گھٽ ۾ گھٽ اسڪوائر طريقو بحث جي سوالن جي مثال
گھٽ ۾ گھٽ اسڪوائر طريقو (LEM) هڪ شمارياتي طريقو آهي جيڪو بهترين فٽ جي لڪير کي ڳولڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي جيڪو ڊيٽا جي سڀ کان وڌيڪ اثرائتي انداز ۾ اڳڪٿي ڪري ٿو. هي طريقو اڪثر ڪري لڪير ريگريشن تجزيي ۾ آزاد ۽ منحصر متغيرن جي وچ ۾ تعلق کي ڳولڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. هي مضمون گھٽ ۾ گھٽ اسڪوائر طريقي جي بنيادي تصورن کي ڍڪيندو، مسئلن جي مثالن ۽ قدم بہ قدم وضاحتن سان گڏ هن طريقي جي ڪم ڪرڻ جي گهري سمجھ لاءِ.
گھٽ ۾ گھٽ چورس طريقي جا بنيادي تصور
گھٽ ۾ گھٽ چورس جي طريقي جو مقصد مشاهدو ڪيل قدرن ۽ ريگريشن ماڊل پاران پيش ڪيل قدرن جي وچ ۾ فرق جي چورس جي مجموعن کي گھٽ ڪرڻ آهي. هڪ سادي لڪير ريگريشن لائن جي مساوات کي هن طرح لکي سگهجي ٿو:
\[ ي = الف + بڪس \]
ڪٿي:
- \( y \) منحصر متغير آهي،
- \( x \) آزاد متغير آهي،
– \( a \) انٽرسيپٽ آهي (\( y \) جو قدر جڏهن \( x = 0 \))،
– \( b \) لڪير جو ڍلون آهي (ڍلون، يا رجعت جو ڳوڙهو).
گھٽ ۾ گھٽ چورس طريقو پيرا ميٽرز \( a \) ۽ \( b \) جو اندازو لڳائي ٿو جيڪي ھيٺ ڏنل فنڪشن کي گھٽ ۾ گھٽ ڪن ٿا:
\[ \ٽيڪسٽ{ايس ايس اي} = \سم_{آءِ = 1}^{ن} (y_i – \ٽوپي{آءِ_i})^2 \]
جتي SSE اسڪوائر غلطين جو مجموعو آهي، \( y_i \) اصل قدر آهي، ۽ \( \hat{y_i} = a + bx_i \) اڳڪٿي ڪيل قدر آهي.
گھٽ ۾ گھٽ چورس طريقا جا مرحلا
تصور کي واضح ڪرڻ لاءِ، اسين هڪ مثالي مسئلو حل ڪنداسين جنهن ۾ گهٽ ۾ گهٽ چورس طريقو استعمال ڪيو ويندو آهي.
مسئلن جو مثال
هيٺ ڏنل ڊيٽا کي ڏنو ويو آهي:
| x (مطالعي جا ڪلاڪ) | y (امتحان جو نمبر) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
لڪير واري ريگريشن لائن جو تعين ڪريو جيڪا ڊيٽا سان بهترين طور تي ٺهڪي اچي.
بحث مباحثو
1. \( \bar{x} \) ۽ \( \bar{y} \) جي سراسري جو حساب ڪرڻ
\[
\بار{x} = \فريڪ{\سم x_i}{n} = \فريڪ{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\بار{y} = \فريڪ{\جوڙ y_i}{n} = \فريڪ{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. پيرا ميٽر \( b \) (سلوپ) جي حساب سان
پيرا ميٽر \( b \) جي حساب سان ڪيو ويندو آهي:
\[
ب = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}
\]
هر جزو جي حساب سان:
\[
\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
تان ته:
\[
ب = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. پيرا ميٽر \( a \) (انٽرسيپٽ) جي حساب سان
\( \bar{x} \) ۽ \( \bar{y} \ جي سراسري استعمال ڪندي):
\[
a = \bar{y} – b\bar{x} = 93 – 2.4 \بار 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. ريگريشن لائين مساوات لکڻ
مليل پيرا ميٽرز سان، اسان ريگريشن لائن جي مساوات لکي سگهون ٿا:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
تشريح ۽ تصديق
انهي ڳالهه کي يقيني بڻائڻ لاءِ ته هي ريگريشن لائن فٽ ٿئي ٿي، اسان شروعاتي ڊيٽا ۾ هر x لاءِ اڳڪٿي ڪيل y-value (\(\hat{y}\)) جو حساب لڳائي سگهون ٿا، انهي سان گڏ اڳڪٿي جي درستگي جي تصديق ڪرڻ لاءِ اسڪوائرڊ ايررز جي رقم (SSE) جو حساب به لڳائي سگهون ٿا.
| x | يو | \(\hat{y}\) | \(y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
ايس ايس ايس:
\[
ايس ايس اي = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
هڪ نسبتاً ننڍڙي SSE سان، اسان اهو نتيجو ڪڍي سگهون ٿا ته گهٽ ۾ گهٽ اسڪوائر جي طريقي سان پيدا ٿيندڙ ريگريشن لائن هن ڊيٽا لاءِ هڪ سٺي فٽ آهي.
نتيجو
گھٽ ۾ گھٽ اسڪوائر طريقو ڊيٽا سيٽ لاءِ بهترين فٽ لائن کي طئي ڪرڻ لاءِ هڪ طاقتور شمارياتي تجزيي جو اوزار آهي، انحراف جي چورس جي بنياد تي اڳڪٿي جي غلطي کي گھٽائڻ. اوسط، سلوپ ۽ انٽرسيپٽ جي حساب جي مرحلن کي استعمال ڪندي، ۽ ريگريشن لائن مساوات کي لکڻ ۽ تصديق ڪندي، اسان آزاد متغيرن مان منحصر متغير جي قدر جي صحيح اڳڪٿي ڪري سگهون ٿا.
هن طريقي جي سٺي سمجھ معاشيات، بايو اسٽيٽسٽڪس، انجنيئرنگ، ۽ سماجي سائنس جهڙن شعبن ۾ انتهائي مفيد آهي جتي رجعت جو تجزيو اڪثر لاڳو ڪيو ويندو آهي. هي مضمون، ٺوس مثالن سان، ڊيٽا جي تجزيي ۾ هن طريقي جي اهميت ۽ افاديت کي واضح ڪري ٿو.
