 0.0744 ක් හෝ 7.44% ක් පමණ වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2: සමුච්චිත සම්භාවිතාව
ප්රශ්නය :
තවමත් එකම සමාගම සමඟ, අවම වශයෙන් සංරචක 10 න් 9 ක් තත්ත්ව පරීක්ෂණය සමත් වීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව :
මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා, අපි සමුච්චිත සම්භාවිතාව ගණනය කළ යුතුය. අවම වශයෙන් සංරචක 10 න් 9 ක් පරීක්ෂණය සමත් වීමේ සම්භාවිතාව යන්නෙන් අදහස් වන්නේ අපි \( P(X \geq 9) \) ගණනය කරන බවයි, එය මෙසේ ලිවිය හැකිය:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
ද්විපද ව්යාප්ති සූත්රය භාවිතා කරමින්:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
පළමුව, එක් එක් අවස්ථාව සඳහා සංයෝජනය ගණනය කරන්න:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\බිනෝම්{10}{10} = 1
\]
ඉන්පසු, \( P(X = 9) \) සහ \( P(X = 10) \): සඳහා සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න.
\[
P(X = 9) = 10 \times (0.95)^9 \times 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \ආසන්න වශයෙන් 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \times 0.6302 \times 0.05 \ආසන්න වශයෙන් 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \ආසන්න වශයෙන් 0.5987
\]
\[
පී(එක්ස් = 10) = 0.5987
\]
\( P(X \geq 9) \) සඳහා මුළු සම්භාවිතාව:
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \ආසන්න වශයෙන් 0.9138
\]
එබැවින්, අවම වශයෙන් සංරචක 10 න් 9 ක් තත්ත්ව පරීක්ෂණය සමත් වීමේ සම්භාවිතාව 0.9138 ක් හෝ 91.38% ක් පමණ වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 3: අපේක්ෂිත අගය සහ විචලනය
ප්රශ්නය :
නිෂ්පාදනය කරන ලද සංරචක 10 න් තත්ත්ව පරීක්ෂණය සමත් වන සංරචක සංඛ්යාවේ අපේක්ෂිත අගය සහ විචලනය ගණනය කරන්න, සමත් වීමේ සම්භාවිතාව 0.95 කි.
සාකච්ඡාව :
පහත සූත්රය භාවිතා කරන්න:
– අපේක්ෂිත අගය (මධ්යන්යය) \( \mu = np \)
– විචලනය \( \sigma^2 = np(1-p) \)
\( n = 10 \) සහ \( p = 0.95 \): සමඟ
\[
\mu = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
එබැවින්, තත්ත්ව පරීක්ෂණය සමත් වන සංරචක සංඛ්යාවේ අපේක්ෂිත අගය 9.5 ක් වන අතර, විචලනය 0.475 කි.
නිගමනය
ඉහත උදාහරණ ගැටළු තුන හරහා, විවිධ තත්වයන් සඳහා ද්විපද ව්යාප්තිය භාවිතයෙන් සම්භාවිතාව ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි අපි සාකච්ඡා කර ඇත්තෙමු: නිශ්චිත සම්භාවිතාව, සමුච්චිත සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම සහ අපේක්ෂිත අගය සහ විචලනය ගණනය කිරීම. ද්විපද ව්යාප්තිය පිළිබඳ දැනුම නිෂ්පාදනය, වෛද්ය පර්යේෂණ සහ සමාජ සංඛ්යාලේඛන වැනි විවිධ ක්ෂේත්රවල ප්රයෝජනවත් වන අතර, එහිදී තීරණ ගැනීමේදී උපකාර කිරීම සඳහා හැකි ප්රතිඵල දෙකක් සහිත නැවත නැවත අත්හදා බැලීම්වල ප්රතිඵල විශ්ලේෂණය කළ හැකිය. ලබා දී ඇති උදාහරණ ගැටළු සහ සාකච්ඡා ද්විපද ව්යාප්තිය පිළිබඳ ඔබේ අවබෝධය තවදුරටත් උපකාරී වනු ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු.
