گردشي حرڪت جا سوال ۽ بحث
گردشي حرڪيات فزڪس ۾ هڪ اهم موضوع آهي، جيڪو گردش ڪندڙ شين جي حرڪت سان واسطو رکي ٿو. هي رجحان ڪيترن ئي تصورن کي شامل ڪري ٿو، جهڙوڪ انرشيا جو لمحو، ٽورڪ، نيوٽن جو گردش جو ٻيو قانون، گردشي حرڪي توانائي، ۽ وڌيڪ. هي مضمون انهن تصورن جي اسان جي سمجھ کي واضح ڪرڻ لاءِ گردشي حرڪيات تي ڪيترائي مسئلا ۽ بحث پيش ڪندو.
1. جڙت ۽ ٽورڪ جو لمحو
سوال:
وزن \(2\) ڪلوگرام ۽ ريڊيس \(0.5\) ميٽر جو هڪ پتلي حلقو پنهنجي مرڪزي محور جي چوڌاري گھمندو آهي. حلقي جي جڙت جي لمحي جو حساب ڪريو، ۽ جيڪڏهن ان تي \(6\) Nm جو ٽورڪ لاڳو ڪيو وڃي، ته نتيجي ۾ پيدا ٿيندڙ ڪوئلي تيزي ڇا هوندي؟
بحث:
مرڪزي محور جي چوڌاري هڪ پتلي انگوزي لاءِ انرشيا جو لمحو \(I\) آهي:
\[ مان = ايم آر^2 \]
\(M = 2\) ڪلوگرام ۽ \(R = 0.5\) ميٽر سان، پوءِ:
\[ I = 2 \ ڀيرا (0.5)^2 \]
\[ I = 2 \ ڀيرا 0.25 \]
\[ I = 0.5 \, \ٽيڪسٽ{ڪلوگرام} \, \ٽيڪسٽ{م}^2 \]
ڪوئلي جي تيز رفتاري (\(\alpha\)) کي ٽورڪ (\(\tau\)) ۽ انرشيا جي لمحي (\(I\)) استعمال ڪندي ڳڻپيو وڃي ٿو:
\[ \tau = I \الفا \]
\[ \الففا = \فريڪ{\ٽائو}{آءِ} \]
\(\tau = 6\) Nm ۽ \(I = 0.5\) ڪلوگرام m² سان:
\[ \الفا = \فريڪ{6}{0.5} \]
\[ \الفا = 12 \، \ٽيڪسٽ{ريڊ/ايس}^2 \]
تنهن ڪري، انگوزي جي جڙت جو لمحو \(0.5\) ڪلوگرام m² آهي ۽ نتيجي ۾ ڪوئلي تيزي \(12\) ريڊ/s² آهي.
2. گردشي حرڪي توانائي
سوال:
هڪ مضبوط سلنڈر جنهن جو وزن \(4\) ڪلوگرام ۽ ريڊيس \(0.3\) ميٽر آهي، اهو \(10\) ريڊيس/سيڪنڊ جي ڪوئلي رفتار سان گھمندو آهي. سلنڈر جي گردش جي حرڪي توانائي جو حساب ڪريو.
بحث:
گردش جي حرڪي توانائي (\(K\)) هن طرح تيار ڪئي وئي آهي:
\[ ڪ = \فريڪ{1}{2} آئون \اوميگا^2 \]
جتي \(\omega\) ڪوئلي جي رفتار آهي، ۽ \(I\) انرشيا جو لمحو آهي. هڪ مضبوط سلنڈر لاءِ (\(I = \frac{1}{2}MR^2\)):
\[ آئون = \frac{1}{2} \وقت 4 \وقت (0.3)^2 \]
\[ I = 2 \ ڀيرا 0.09 \]
\[ I = 0.18 \, \ٽيڪسٽ{ڪلوگرام} \, \ٽيڪسٽ{م}^2 \]
گردش جي حرڪي توانائي جي مساوات ۾ \(I\) ۽ \(\omega\) جي قدرن کي تبديل ڪريو:
\[ ڪ = \frac{1}{2} \ٽائيم 0.18 \ٽائيم (10)^2 \]
\[ ڪ = 0.09 \ ڀيرا 100 \]
\[ ڪ = 9 \، \ٽيڪسٽ{جي} \]
تنهن ڪري، مضبوط سلنڈر جي گردش جي حرڪي توانائي \(9\) جولز آهي.
3. نيوٽن جو گردش جو ٻيو قانون
سوال:
هڪ پُلي ڦيٿي جو ريڊيس \(0.4\) ميٽر ۽ انرشيا جو لمحو \(0.8\) ڪلوگرام m² هوندو آهي. ڦيٿي جي ڪنڊ تي \(20\) N جو هڪ زور \(F\) ٽينجينشل طور تي لاڳو ڪيو ويندو آهي. ڦيٿي جي ڪوئلي جي تيز رفتاري جو حساب ڪريو.
