A සහ B යන සුවිශේෂී සිදුවීම් දෙකක් එකතු කිරීමේ රීතිය සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
සම්භාවිතා න්යායේ දී, සිදුවීම් දෙකක එකතුව රීතිය බහු සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම සඳහා භාවිතා කරන මූලික මූලධර්මවලින් එකකි. ඇතැම් සිදුවීම්වල ඇති විය හැකි ප්රතිඵල තේරුම් ගැනීම සඳහා මෙම සංකල්පය බොහෝ විට විවිධ අවස්ථාවන්හිදී යොදනු ලැබේ. මෙම ලිපියෙන්, අපි අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක එකතුව රීතිය සාකච්ඡා කර මෙම සංකල්පය පැහැදිලි කිරීම සඳහා උදාහරණ සපයන්නෙමු.
අන්යෝන්ය වශයෙන් සුවිශේෂී සිදුවීම් දෙකක් එකතු කිරීමේ රීතිය
පළමුවෙන්ම, අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද යන්න තේරුම් ගැනීම වැදගත්ය. සිදුවීම් දෙකක් එකවර සිදුවිය නොහැකි නම් ඒවා විසංයෝජන හෝ අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර යැයි කියනු ලැබේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එක් සිදුවීමක කුලකයක කිසිදු මූලද්රව්යයක් තවත් සිදුවීමක කුලකයක මූලද්රව්යයක් නොවේ.
සම්භාවිතාවයේ එකතු කිරීමේ රීතිය පවසන්නේ සිදුවීම් දෙකක් \(A\) සහ \(B\) අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර නම්, \(A\) හෝ \(B\) යන සිදුවීම් දෙකෙහි සම්භාවිතාව එම සිදුවීම් දෙකෙහි සම්භාවිතාවන්ගේ එකතුව බවයි. ගණිතමය වශයෙන්, මෙම රීතිය මෙසේ ප්රකාශ කළ හැකිය:
\[ P(A \කුසලාන B) = P(A) + P(B) \]
මෙහි \(P(A \cup B)\) යනු \(A\) හෝ \(B\) හි සම්භාවිතාව වන අතර, \(P(A)\) යනු \(A\) සිදුවීමේ සම්භාවිතාව වන අතර, \(P(B)\) යනු \(B\) සිදුවීමේ සම්භාවිතාව වේ.
සාකච්ඡා ප්රශ්න සඳහා උදාහරණ
අන්යෝන්ය වශයෙන් සුවිශේෂී සිදුවීම් දෙකක් එකතු කිරීමේ රීතියේ යෙදුම පැහැදිලි කිරීම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් සාකච්ඡා කරමු.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
ප්රශ්නය:
පැති හයක් සහිත දාදු කැටයක් එක් වරක් විසි කළ විට ලැබෙන සංඛ්යාව 2 හෝ 4 වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
අපට \(A\) සිදුවීම 2 අගයේ සිදුවීම ලෙසත්, \(B\) සිදුවීම 4 අගයේ සිදුවීම ලෙසත් අර්ථ දැක්විය හැක. මේ අනුව:
– \(P(A)\) යනු 2 අගය දිස්වීමේ සම්භාවිතාවයි.
– \(P(B)\) යනු 4 අගය දිස්වීමේ සම්භාවිතාවයි.
දාදු කැටයකට සමානව ඉඩ ඇති පැති හයක් ඇති බැවින්, යම් අගයක් පෙරළීමේ සම්භාවිතාව \( \frac{1}{6} \) වේ. එබැවින්:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ පී(බී) = \frac{1}{6} \]
\(A\) සහ \(B\) සිදුවීම් අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර වේ, මන්ද 2 සහ 4 අගයන් ඩයි එකේ තනි රෝලයකින් එකවර දිස්විය නොහැක. එබැවින්, අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක් සඳහා එකතු කිරීමේ රීතිය භාවිතා කිරීම:
\[ P(A \කුස B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
ඉතින්, දිස්වන අගය 2 හෝ 4 වීමේ සම්භාවිතාව \( \frac{1}{3} \) හෝ 33.33% ක් පමණ වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
ප්රශ්නය:
බෑගයක රතු බෝල 4 ක් සහ නිල් බෝල 6 ක් අඩංගු බෝල 10 ක් ඇත. අපි අහඹු ලෙස එක් බෝලයක් තෝරා ගන්නේ නම්, අඳින ලද බෝලය රතු හෝ නිල් වීමට ඇති සම්භාවිතාව කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
අපට \(A\) සිදුවීම රතු බෝලය ගැනීම ලෙසත්, \(B\) සිදුවීම නිල් බෝලය ගැනීම ලෙසත් අර්ථ දැක්විය හැක. මේ අනුව:
– \(P(A)\) යනු රතු බෝලයක් තෝරා ගැනීමේ සම්භාවිතාවයි.
