انجيڪٽو، سرجيڪٽو، ۽ بائجيڪٽو افعال تي بحث ڪندڙ مثال سوال

مثال سوال ۽ انجيڪشن، سرجيڪٽو، ۽ بائجيڪٽو افعال جا بحث

رياضي ۾ فنڪشن جي تعريف ۽ ان جي افاديت اڪثر بحث جو هڪ دلچسپ موضوع هوندو آهي. هن حوالي سان، اسان کي اڪثر اصطلاحن جهڙوڪ انجيڪٽو، سرجيڪٽو، ۽ بائجيڪٽو فنڪشن ملن ٿا. انهن ٽنهي قسمن جي فنڪشن کي سمجهڻ رياضياتي تجزيي ۽ ڪمپيوٽر سائنس، معاشيات ۽ فزڪس جهڙن مختلف شعبن ۾ انهن جي عملي استعمال لاءِ اهم آهي.

انجيڪٽو، سرجيڪٽو، ۽ بائجيڪٽو افعال کي سمجھڻ

مثالي سوالن ۽ انهن جي بحث تي بحث ڪرڻ کان اڳ، اچو ته پهريان ٽنهي ڪمن جي وصفن کي ياد ڪريون.

1. انجيڪٽو فنڪشن (هڪ کان هڪ فنڪشن): هڪ فنڪشن f : A → B کي انجيڪٽو سڏيو ويندو آهي جيڪڏهن ڊومين A ۾ هر a1 ۽ a2 لاءِ، جيڪڏهن f(a1) = f(a2)، ته پوءِ a1 a2 جي برابر هجڻ گهرجي. ٻين لفظن ۾، هڪ انجيڪٽو فنڪشن يقيني بڻائي ٿو ته ڊومين A ۾ مختلف عنصر ڪوڊومين B ۾ مختلف عنصرن سان ميپ ٿيل آهن.

2. سرجيڪٽو فنڪشن (فنڪشن ڏانهن): هڪ فنڪشن f : A → B کي سرجيڪٽو سڏيو ويندو آهي جيڪڏهن ڪوڊومين B ۾ هر عنصر ۾ ڊومين A ۾ گهٽ ۾ گهٽ هڪ عنصر هجي جيڪو ان سان ميپ ٿيل هجي. هن صورت ۾، ڪوڊومين B ۾ ڪو به "خالي" عنصر يا ڊومين A مان ڪو به هم منصب نه آهي.

3. ٻہ طرفو فعل (هڪ کان هڪ خط و ڪتابت): هڪ فعل f : A → B کي ٻہ طرفو فعل چئبو آهي جيڪڏهن اهو انجيڪٽو ۽ سرجيڪٽو ٻئي هجي. ان جو مطلب آهي ته ڊومين A ۾ هر عنصر جو ڪوڊومين B ۾ هڪ منفرد هم منصب آهي، ۽ ڪوڊومين B ۾ هر عنصر جو ڊومين A ۾ هڪ منفرد هم منصب پڻ آهي.

نموني سوال ۽ بحث

سوال 1: انجيڪٽو فنڪشن

سوال:
هڪ فنڪشن ڏنو ويو آهي f : ℝ → ℝ جيڪو f(x) = 2x + 3 طور بيان ڪيو ويو آهي. ثابت ڪريو ته هي فنڪشن هڪ انجيڪٽو فنڪشن آهي.

بحث:
اهو ثابت ڪرڻ لاءِ ته هي فنڪشن انجيڪٽو آهي، اسان کي اهو ڏيکارڻو پوندو ته جيڪڏهن f(a) = f(b) ته پوءِ a = b.

فرض ڪريو f(a) = f(b)، اسين چئون ٿا ته:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]

ٻنهي پاسن کان 3 گھٽايو:
\[ 2a = 2b \]

ٻنهي پاسن کان 2 سان ورهايو:
\[ الف = ب \]

جيئن ته اسان ڏيکاريو آهي ته f(a) = f(b) a = b جو سبب بڻجندو آهي، تنهن ڪري فنڪشن f(x) = 2x + 3 هڪ انجيڪٽو فنڪشن آهي.

سوال 2: سرجيڪٽو فنڪشن

سوال:
هڪ فنڪشن ڏنو ويو آهي g : ℝ → ℝ جيڪو g(x) = x^3 طور بيان ڪيو ويو آهي. ثابت ڪريو ته هي فنڪشن هڪ سرجيڪٽو فنڪشن آهي.

بحث:
اهو ثابت ڪرڻ لاءِ ته هي فنڪشن فرضي آهي، اسان کي اهو ڏيکارڻو پوندو ته ڪوڊومين ℝ ۾ هر عنصر y لاءِ، ڊومين ℝ ۾ گهٽ ۾ گهٽ هڪ عنصر x آهي جيئن g(x) = y.

