بائنوميل ورڇ جي متوقع قدر

بائنوميل ورڇ جي متوقع قدر

انگن اکرن ۽ امڪان ۾ بائنوميل ورڇ سڀ کان وڌيڪ عام طور تي سامهون ايندڙ ڊسڪريٽ امڪاني ورڇن مان هڪ آهي. هي ورڇ آزاد بائنري آزمائشن جي هڪ سلسلي ۾ ڪاميابين جي تعداد کي بيان ڪري ٿي (صرف ٻن نتيجن سان آزمائشون: ڪاميابي يا ناڪامي). بائنوميل تقسيم کي بهتر سمجهڻ لاءِ، متوقع قدر جي تصور کي سمجهڻ ضروري آهي، جيڪو ڊگهي مدت ۾ بار بار ٿيندڙ آزمائش جي سراسري قدر کي بيان ڪري ٿو. هي مضمون بائنوميل تقسيم جي حوالي سان متوقع قدر جي تصور جو جائزو وٺندو.

بائنوميل ورڇ جي تعريف

ٻہ نامي تقسيم اهڙن تناظرن ۾ پيدا ٿئي ٿي جتي اسين ڪيترائي هڪجهڙا ۽ آزاد آزمائشون ڪندا آهيون، ۽ هر آزمائش جا ٻه باهمي طور تي خاص نتيجا هوندا آهن، جن کي عام طور تي "ڪاميابي" ۽ "ناڪامي" چيو ويندو آهي. مثال طور، سڪو ڦاٽڻ (سر يا پڇ)، امتحان جي سوال جو جواب ڏيڻ (سچو يا غلط)، يا طبي آزمائش (علاج ٿيل يا نه علاج ٿيل).

ٻہ نامي ورڇ ٻن پيرا ميٽرز سان بيان ڪئي وئي آهي:
- n، آزمائشن جو تعداد.
- p، هر آزمائش تي ڪاميابي جو امڪان.

عام طور تي، جيڪڏهن X هڪ بي ترتيب متغير آهي جيڪو n آزمائشن ۾ ڪاميابين جي تعداد جي نمائندگي ڪري ٿو، ته پوءِ X هڪ بائنوميل ورڇ جي پيروي ڪري ٿو جنهن ۾ پيرا ميٽر n ۽ p آهن، جن کي X ~ بائنوميل(n, p) طور ظاهر ڪيو ويو آهي.

امڪان فنڪشن

بائنوميل ورڇ جو امڪاني ڪم هن ريت آهي:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
انسان ۾:
– \( \binom{n}{k} \) ٻہ نالي وارو ڳاڻيٽو آهي، جيڪو \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) جي حساب سان ڳڻيو ويندو آهي.
– \( k \) ڪاميابين جو گهربل تعداد آهي.
– \( n \) آزمائشن جو تعداد آهي.
– \( p \) هر آزمائش ۾ ڪاميابي جو امڪان آهي.
– \( (1-p) \) هر آزمائش ۾ ناڪامي جو امڪان آهي.

متوقع قدر

امڪاني ورڇ جي متوقع قدر يا اوسط مرڪزي مقام جي سڀ کان اهم ماپن مان هڪ آهي. بائنوميل ورڇ لاءِ، هڪ بي ترتيب متغير X جي متوقع قدر جيڪا بائنوميل (n، p) جي پٺيان اچي ٿي:
\[ اي (ايڪس) = اين پي \]

متوقع قدر جو ثبوت

سمجھڻ لاءِ ته بائنوميل ورڇ جي متوقع قدر np ڇو آهي، اسان متوقع قدر جي لڪيريٽي ملڪيت کي استعمال ڪري سگھون ٿا ۽ ڏسون ٿا ته بائنري متغير پنهنجي حصي ۾ ڪيئن اضافو ڪن ٿا.

اچو ته \( X \) کي n بائنري آزمائشن ۾ ڪاميابين جي تعداد جي طور تي بيان ڪريون. وڌيڪ خاص طور تي، اچو ته \( X_i \) هڪ بي ترتيب متغير هجي جيڪو i-th آزمائش جي نتيجي کي ظاهر ڪري، جيڪڏهن i-th آزمائش ڪامياب آهي ته \( X_i = 1 \) سان، ۽ جيڪڏهن اهو ناڪامي آهي ته \( X_i = 0 \) سان. پوءِ، اسان \( X \) کي هن طرح لکي سگهون ٿا:
\[ ايڪس = ايڪس 1 + ايڪس 2 + ڊاٽ + ايڪس اين \]

