مثال سوال ۽ انٽيگرل ايپليڪيشنن جي بحث
انضمام حساب ڪتاب ۾ هڪ بنيادي تصور آهي جنهن جا سائنس جي مختلف شعبن ۾ ڪيترائي استعمال آهن، جهڙوڪ فزڪس، معاشيات، حياتيات، ۽ انجنيئرنگ. انٽيگرلز کي وکر هيٺان ايراضي، هڪ مضبوط جي مقدار، ڪم، دٻاءُ، ۽ وڌيڪ حساب ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. هن آرٽيڪل ۾، اسان انٽيگرل ايپليڪيشنن جي ڪيترن ئي مثالن تي بحث ڪنداسين، جنهن کان پوءِ انهن کي ڪيئن حل ڪجي ان جي تفصيلي وضاحت ڏني ويندي.
1. وکر هيٺان علائقي جو تعين ڪرڻ
انٽيگرلز جي سڀ کان عام استعمالن مان هڪ آهي هڪ ڏنل وقفي تي ڪنهن فنڪشن جي وکر هيٺان علائقي کي ڳڻڻ. فرض ڪريو ته اسان وکر \(y = x^2\) ۽ \(x\) محور \(x = 0\) کان \(x = 2\) تائين حد بندي ٿيل علائقي جي ايراضي ڳولڻ چاهيون ٿا.
مسئلن جو مثال:
وکر \(y = x^2\) جي هيٺان ايراضي \(x = 0\) کان \(x = 2\) تائين طئي ڪريو.
بحث:
وکر \(y = x^2\) جي هيٺان علائقي کي \(x = 0\) کان \(x = 2\) تائين ڳولڻ لاءِ، اسان کي فنڪشن جي قطعي انٽيگرل کي ڳڻڻ جي ضرورت آهي:
\[ \int_{0}^{2} x^2 \، dx \]
قدم 1: \(x^2\) جو انٽيگرل طئي ڪريو.
نوٽ ڪريو ته \(x^2\) جو انٽيگرل آهي:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
قدم 2: انٽيگرل حد \(0\) کي \(2\) تي لاڳو ڪريو.
\[ \int_{0}^{2} x^2 \، dx = \کاٻو[ \frac{x^3}{3} \ساڄو]_{0}^{2} \]
قدم 3: حد جي قيمت جو حساب ڪريو.
\[ \کاٻو. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
تنهن ڪري، وکر \(y = x^2\) هيٺان علائقو \(x = 0\) کان \(x = 2\) تائين \( \frac{8}{3} \) ايراضي يونٽ آهي.
2. گھمندڙ شين جي مقدار جو حساب ڪرڻ
انقلاب جي ٺوس شين جي مقدار کي ڳڻڻ لاءِ انٽيگرلز پڻ استعمال ڪيا ويندا آهن. جيڪڏهن ڪنهن علائقي کي \(x\) محور جي چوڌاري گھمايو وڃي ٿو، ته پوءِ ڊسڪ طريقو يا رنگ طريقو استعمال ڪندي شئي جو حجم ڳولي سگهجي ٿو.
مسئلن جو مثال:
جڏهن وکر \(y = \sqrt{x}\) ۽ لڪير \(x = 4\) سان جڙيل علائقي کي \(x\) محور جي چوڌاري گھمايو ويندو آهي ته پيدا ٿيندڙ شيءِ جي مقدار جو حساب ڪريو.
بحث:
انقلاب جي هڪ ٺوس جي مقدار کي ڳولڻ لاءِ، اسان ڊسڪ طريقو استعمال ڪري سگهون ٿا. نتيجي ۾ ٺوس جي مقدار \(V\) کي هن طرح ظاهر ڪري سگهجي ٿو:
\[ وي = \پائي \انٽ_{اي}^{بي} [ايف(ايڪس)]^2 \، ڊي ايڪس \]
جتي \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\), ۽ \(b = 4\).
قدم 1: حجم انٽيگرل ٺاهيو.
\[ وي = \پائي \انٽ_{0}^{4} (\اسڪوارٽ{x})^2 \، ڊي ايڪس \]
قدم 2: انٽيگرل ۾ فنڪشن کي آسان بڻايو.
\[ وي = \پائي \انٽ_{0}^{4} x \، ڊي ايڪس \]
قدم 3: \(x\) جو انٽيگرل طئي ڪريو.
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
قدم 4: حدون \(0\) کان \(4\) تائين لاڳو ڪريو.
\[ وي = \پائي \کاٻو[ \فريڪ{x^2}{2} \ساڄو]_{0}^{4} \]
قدم 5: حد جي قيمت جو حساب ڪريو.
\[ \کاٻو. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
تنهن ڪري، نتيجي ۾ ايندڙ شيءِ جو حجم \(8\pi\) حجم جي يونٽ آهي.
3. هڪ متغير قوت پاران ڪيل ڪم جو حساب ڪرڻ
فزڪس ۾ انٽيگرل ايپليڪيشنون پڻ ملن ٿيون، جن مان هڪ هڪ متغير قوت پاران ڪيل ڪم جو حساب لڳائڻ آهي جڏهن ڪا شيءِ هڪ نقطي کان ٻئي نقطي ڏانهن منتقل ٿئي ٿي.