اچو ته y ∈ ℝ. اسان x کي اهڙي طرح ڳولڻ چاهيون ٿا ته:
\[ x^3 = y \]

وٺو \( x = \sqrt[3]{y} \):
\[ جي (\ اسڪوائر [3] {ي}) = (\ اسڪوائر [3] {ي}) ^ 3 = ي \]

جيئن ته ڪوڊومين ℝ ۾ هر y لاءِ اسان x ڳولي سگهون ٿا جيڪو \( x = \sqrt[3]{y} \ آهي، تنهن ڪري فنڪشن g(x) = x^3 هڪ سرجيڪٽو فنڪشن آهي.

سوال 3: ٻہ طرفي ڪم

سوال:
هڪ فنڪشن ڏنو ويو آهي h : ℝ → ℝ جيڪو h(x) = x – 1 طور بيان ڪيو ويو آهي. ثابت ڪريو ته هي فنڪشن ٻہ طرفي آهي.

بحث:

انجيڪٽو:
اهو ثابت ڪرڻ لاءِ ته h(x) انجيڪٽو آهي، اسان کي اهو ڏيکارڻو پوندو ته جيڪڏهن h(a) = h(b) ته پوءِ a = b.

فرض ڪريو h(a) = h(b):
\[ الف – 1 = ب – 1 \]

ٻنهي پاسن تي 1 شامل ڪريو:
\[ الف = ب \]

جيئن ته h(a) = h(b) سبب a = b ٿئي ٿو، تنهن ڪري فنڪشن h(x) = x – 1 هڪ انجيڪٽو فنڪشن آهي.

سرجيڪٽ:
اهو ثابت ڪرڻ لاءِ ته h(x) مفروضو آهي، اسان کي اهو ڏيکارڻو پوندو ته ڪوڊومين ℝ ۾ هر عنصر y لاءِ، ڊومين ℝ ۾ گهٽ ۾ گهٽ هڪ عنصر x آهي جيئن h(x) = y.

اچو ته y ∈ ℝ. اسان x کي اهڙي طرح ڳولڻ چاهيون ٿا ته:
\[ x – 1 = y \]

ٻنهي پاسن تي 1 شامل ڪريو:
\[ x = y + 1 \]

جيئن ته ڪوڊومين ℝ ۾ هر y لاءِ اسان هڪ x ڳولي سگهون ٿا جيئن x = y + 1، پوءِ فنڪشن h(x) = x – 1 هڪ سرجيڪٽو فنڪشن آهي.

جيئن ته h(x) انجيڪٽو ۽ سرجيڪٽو آهي، تنهن ڪري h(x) هڪ ٻہ فعل آهي.

سوال 4: ڪم جي قسم جو تعين ڪرڻ

سوال:
هڪ فنڪشن ڏنو ويو آهي f : ℕ → ℕ f(x) = 2x طور بيان ڪيو ويو آهي. اهو طئي ڪريو ته f هڪ انجيڪٽو، سرجيڪٽو، يا بائجيڪٽو فنڪشن آهي.

بحث:

انجيڪٽو:
اهو ثابت ڪرڻ لاءِ ته هي فنڪشن انجيڪٽو آهي، اسان کي اهو ڏيکارڻو پوندو ته جيڪڏهن f(a) = f(b) ته پوءِ a = b.

فرض ڪريو f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]

ٻنهي پاسن کان 2 سان ورهايو:
\[ الف = ب \]

تنهن ڪري، f(x) = 2x هڪ انجيڪٽو فنڪشن آهي.

سرجيڪٽ:
اهو ثابت ڪرڻ لاءِ ته هي فنڪشن فرضي آهي، اسان کي اهو ڏيکارڻو پوندو ته ڪوڊومين ℕ ۾ هر عنصر y لاءِ، ڊومين ℕ ۾ گهٽ ۾ گهٽ هڪ عنصر x آهي جيئن f(x) = y.

پر ياد رکو ته ڪوڊومين ℕ (قدرتي انگ) آهي، جڏهن ته f(x) = 2x صرف جفت انگ پيدا ڪري ٿو. فرض ڪريو y هڪ طاق انگ آهي، ℕ ۾ ڪو به x ناهي ته 2x = y.

تنهن ڪري، f(x) = 2x هڪ مفروضاتي فعل نه آهي.

جيئن ته f(x) مفعول نه آهي، تنهن ڪري f(x) پڻ ٻہ طرفو نه آهي.

مٿي ڏنل مختلف مثالن جي بنياد تي، اسان ڏسي سگهون ٿا ته مختلف فنڪشن جي تعريفن مان افعال جي قسمن (انجيڪٽو، سرجيڪٽو، بائجيڪٽو) کي ڪيئن ثابت ڪجي ۽ سڃاڻجي. انهن افعال کي سمجهڻ رياضي جي ڪيترن ئي پهلوئن ۽ ان جي حقيقي زندگي جي ايپليڪيشنن ۾ اهم آهي.