අංක ගණිත අනුක්රම සාකච්ඡා කරන ප්රශ්න සඳහා උදාහරණ
ගණිතයේ මූලික සංකල්පයක් වන අංක ගණිත අනුපිළිවෙලක් විවිධ විභාගවල සහ සැබෑ ලෝක යෙදීම්වල නිතර දක්නට ලැබේ. අංක ගණිත අනුපිළිවෙලක් යනු සෑම අනුප්රාප්තික පද දෙකක් අතර නියත වෙනසක් ඇති සංඛ්යා අනුපිළිවෙලකි. මෙම ලිපියෙන්, අපි සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සමඟ උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් හරහා ගණිත අනුපිළිවෙල පිළිබඳ සංකල්පය වඩාත් ගැඹුරින් ගවේෂණය කරන්නෙමු.
අර්ථ දැක්වීම් සහ සංකේත
උදාහරණ ගැටළු වලට පිවිසීමට පෙර, අංක ගණිත අනුපිළිවෙලෙහි බොහෝ විට භාවිතා වන අංකනය තේරුම් ගැනීම වැදගත් වේ. \(a\) පළමු පදය වන අතර \(d\) පොදු වෙනස (නියත වෙනස) නම්, අංක ගණිත අනුපිළිවෙල මෙසේ ලිවිය හැකිය:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
මෙම අනුක්රමයේ n වන පදය (Un) පහත පරිදි සූත්රගත කළ හැක:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
අංක ගණිත අනුපිළිවෙල තේරුම් ගැනීම පහසු කිරීම සඳහා උදාහරණ ප්රශ්න කිහිපයක් සහ ඒවායේ සාකච්ඡා පහත දැක්වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
ප්රශ්නය:
පළමු පදය \(a = 5\) සහ පොදු වෙනස \(d = 3\) සහිත අංක ගණිත අනුක්රමයක් ලබා දී ඇත. අනුක්රමයේ 10 වන පදය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
n වන පදය සඳහා සාමාන්ය සූත්රය භාවිතා කරමින්, එනම් \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
ඉතින්, අනුපිළිවෙලෙහි 10 වන පදය 32 වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
ප්රශ්නය:
පස්වන පදය 20 සහ අටවන පදය 35 වන අංක ගණිත අනුක්රමයක් දී ඇත. අනුක්රමයේ පළමු පදය \(a\) සහ පොදු වෙනස \(d\) නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
ප්රශ්නයෙන් අපි දන්නේ:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
\(a\) ඉවත් කිරීමට සමීකරණ දෙකම අඩු කරන්න:
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ ඈ = 5 \]
දැන් අපි \(d = 5\) ආදේශ කර \(a\) සොයා ගනිමු:
\[ a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ අ + 20 = 20 \]
\[ අ = 0 \]
ඉතින්, අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පදය 0 වන අතර වෙනස 5 වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
ප්රශ්නය:
පළමු පදය \(a = 2\) සහ පොදු වෙනස \(d = 4\) වන අංක ගණිත අනුපිළිවෙලක පළමු පද 20 හි එකතුව කොපමණද?
සාකච්ඡාව:
අංක ගණිත අනුපිළිවෙලක පළමු n පදවල එකතුව සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:
\[ S_n = \frac{n}{2} \වම( 2a + (n-1)d \දකුණ) \]
මෙම පේළිය සඳහා:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \වම( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \දකුණ) \]
\[ S_{20} = 10 \වම( 4 + 76 \දකුණ) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]
ඉතින්, අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පද 20 හි එකතුව 800 කි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 4
ප්රශ්නය:
අංක ගණිත අනුක්රමයක තුන්වන පදය 15 වන අතර හත්වන පදය 27 වේ. අනුක්රමයේ 12 වන පදය සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
පළමුව, අපි \(a\) සහ \(d\) අගයන් සොයා ගත යුතුයි. ප්රශ්නයෙන්, අපි දන්නේ:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
\(a\) ඉවත් කිරීමට සමීකරණ දෙකම අඩු කරන්න:
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ ඈ = 3 \]
දැන් අපි \(d = 3\) ආදේශ කර \(a\) සොයා ගනිමු:
\[ a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ අ + 6 = 15 \]
\[ අ = 9 \]
12 වන පදය සොයා ගැනීමට n වන පද සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
ඉතින්, අනුපිළිවෙලෙහි 12 වන පදය 42 වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 5
ප්රශ්නය:
පළමු පදය \(a\) සහ පොදු වෙනස \(d\) සහිත අංක ගණිත අනුපිළිවෙලකට පළමු පද 10 හි එකතුවක් ඇත, එනම් 55. \(d = 1\) නම්, පළමු පදය \(a\) තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\(d = 1\) සහ \(S_{10} = 55\) ලබා දී ඇත. පළමු පදවල එකතුව සඳහා සූත්රය භාවිතා කරන්න:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
n = 10 සඳහා:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2අ + 9 = 11 \]
\[ 2අ = 2 \]
\[ අ = 1 \]
ඉතින්, අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පදය 1 වේ.
නිගමනය
ගණිතයේ මූලික සංකල්පයක් වන අංක ගණිත අනුපිළිවෙල විවිධ ක්ෂේත්රවල අතිශයින් ප්රයෝජනවත් වේ. මෙම ලිපියෙන් අපි අංක ගණිත අනුපිළිවෙලවල් සහ ඒවායේ විසඳුම් පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයක් සාකච්ඡා කර ඇත්තෙමු. අංක ගණිත අනුපිළිවෙලවල්වල සූත්ර සහ මූලික ගුණාංග පිළිබඳ හොඳ අවබෝධයක් මෙම මාතෘකාවට අදාළ විවිධ ආකාරයේ ගැටළු විසඳීමට බෙහෙවින් උපකාරී වනු ඇත.
ඉහත උදාහරණ වැනි උදාහරණ පුහුණු වීමෙන්, අංක ගණිත අනුපිළිවෙලට අදාළ ගැටළු විසඳීමේදී ඔබ වඩාත් දක්ෂ හා වේගවත් වනු ඇතැයි අපේක්ෂා කෙරේ.
