پراڊڪٽ لمحي جي لاڳاپن جا مثال سوال ۽ بحث
پيداوار-لمحه جي لاڳاپي، جنهن کي پيئرسن لاڳاپي جي نالي سان پڻ سڃاتو وڃي ٿو، هڪ شمارياتي طريقو آهي جيڪو ٻن متغيرن جي وچ ۾ لڪير واري تعلق جي طاقت ۽ هدايت کي ماپڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. هي طريقو مختلف شعبن ۾ مفيد آهي، تعليمي تحقيق ۽ ڪاروباري تجزيي کان وٺي قدرتي سائنس ۾ تجربن جي تشخيص تائين. هي مضمون پيداوار-لمحه جي لاڳاپي جي حساب لاءِ ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن ۽ انهن جي حل تي بحث ڪندو.
پنڊال
مثال جي سوالن ۾ وڃڻ کان اڳ، پراڊڪٽ مومينٽ ڪوريئليشن جي بنيادي تصور کي سمجهڻ هڪ سٺو خيال آهي. پيئرسن ڪوريئليشن ڪوفيشيٽ (\(r\)) کي ڳڻڻ لاءِ استعمال ٿيندڙ عام فارمولا آهي:
\[ ر = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
ڪٿي:
– \( n \) ڊيٽا جوڙن جو تعداد آهي.
– \( \sum{XY} \) \( X \) ۽ \( Y \) جي پيداوار جو مجموعو آهي.
– \( \sum{X} \) متغيرن جو مجموعو آهي \( X \).
– \( \sum{Y} \) متغيرن جو مجموعو آهي \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) متغير \( X \) جي چورس جو مجموعو آهي.
– \( \sum{Y^2} \) متغير \( Y \) جي چورس جو مجموعو آهي.
پيئرسن جو باهمي تعلق (\( r \)) هميشه -1 ۽ 1 جي وچ ۾ هوندو آهي. هڪ مثبت لاڳاپو ظاهر ڪري ٿو ته ٻئي متغير هڪ ئي طرف هلن ٿا، جڏهن ته هڪ منفي لاڳاپو ظاهر ڪري ٿو ته جيئن هڪ متغير وڌندو آهي، ٻيو گهٽجي ويندو آهي. جيڪڏهن \( r = 0 \)، ته پوءِ ٻن متغيرن جي وچ ۾ ڪو به لڪير وارو لاڳاپو ناهي.
مثال سوال 1
ڊيٽا
هيٺ ڏنل 5 شاگردن لاءِ رياضي ۽ فزڪس جي امتحان جي اسڪور ڊيٽا آهي:
| شاگرد | رياضي (X) | فزڪس (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
حل جا مرحلا
1. اهم حصن جو حساب ڪرڻ:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. فارمولا ۾ داخل ڪريو:
\[ ر = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ ر = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. نتيجا ڳڻڻ:
– عدد: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
- فرق ڪندڙ:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \ٽائيمز 1276} \تقريبن \sqrt{976856} \تقريبن 989.36 \)
\[ ر = \frac{626}{989.36} \لڳ ڀڳ 0.633 \]
اهڙيءَ طرح، رياضي ۽ فزڪس جي ٽيسٽ اسڪور جي وچ ۾ پيئرسن جي رابطي جي کوٽائي 0.633 آهي، جيڪو ظاهر ڪري ٿو ته ٻن متغيرن جي وچ ۾ هڪ وچولي مثبت رابطي آهي.
مثال سوال 2
ڊيٽا
هيٺ ڏنل ڊيٽا هڪ ڪمپني ۾ 6 مهينن کان سيلز ويليو ۽ اشتهارن جي خرچن تي آهي:
| مهينو | اشتهار (X) | سيلز (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
حل جا مرحلا
1. اهم حصن جو حساب ڪرڻ:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. فارمولا ۾ داخل ڪريو:
\[ ر = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ ر = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. نتيجا ڳڻڻ:
– عدد: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
- فرق ڪندڙ:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \ٽائيمز 4580000} \تقريبن \sqrt{9343200000000} \تقريبن 3056246.20 \)
\[ ر = \frac{3000000}{3056246.20} \لڳ ڀڳ 0.981 \]
اهڙيءَ طرح، اشتهارن جي خرچ ۽ سيلز ويليو جي وچ ۾ پيئرسن جي رابطي جي کوٽائي 0.981 آهي، جيڪو ظاهر ڪري ٿو ته ٻنهي متغيرن جي وچ ۾ هڪ تمام مضبوط مثبت تعلق آهي.
نتيجو
پيئرسن ڪنريليشن ڪوفيشيٽ (\(r\)) ٻن متغيرن جي وچ ۾ لڪير واري تعلق کي سمجهڻ لاءِ هڪ تمام ڪارآمد اوزار آهي. ڏنل مثالن ۾، اسان ڏسون ٿا ته \(r\) قدر کي ڪيئن ڳڻيو وڃي ۽ ان جي تشريح ڪيئن ڪجي. هڪ وڌيڪ ڪنيڪشن (1 يا -1 جي ويجهو) هڪ مضبوط تعلق کي ظاهر ڪري ٿو، جڏهن ته گهٽ ڪنيڪشن (0 جي ويجهو) هڪ ڪمزور تعلق کي ظاهر ڪري ٿو. اهو نوٽ ڪرڻ ضروري آهي ته ڪنيڪشن سبب نه ٿو ڏئي؛ اهو صرف اهو ظاهر ڪري ٿو ته ٻن متغيرن جي وچ ۾ هڪ تعلق آهي.
