ڪمبينيٽرڪس ۾ پاسڪل جا نمونا

ڪمبينيٽرڪس ۾ پاسڪل جا نمونا

ڪمبينيٽرڪس رياضي جي هڪ شاخ آهي جيڪا شين کي ترتيب ڏيڻ جي طريقن جو مطالعو ڪري ٿي. هن ميدان ۾ سڀ کان وڌيڪ دلچسپ ۽ ڪارآمد اوزارن مان هڪ پاسڪل جو نمونو آهي، جنهن کي پاسڪل جو ٽڪنڊو پڻ چيو ويندو آهي. پاسڪل جو ٽڪنڊو انگن جو هڪ ٽڪنڊو آهي جيڪو ڪجهه قاعدن مطابق ٺاهيو ويو آهي ۽ رياضي جي مختلف شعبن ۾ وسيع استعمال ڪري ٿو، جنهن ۾ امڪاني نظريو، عددي نظريو، ۽ يقيناً، ڪمبينيٽرڪس شامل آهن.

پاسڪل جي ٽڪنڊي جي اصليت

پاسڪل جي ٽڪنڊي جو نالو 17 صدي جي فرانسيسي رياضي دان بليز پاسڪل جي نالي تي رکيو ويو آهي. جيتوڻيڪ، اهو هندستاني ۽ چيني رياضي دانن کي پاسڪل جي وقت کان گهڻو اڳ معلوم هو. هندستان ۾، ان کي "ميرو-پرستارا" سڏيو ويندو هو، ۽ چين ۾ ان کي "يانگ هُئي ٽڪنڊي" جي نالي سان سڃاتو ويندو هو، جيڪو چيني رياضي دان يانگ هُئي جي نالي تي رکيو ويو هو.

پاسڪل جي ٽڪنڊي جي جوڙجڪ

پاسڪل جو ٽڪنڊو چوٽيءَ تي 1 سان شروع ٿئي ٿو. هر ايندڙ قطار ان جي بلڪل مٿان قطار ۾ ٻن انگن کي شامل ڪرڻ سان ٺهيل آهي. پهرين قطار ۾ صرف هڪ عدد آهي، 1. ٻئي قطار ۾ ٻه انگ آهن جيڪي پڻ 1 آهن. ٽئين قطار ۾ هر آخر ۾ 1 آهن ۽ انهن جي وچ ۾ 2 آهي، جيڪو پوئين قطار مان ٻن 1 کي شامل ڪرڻ جو نتيجو آهي.

عام طور تي، پاسڪل جي ٽڪنڊي ۾ نائين قطار کي هن طرح لکي سگهجي ٿو:

1، (n-1)C1، (n-1)C2، …، (n-1)C(n-1)، 1

هتي، "kC(n)" هڪ گڏيل علامت آهي جيڪا "n choose k" يا "n select k" جي طور تي پڙهي ويندي آهي، جيڪا رياضي ۾ هڪ گڏيل فارمولا آهي ۽ اڪثر ڪري امڪاني نظريي ۽ لڪير الجبرا ۾ استعمال ٿيندي آهي.

ڪمبينيٽرڪس ۾ ايپليڪيشنون

1. ميلاپ

ڪومبينيٽرڪس ۾ پاسڪل جي ٽڪنڊي جي مکيه استعمالن مان هڪ آهي مجموعن جو حساب ڪرڻ. هڪ مجموعو هڪ سيٽ مان شيون چونڊڻ جو هڪ طريقو آهي جتي ترتيب کي حساب ۾ نه رکيو ويندو آهي. پاسڪل جي ٽڪنڊي جي حوالي سان، nth قطار ۽ kth ڪالمن ۾ قدر n-1Ck-1 مجموعن جي نمائندگي ڪن ٿا.

مثال طور، 5C2 جي ميلاپ کي ڳڻڻ لاءِ (5 مان 2 چونڊڻ سان)، اسان پاسڪل جي ٽڪنڊي ۾ ڇهين قطار ۽ ٽئين ڪالم کي ڏسي سگهون ٿا، جيڪو قدر 10 ڏئي ٿو. ٻين لفظن ۾، 5 شين جي سيٽ مان 2 شيون چونڊڻ جا 10 طريقا آهن.

2. ترتيب ۽ بائنوميل ڪوفيشينٽس

پاسڪل جو ٽڪنڊو پڻ ٻن نامي ڪوفيشينٽس سان ويجهڙائي سان لاڳاپيل آهي جيڪي (x + y)^n جي ٻن نامي توسيع ۾ ظاهر ٿين ٿا. اهي ڪوفيشينٽس اهي انگ آهن جيڪي اسان پاسڪل جي ٽڪنڊو ۾ ڳوليون ٿا. مثال طور، (x + y)^3 جي توسيع آهي:

(x + y)^3 = 1 x^3 + 3 x^2 y + 3 xy^2 + 1 y^3

هتي، ڪوفيشينٽس 1، 3، 3، ۽ 1 چوٿين قطار ۾ پاسڪل جي ٽڪنڊي جا قدر آهن.