جيئن ته هر \( X_i \) هڪ بائنري متغير آهي جنهن ۾ ڪاميابي جي امڪان p آهي، تنهن ڪري \( X_i \) جي متوقع قيمت آهي:
\[ اي (ايڪس_آئي) = 1 \سي ڊاٽ پي + 0 \سي ڊاٽ (1-پي) = پي \]

اسين X جي متوقع قدر لاءِ متوقع قدر جي لڪيريت ملڪيت استعمال ڪري سگھون ٿا:
\[ اي (ايڪس) = اي (ايڪس_1 + ايڪس_2 + \ڊوٽس + ايڪس_ن) \]
\[ اي (ايڪس) = اي (ايڪس_1) + اي (ايڪس_2) + \ڊوٽس + اي (ايڪس_ن) \]
\[ اي (ايڪس) = پ + پ + \ڊٽس + پ \]
\[ اي (ايڪس) = اين پي \]

هي ڏيکاري ٿو ته بائنوميل ورڇ جي متوقع قيمت np آهي.

مثالي مثال

ان صورت تي غور ڪريو جتي اسان هڪ صاف سڪو 10 ڀيرا اُڇلائيندا آهيون. اچو ته پڇون ته انهن ڦاٽن جي تعداد جي متوقع قيمت ڇا هوندي جنهن جي نتيجي ۾ هيڊ هوندا.

هن صورت ۾:
– n = 10 (سڪا اُڇلائڻ جو تعداد)
– p = 0.5 (سڪو صحيح هجڻ ڪري، سر ملڻ جو امڪان)

تنهن ڪري، متوقع قدر آهي:
\[ اي (ايڪس) = اين پي = 10 \ ڀيرا 0.5 = 5 \]

ان جو مطلب اهو آهي ته جيڪڏهن اسان ڊگهي عرصي ۾ هڪ سڪو 10 ڀيرا بار بار ڦيرايون ٿا، ته سراسري طور تي اسان کي 5 ڀيرا سر ملندا.

فرق ۽ معياري انحراف

متوقع قدر کان علاوه، بائنوميل ورڇ جي ويرينس ۽ معياري انحراف کي سمجهڻ پڻ ضروري آهي.

ٻہ نالي واري ورڇ لاءِ، ويرينس \( \sigma^2 \) ۽ معياري انحراف \( \sigma \) ھيٺ ڏنل آھن:
\[ \سگما^2 = اين پي(1-پي) \]
\[ \سگما = \اسڪوارٽ{اين پي (1-پي)} \]

ويريئنس ماپ ڪري ٿو ته ڊيٽا متوقع قدر کان ڪيتري پري پکڙيل آهي. معياري انحراف ويريئنس جو چورس روٽ آهي ۽ ڊيٽا جي پکيڙ کي پڻ ماپي ٿو، پر اصل ڊيٽا وانگر ساڳين يونٽن ۾.

نتيجو

بائنوميل ورڇ انگ اکر ۽ امڪان ۾ هڪ بنيادي تصور آهي، جيڪو ڪاروبار کان وٺي سماجي سائنس ۽ حياتيات تائين مختلف حقيقي دنيا جي ايپليڪيشنن ۾ اڪثر سامهون ايندو آهي. بائنوميل ورڇ جي متوقع قدر، np جي طور تي ڳڻپيو ويندو آهي، بائنري آزمائشن جي هڪ سلسلي ۾ ڪاميابين جي سراسري تعداد ۾ اهم بصيرت فراهم ڪري ٿي. متوقع قدر، ويرينس، ۽ معياري انحراف جي تصورن کي سمجهڻ سان، اسان بائنوميل ورڇ جي خاصيتن جي واضح سمجھ حاصل ڪري سگهون ٿا ۽ اهو روزمره جي زندگي ۾ ڪجهه رجحانن کي ڪيئن بيان ڪري ٿو.

هي علم نه رڳو ڊيٽا جي تجزيي ۽ انگ اکر ۾ انتهائي مفيد آهي، پر فيصلي سازي ۾ پڻ جنهن لاءِ امڪان ۽ غير يقيني صورتحال جو جائزو وٺڻ جي ضرورت آهي. متوقع قدر ۽ ٻہ نالي جي تقسيم کي سمجهڻ اسان کي وڌيڪ صحيح اڳڪٿيون ڪرڻ ۽ وڌيڪ باخبر فيصلا ڪرڻ ۾ مدد ڪري سگهي ٿو.