– \(P(B)\) යනු නිල් බෝලයක් තෝරා ගැනීමේ සම්භාවිතාවයි.
එක් එක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව පහත පරිදි ගණනය කළ හැක:
\[ P(A) = \frac{\text{රතු බෝල ගණන}}{\text{මුළු බෝල ගණන}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\පෙළ{නිල් බෝල ගණන}}{\පෙළ{මුළු බෝල ගණන}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
බෝලයක් රතු සහ නිල් යන දෙකම විය නොහැකි නිසා \(A\) සහ \(B\) සිදුවීම් අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර වේ. එබැවින්, අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක් සඳහා එකතු කිරීමේ රීතිය භාවිතා කරමින්:
\[ P(A \කුසලාන B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
ඉතින්, අඳින ලද බෝලය රතු හෝ නිල් වීමට සම්භාවිතාව 1 හෝ 100% වේ. බෑගයේ ඇති සියලුම බෝල රතු හෝ නිල් නිසා මෙය තර්කානුකූලයි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
ප්රශ්නය:
සිසුන් 20 දෙනෙකුගෙන් යුත් පන්තියක, ඔවුන්ගෙන් 7 දෙනෙකු ගණිතයට කැමතියි, 5 දෙනෙකු විද්යාවට කැමතියි, සහ දෙකම කැමති කිසිවෙකු නැත. එක් සිසුවෙකු අහඹු ලෙස තෝරා ගනු ලැබුවහොත්, එම සිසුවා ගණිතයට හෝ විද්යාවට කැමති වීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගන්න.
සාකච්ඡාව:
අපට \(A\) සිදුවීම ගණිතයට කැමති වීම ලෙසත්, \(B\) සිදුවීම විද්යාවට කැමති වීම ලෙසත් අර්ථ දැක්විය හැකිය. මේ අනුව:
– \(P(A)\) යනු ශිෂ්යයෙකු ගණිතයට කැමති වීමේ සම්භාවිතාවයි.
– \(P(B)\) යනු ශිෂ්යයෙකු විද්යාවට කැමති වීමේ සම්භාවිතාවයි.
එක් එක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව පහත පරිදි ගණනය කළ හැක:
\[ P(A) = \frac{\text{ගණිතය කැමති සිසුන් සංඛ්යාව}}{\text{මුළු සිසුන් සංඛ්යාව}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{විද්යාවට කැමති සිසුන් සංඛ්යාව}}{\text{මුළු සිසුන් සංඛ්යාව}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
\(A\) සහ \(B\) සිදුවීම් අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර වේ, මන්ද කිසිදු ශිෂ්යයෙකු ඒ දෙකම කැමති නැත. එබැවින්, අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක් සඳහා එකතු කිරීමේ රීතිය භාවිතා කරමින්:
\[ P(A \කුස B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
ඉතින්, අහඹු ලෙස තෝරාගත් ශිෂ්යයෙකු ගණිතය හෝ විද්යාව යන දෙකෙන් එකකට කැමති වීමේ සම්භාවිතාව \( \frac{3}{5} \) හෝ 60% කි.
නිගමනය
අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක එකතු කිරීමේ රීතිය සම්භාවිතා න්යායේ මූලික සංකල්පයක් වන අතර එය ඒකාබද්ධ සිදුවීමක සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට පහසුකම් සපයයි. ඉහත උදාහරණ වලින්, මෙම මූලධර්මය දාදු කැට පෙරළීම, බෑගයකින් බෝල ඇඳීම හෝ පන්තියකින් සිසුන් තෝරා ගැනීම වැනි සැබෑ ලෝක තත්වයන්ට යෙදිය හැකි බව අපි දැක ඇත්තෙමු. මෙම සංකල්පය තේරුම් ගැනීමෙන් සහ ප්රගුණ කිරීමෙන්, එදිනෙදා ජීවිතයේ විවිධ අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව වඩාත් ඵලදායී ලෙස ගණනය කළ හැකිය.