بحث:
سڀ کان پهريان، اسين ٽورڪ \(\tau\) جو حساب ڪريون ٿا:
\[ \tau = F \ ڀيرا R \]
\[ \ٽائو = 20 \ ڀيرا 0.4 \]
\[ \tau = 8 \، \ٽيڪسٽ{Nm} \]
پوءِ گردش لاءِ نيوٽن جو ٻيو قانون استعمال ڪريو:
\[ \tau = I \الفا \]
\[ \الففا = \فريڪ{\ٽائو}{آءِ} \]
\(\tau = 8 \, \text{Nm}\) ۽ \(I = 0.8 \, \text{kg m}^2\) سان:
\[ \الفا = \فريڪ{8}{0.8} \]
\[ \الفا = 10 \، \ٽيڪسٽ{ريڊ/ايس}^2 \]
تنهن ڪري، ڦيٿي جي ڪوئلي واري رفتار \(10\) rad/s² آهي.
4. ٽينجنٽ ۽ ترجمي جي وچ ۾ تعلق
سوال:
هڪ بال جنهن جو وزن \(1\) ڪلوگرام ۽ ريڊيس \(0.2\) ميٽر آهي، فرش تي لِڪڻ کان سواءِ ڦري ٿو، جنهن جي ڪوئلي جي رفتار \(5\) ريڊ/سيڪنڊ آهي. بال جي ماس جي مرڪز جي لڪير واري رفتار جو حساب ڪريو.
بحث:
ڦِرڻ کان سواءِ رولنگ موشن ۾ ڪوئلي ويلوسيٽي (\(\اوميگا\)) ۽ لڪير ويلوسيٽي (\(v\)) جي وچ ۾ تعلق هي آهي:
\[ وي = \اوميگا آر \]
\(\omega = 5\) ريڊ/س ۽ \(R = 0.2\) م سان:
\[ وي = 5 \ ڀيرا 0.2 \]
\[ وي = 1 \، \ٽيڪسٽ{م/س} \]
تنهن ڪري، بال جي ماس جي مرڪز جي لڪير واري رفتار \(1\) m/s آهي.
5. ٽرانسليشنل ۽ روٽيشنل ڪائنيٽڪ انرجي جو ميلاپ
سوال:
هڪ مضبوط سلنڈر جنهن جو وزن \(2\) ڪلوگرام ۽ ريڊيس \(0.1\) ميٽر آهي، هڪ مائل جهاز جي اوچائي \(3\) ميٽر هيٺ لهي ٿو. جڏهن سلنڈر مائل جهاز جي تري ۾ پهچي ٿو ته ان جي رفتار جو حساب ڪريو.
بحث:
جڏهن سلنڈر بغير سلپ ڪرڻ جي ڦرندو آهي، ته ثقلي صلاحيت واري توانائي ٽرانسليشنل حرڪتي توانائي ۽ گردش حرڪتي توانائي ۾ تبديل ٿي ويندي آهي. ڪل توانائي \(E\) کي هن طرح ظاهر ڪري سگهجي ٿو:
\[ اي = ايم جي ايڇ = \فريڪ{1}{2} ايم وي^2 + \فريڪ{1}{2} آءِ\اوميگا^2 \]
هڪ مضبوط سلنڈر = \(\frac{1}{2}MR^2\)، ۽ \(\omega = \frac{v}{R}\) لاءِ \(I\) کي غور ڪرڻ سان، مساوات ٿيندي:
\[ ايم جي ايڇ = \فريڪ{1}{2} ايم وي^2 + \فريڪ{1}{2}\کاٻو(\فريڪ{1}{2} ايم آر^2\ساڄو)\کاٻو(\فريڪ{وي^2}{آر^2}\ساڄو) \]
\[ 2 \ ڀيرا 9.8 \ ڀيرا 3 = \frac{1}{2} \ ڀيرا 2 \ ڀيرا v^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \ ڀيرا 2 \ ڀيرا v^2 \ ساڄي) \]
\[ 58.8 = v^2 + \frac{1}{2}v^2 \]
\[ 58.8 = \frac{3}{2}v^2 \]
\[ وي ^ 2 = \فريڪ{58.8 \ ڀيرا 2}{3} \]
\[ وي ^ 2 = 39.2 \]
\[ وي = \اسڪوارٽ{39.2} \]
\[ v \لڳ ڀڳ 6.26 \، \ٽيڪسٽ{م/س} \]
تنهن ڪري، جڏهن سلنڈر مائل جهاز جي تري ۾ پهچندو آهي ته ان جي رفتار تقريباً \(6.26\) m/s آهي.
نتيجو
انهن مسئلن جي ذريعي، اسان گردش جي حرڪت ۾ ڪيترن ئي اهم تصورن جي ڳولا ڪئي آهي، جن ۾ انرشيا جو لمحو، ٽورڪ، گردش جي حرڪتي توانائي، نيوٽن جو گردش جو ٻيو قانون، ۽ گردش ۽ ترجمي جي حرڪت جي وچ ۾ تعلق شامل آهن. انهن تصورن جي سٺي سمجھ اسان کي گردش جي حرڪت سان لاڳاپيل حقيقي دنيا جي مسئلن جو تجزيو ۽ حل ڪرڻ ۾ مدد ڪندي.