3. امڪاني راند

امڪان جي نظريي ۾، پاسڪل جو ٽڪنڊو اڪثر ڪري مختلف نتيجن جي امڪان کي طئي ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. مثال طور، جڏهن هڪ سڪو چار ڀيرا اُڇليو ويندو آهي، ته اسان ٻه سر حاصل ڪرڻ جي امڪان کي ڄاڻڻ چاهيون ٿا. پاسڪل جي ٽڪنڊو استعمال ڪندي، اسان لاڳاپيل مجموعن جو تعداد ڳولي سگهون ٿا، جيڪو پنجين قطار ۽ ٽئين ڪالم ۾ آهي، جيڪو اسان کي 6 جي قيمت ڏئي ٿو. تنهن ڪري، چار سڪن جي اُڇل ۾ ٻه سر حاصل ڪرڻ جا ڇهه طريقا آهن.

پاسڪل جي ٽڪنڊي جون خاص خاصيتون

پاسڪل جي ٽڪنڊي ۾ پڻ مختلف دلچسپ ۽ حيرت انگيز خاصيتون آهن:

1. توازن

پاسڪل جو ٽڪنڊو انگن جي هم آهنگي ڏيکاري ٿو. پاسڪل جي ٽڪنڊو جي نائين قطار هم آهنگي آهي، تنهنڪري nCr = nC(nr).

2. فبونڪي تعلق

پاسڪل جي ٽڪنڊي کي فبونڪي تسلسل سان لاڳاپيل ڪرڻ لاءِ پڻ استعمال ڪري سگهجي ٿو. پاسڪل جي ٽڪنڊي ۾ ڪيترن ئي لائينن کي هڪ ٻئي سان ملائيندڙ ڊاگونل لائينن تي انگن کي شامل ڪندي فبونڪي انگن کي ڳولي سگهجي ٿو.

3. برابري

پاسڪل جو ٽڪنڊو دلچسپ برابري جا نمونا ڏيکاري ٿو. جيڪڏهن اسان پاسڪل جي ٽڪنڊو ۾ طاق ۽ جفت انگن کي مختلف رنگ ڏيون ٿا، ته دلچسپ بصري نمونا سامهون اچن ٿا، اڪثر ڪري فريڪٽل ٺاهيندا آهن.

پروگرامنگ ۾ پاسڪل نمونن جو نفاذ

پاسڪل جو ٽڪنڊو الگورتھم ۽ پروگرامنگ ۾ پڻ اڪثر استعمال ٿيندو آهي. مثال طور، اسان هيٺ ڏنل ڪوڊ سان پٿون جهڙي پروگرامنگ ٻولي استعمال ڪندي پاسڪل جو ٽڪنڊو ٺاهي سگهون ٿا:

"پٿر"
ڊيف generate_pascals_triangle(n):
ٽڪنڊو = [[1]]
رينج (1، n) ۾ i لاءِ:
قطار = [1]
رينج (1، i) ۾ j لاءِ:
قطار.ضم (ٽڪنڊو[i-1][j-1] + ٽڪنڊو[i-1][j])
قطار.ضميمه(1)
مثلث.ضم (قطار)
واپسي ٽڪنڊو

n = 5
ٽڪنڊو = پاسڪل_ٽڪنڊو_پيدا ڪريو (n)
ٽڪنڊي ۾ قطار لاءِ:
پرنٽ (قطار)
“

مٿي ڏنل ڪوڊ پاسڪل جي ٽڪنڊي جي پهرين کان پنجين قطارن کي آئوٽ پُٽ ڪندو، جيڪو مختلف ڪمبينيٽرڪس ۽ امڪاني تجزيي جي ايپليڪيشنن لاءِ استعمال ٿي سگهي ٿو.

نتيجو

پاسڪل جو ٽڪنڊو، يا پاسڪل جو نمونو، ڪمبينيٽرڪس ۾ هڪ طاقتور ۽ ورسٽائل اوزار آهي. امڪاني راندين ۾ ميلاپ ۽ امڪانن جي حساب کان وٺي بائنوميل توسيع کي سمجهڻ ۽ مختلف رياضياتي تصورن کي ڳنڍڻ تائين، پاسڪل جو نمونو پيچيده مسئلن کي حل ڪرڻ لاءِ هڪ ڪارآمد ۽ وجداني طريقو پيش ڪري ٿو. ان جي سادي بناوت سان پر قابل ذڪر رياضياتي کوٽائي سان، پاسڪل جو نمونو رياضي ۽ ٻين سائنسن جي مختلف شعبن ۾ مطالعي ۽ لاڳو ڪرڻ جاري آهي.