هڪ قسم جي ٽريگونوميٽرڪ تناسب جا مثال سوال ۽ بحث: tan θ
ٽرگونوميٽري رياضي جي هڪ شاخ آهي جيڪا ٽڪنڊي ۾ زاوين ۽ پاسي جي ڊيگهه جي وچ ۾ تعلق جو مطالعو ڪري ٿي. هڪ اڪثر بحث ٿيندڙ ٽرگونوميٽري تناسب ٽينجنٽ (ٽين) آهي. هن مضمون ۾، اسان مختلف قسمن جي مسئلن ۾ ٽين تناسب کي استعمال ڪرڻ تي ڌيان ڏينداسين ۽ ٽين θ سان لاڳاپيل ڪيترن ئي مثالن تي بحث ڪنداسين.
ٽين θ جي تعريف
هڪ زاويه θ جي ٽينجنٽ کي ساڄي ٽڪنڊي ۾ مخالف پاسي جي ڊيگهه ۽ ڀرسان واري پاسي جي ڊيگهه جي تناسب طور بيان ڪيو ويندو آهي. رياضي طور تي، اهو هن طرح لکيو ويندو آهي:
\[ \ٽين θ = \فريڪ{\ٽيڪسٽ{مخالف پاسي}}{\ٽيڪسٽ{ڀرپاسي وارو پاسو}} \]
يونٽ جي دائري ۾، ٽين کي دائري تي هڪ نقطي جي y ڪوآرڊينيٽ (سامهون پاسي) ۽ x ڪوآرڊينيٽ (پاسي واري پاسي) جي وچ ۾ تناسب جي طور تي پڻ تعبير ڪري سگهجي ٿو جيڪو مرڪز کان هڪ يونٽ پري آهي.
رياضي ۽ فزڪس ۾ ٽين فنڪشن
ٽريگونوميٽري، خاص طور تي ٽين فنڪشن، مختلف رياضي ۽ جسماني ايپليڪيشنن ۾ استعمال ٿيندو آهي. مثال طور، ڪلاسيڪل فزڪس ۾، ٽين فنڪشن پروجيڪٽائل حرڪت جي تجزيي ۾ استعمال ٿيندو آهي، ۽ انجنيئرنگ ۾، اهو ڪنهن مٿاڇري جي جھڪاءُ يا گريڊينٽ جي ڳڻپ لاءِ استعمال ٿيندو آهي.
نموني سوال ۽ بحث
هتي ڪجهه مثال سوال ۽ انهن جي بحثن جا مثال آهن ته جيئن ٽين θ جي استعمال کي وڌيڪ گهرائي سان سمجهي سگهجي.
سوال 1: ساڄي ٽڪنڊي جي ٽين θ جو حساب ڪرڻ
ڏنو ويو: هڪ ساڄي ٽڪنڊو جي سامهون واري پاسي جي مخالف زاويه θ جي ڊيگهه 4 سينٽي ميٽر ۽ زاويه θ جي ڀرسان پاسي جي ڊيگهه 3 سينٽي ميٽر آهي. ٽين θ جي قيمت ڳڻيو.
بحث:
ٽين جي تعريف استعمال ڪريو:
\[ \ٽين θ = \فريڪ{\ٽيڪسٽ{اڳيون پاسو}}{\ٽيڪسٽ{پاسي وارو پاسو}} \]
ڄاڻايل قدرن کي متبادل بڻايو:
\[ \ٽين θ = \فريڪ{4}{3} \]
تنهن ڪري، ٽين θ جو قدر \( \frac{4}{3} \) آهي.
سوال 2: ٽين θ استعمال ڪندي هڪ پاسي جي ڊيگهه جو تعين ڪرڻ
ڏنو ويو: هڪ ساڄي ٽڪنڊو جنهن جو زاويه θ آهي، اهو معلوم آهي ته tan θ = 0.75. زاويه θ جي ڀرسان پاسي جي ڊيگهه 8 سينٽي ميٽر آهي. مخالف پاسي مخالف زاويه θ جي ڊيگهه جو حساب ڪريو.
بحث:
مخالف پاسي جي ڊيگهه ڳولڻ لاءِ ٽين جي تعريف استعمال ڪريو:
\[ \ٽين θ = \فريڪ{\ٽيڪسٽ{اڳيون پاسو}}{\ٽيڪسٽ{پاسي وارو پاسو}} \]
\[ 0.75 = \frac{\ٽيڪسٽ{اڳيون پاسو}}{8} \]
مساوات کي حل ڪرڻ لاءِ ٻنهي پاسن کي 8 سان ضرب ڏيو.
\[ \ٽيڪسٽ{اڳيون پاسو} = 0.75 \وقت 8 \]
\[ \ٽيڪسٽ{اڳيون پاسو} = 6 سينٽي ميٽر \]
تنهن ڪري، سامهون واري پاسي جي ڊيگهه 6 سينٽي ميٽر آهي.