مسئلن جو مثال:
هڪ قوت \(F(x) = 3x^2\) نيوٽن هڪ ذرڙي تي عمل ڪري ٿو جيڪو \(x = 1\) ميٽر کان \(x = 3\) ميٽر تائين منتقل ٿئي ٿو. قوت سان ڪيل ڪم جو حساب ڪريو.
بحث:
قوت \(F(x)\) پاران ڪيل ڪم \(W\) کي \(a\) کان \(b\) تائين بي گھرڻ تي \(F(x)\) جي انٽيگرل جي حساب سان ڳولي سگهجي ٿو:
\[ ڊبليو = \انٽ_{اي}^{بي} ايف(ايڪس) \، ڊي ايڪس \]
جتي \(a = 1\)، \(b = 3\)، ۽ \(F(x) = 3x^2\).
قدم 1: ڪم جو انٽيگرل ٺاهيو.
\[ ڊبليو = \انٽ_{1}^{3} 3x^2 \، ڊي ايڪس \]
قدم 2: \(3x^2\) جو انٽيگرل طئي ڪريو.
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]
قدم 3: حدون \(1\) کان \(3\) تائين لاڳو ڪريو.
\[ ڊبليو = \کاٻو[ x^3 \ساڄو]_{1}^{3} \]
قدم 4: حد جي قيمت جو حساب ڪريو.
\[ ڊبليو = \کاٻو. x^3 \ساڄو|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
تنهن ڪري، قوت سان ڪيل ڪم \(26\) جولز آهي.
4. هائيڊرو اسٽيٽڪ پريشر جو تعين ڪرڻ
فزڪس ۾، انٽيگرلز کي مائع ۾ ٻڏي ويل مٿاڇري تي هائيڊرو اسٽيٽڪ پريشر جي حساب لاءِ پڻ استعمال ڪيو ويندو آهي.
مسئلن جو مثال:
هڪ عمودي پليٽ 6 ميٽر اوچي ۽ 4 ميٽر ويڪري پاڻيءَ ۾ ٻڏي وئي آهي ۽ ان جو مٿو پاڻيءَ جي مٿاڇري کان مٿي آهي. پليٽ تي پاڻيءَ جي دٻاءُ جي ڪل قوت جو حساب ڪريو.
بحث:
پاڻيءَ ۾ کوٽائي \(h\) تي دٻاءُ \(P = \rho gh\) ذريعي ڏنو ويندو آهي، جتي \(\rho\) پاڻيءَ جي کثافت آهي (تقريبن \(1000 \text{ kg/m}^3\)) ۽ \(g\) ڪشش ثقل جي ڪري تيزي آهي (تقريبن \(9.8 \text{ m/s}^2\)).
ڪل دٻاءُ واري قوت لاءِ، اسان کي پليٽ جي عمودي علائقي تي دٻاءُ کي ضم ڪرڻ گهرجي.
قدم 1: دٻاءُ جي ڪم جو تعين ڪريو.
\[ پي (وائي) = \رو گي \]
قدم 2: ڪُل قوت \(F\) ابتدائي علائقي \(dA\) جي \(y = 0\) کان \(y = 6\) تائين دٻاءُ جي وقت جو انٽيگرل آهي.
\[ ايف = \انٽ_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, ڊي \]
قدم 3: مستقل کي آسان بڻايو.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \، dy \]
قدم 4: \(y\) جو انٽيگرل طئي ڪريو.
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
قدم 5: حدون \(0\) کان \(6\) تائين لاڳو ڪريو.
\[ ايف = 4 \سي ڊاٽ 1000 \سي ڊاٽ 9.8 \کاٻي[ \فريڪ{ي^2}{2} \ساڄي]_{0}^{6} \]
قدم 6: حد جي قيمت جو حساب ڪريو.
\[ ايف = 4 \سي ڊاٽ 1000 \سي ڊاٽ 9.8 \سي ڊاٽ \فريڪ{6^2}{2} = 4 \سي ڊاٽ 1000 \سي ڊاٽ 9.8 \سي ڊاٽ 18 = 705600 \]
تنهن ڪري، پليٽ تي پاڻي جي دٻاءُ جو ڪُل زور \(705600\) نيوٽن آهي.
نتيجو
مختلف ايپليڪيشنن ۾ انٽيگرلز جو استعمال پيچيده جسماني مقدارن جي حساب لاءِ زبردست تجزياتي طاقت فراهم ڪري ٿو. هن آرٽيڪل ۾، اسان بحث ڪيو آهي ته ڪيئن انٽيگرلز کي هڪ وکر هيٺان علائقي، انقلاب جي هڪ مضبوط جي مقدار، هڪ متغير قوت پاران ڪيل ڪم، ۽ هائيڊرو اسٽيٽڪ دٻاءُ جي حساب لاءِ لاڳو ڪيو ويندو آهي. انٽيگريشن ٽيڪنڪ جي سٺي سمجھ سان، اسان سائنس ۽ انجنيئرنگ ۾ پيدا ٿيندڙ مختلف عملي مسئلن کي حل ڪري سگهون ٿا.