سوال 3: جيڪڏهن ٽين θ معلوم هجي ته زاويه θ جو حساب ڪرڻ
ڏنو ويو: هڪ ساڄي ٽڪنڊو معلوم آهي ته tan θ = 1. زاويه جو نالو θ ڏيو.
بحث:
جڏهن مخالف پاسي ۽ ڀرسان پاسي ڊيگهه ۾ برابر هجن ته هڪ زاويه جو ٽين 1 جي برابر هوندو آهي. بنيادي ٽڪنڊياتري ۾، اهو 45° زاويه تي ٿئي ٿو.
تنهن ڪري، θ جو قدر 45° آهي.
سوال 4: الجبرا جي مسئلن ۾ ٽين θ استعمال ڪرڻ
ڏنو ويو: هڪ رسي هڪ ٿنڀ جي چوٽيءَ کان 15 ميٽر اوچي زمين تي هڪ نقطي تائين ٻڌل آهي جيڪا ٿنڀ جي بنياد کان 20 ميٽر پري آهي. ٽين θ جو حساب ڪريو، جتي θ رسي ۽ ٿنڀ مان ٺهيل زاويه آهي.
بحث:
ٽين جي تعريف استعمال ڪريو:
\[ \tan θ = \frac{\text{اڳيون پاسو (قطب جي اوچائي)}}{\text{پاسي وارو پاسو (افقي فاصلو)}} \]
\[ \ٽين θ = \فريڪ{15}{20} \]
حصو کي آسان بڻايو:
\[ \ٽين θ = \فريڪ{3}{4} \]
تنهن ڪري، ٽين θ جو قدر \( \frac{3}{4} \) آهي.
سوال 5: فاصلي ۽ جھڪاءُ جي زاويه کان اوچائي جو تعين ڪرڻ
ڏنو ويو: هڪ مشاهدو ڪندڙ هڪ ڊگهي عمارت کان 100 ميٽر جي مفاصلي تي بيٺو آهي. مشاهدي ڪندڙ جي پوزيشن کان عمارت جي چوٽي تائين مشاهدي جو ٽين θ \(\ٽين 30^\سرڪ\) آهي. عمارت جي اوچائي جو اندازو لڳايو.
بحث:
اهو معلوم آهي ته \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{اڳيون پاسو (عمارت جي اوچائي)}}{\text{پاسي وارو پاسو (فاصلو)} } \]
سڃاتل قدرن کي مساوات ۾ لڳايو
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{عمارت جي اوچائي}}{100} \]
اوچائي کي الڳ ڪرڻ لاءِ ٻنهي پاسن کي 100 سان ضرب ڏيو.
\[ \ٽيڪسٽ{عمارت جي اوچائي} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \ٽيڪسٽ{عمارت جي اوچائي} = \frac{100 \وقت \sqrt{3}}{3} \]
\[ \ٽيڪسٽ{عمارت جي اوچائي} ≈ 57.73 \ٽيڪسٽ{ ميٽر} \]
تنهن ڪري، عمارت جي اوچائي تقريبن 57.73 ميٽر آهي.
سوال 6: اوچائي ۽ فاصلي مان زاويه جو تعين ڪرڻ
ڏنو ويو: توهان کي خبر آهي ته هڪ ٽاور جي اوچائي 50 ميٽر آهي ۽ مشاهدي واري نقطي کان ٽاور جي تري تائين افقي فاصلو 70 ميٽر آهي. ٽاور جي چوٽي تائين اوچائي جو زاويه طئي ڪريو.
بحث:
\[ \tan θ = \frac{\text{ٽاور جي اوچائي}}{\text{افقي مفاصلو}} \]
\[ \ٽين θ = \فريڪ{50}{70} \]
\[ \ٽين θ = \فريڪ{5}{7} \]
θ ڳولڻ لاءِ، اسين انورس ٽينجنٽ فنڪشن (tan⁻¹) يا آرڪٽان استعمال ڪندا آهيون.
\" θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
ڪيلڪيوليٽر يا ٽريگونوميٽري ٽيبل استعمال ڪندي، اسان θ جي قيمت ڳولي سگهون ٿا.
\[ θ ≈ 35.54° \]
تنهن ڪري، ٽاور جي چوٽيءَ تائين بلندي جو زاويه تقريباً 35.54° آهي.
نتيجو
ٽريگونوميٽري سائنس جي ڪيترن ئي شعبن ۾ هڪ طاقتور اوزار آهي. مثال طور، ٽينجنٽ هڪ سادو پر طاقتور تناسب آهي جيڪو زاوين ۽ پاسي جي ڊيگهه سان لاڳاپيل مسئلن کي حل ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. ان جي تعريف کي سمجهڻ ۽ ان کي ڪيئن استعمال ڪجي، اسان جاميٽري ۽ فزڪس جي مسئلن جي هڪ وسيع رينج کي حل ڪري سگهون ٿا. مٿي ڏنل مثال وانگر مسئلن جي مشق ڪندي، اسان روزمره جي حسابن ۾ ٽين θ استعمال ڪرڻ ۾ وڌيڪ ماهر ٿي سگهون ٿا.
