امڪان جي تقسيم جا مثال سوال ۽ بحث
امڪان جي تقسيم انگ اکر ۽ امڪان ۾ بنيادي تصورن مان هڪ آهي. اهو بي ترتيب عدد جي مختلف قدرن جي امڪان کي سمجهڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. امڪان جي تقسيم ڪيتريون ئي شڪلون وٺي سگهن ٿيون جيڪي تجزيو ڪيل ڊيٽا جي نوعيت جي لحاظ کان آهن. امڪاني تقسيم جا ٻه سڀ کان عام قسم ڊسڪريٽ ۽ مسلسل آهن. هن مضمون ۾، اسان ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن جو جائزو وٺنداسين ۽ امڪان جي تقسيم تي بحث ڪنداسين ته جيئن اسان کي هن موضوع کي بهتر سمجهڻ ۾ مدد ملي سگهي.
ڌار ڌار ورڇ
هڪ ڊسڪريٽ ڊسٽريبيوشن هڪ ڊسٽريبيوشن آهي جيڪا هڪ ڊسڪريٽ بي ترتيب متغير جي امڪان کي ڳڻيندي آهي، يعني، هڪ متغير جيڪو صرف ڪجهه قدرن تي وٺي سگهي ٿو. ڊسڪريٽ ڊسٽريبيوشن جون مشهور مثالون بائنوميل ڊسٽريبيوشن ۽ پوئسن ڊسٽريبيوشن آهن.
مثال 1: ٻہ نالي واري ورڇ
ٻہ نالي واري تقسيم برنولي آزمائشن جي هڪ سلسلي ۾ ڪاميابين جي تعداد کي بيان ڪري ٿي. هر برنولي آزمائش جا ٻه نتيجا آهن: ڪاميابي يا ناڪامي. ڪاميابي جو امڪان پوري آزمائش دوران مستقل رهي ٿو.
سوال:
هڪ دوا ساز ڪمپني 10 مريضن تي هڪ نئين دوا جي آزمائش ڪري رهي آهي. ڪنهن به هڪ مريض ۾ دوا جي ڪم ڪرڻ جو امڪان 0.7 آهي. امڪان جو اندازو لڳايو ته دوا 10 مان 7 مريضن ۾ ڪم ڪري ٿي.
بحث:
بي ترتيب متغير \(X\) هڪ بائنوميل ورڇ جي پٺيان \(n = 10\) ۽ \(p = 0.7\) سان گڏ اچي ٿو. بائنوميل امڪاني فنڪشن آهي:
\[ پي(ايڪس = ڪ) = \بائنوم{ن}{ڪ} پ^ڪ (1 – پ)^{ن – ڪ} \]
لاءِ \(k = 7\):
\[ پي(ايڪس = 7) = \بائنوم{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
ٻہ عددي کوٽائي \(\binom{10}{7}\) جي حساب سان:
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
امڪاني قدرن جو حساب ڪرڻ:
\[ پي(ايڪس = 7) = 120 \ ڀيرا (0.7)^7 \ ڀيرا (0.3)^3 \]
\[ پي (ايڪس = 7) \لڳ ڀڳ 120 \ ڀيرا 0.0823543 \ ڀيرا 0.027 \]
\[ پي (ايڪس = 7) \لڳ ڀڳ 0.231 \]
تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته دوا 10 مان 7 مريضن ۾ ڪم ڪري ٿي، تقريبن 0.231 يا 23.1٪ آهي.
مثال 2: پوائسن ورڇ
پوئسن ورڇ کي هڪ ڏنل وقت يا جڳهه جي وقفي اندر ڪنهن ناياب واقعي جي واقعن جي تعداد کي ماڊل ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي.
سوال:
هڪ دڪان کي سراسري طور تي في ڪلاڪ 4 گراهڪ ملن ٿا. ڇا امڪان آهي ته دڪان کي هڪ ڪلاڪ ۾ بلڪل 5 گراهڪ ملندا؟
بحث:
بي ترتيب متغير \(X\) پيرا ميٽر \(\lambda = 4\) سان پوئسن ورڇ جي پيروي ڪري ٿو. پوئسن امڪاني ماس فنڪشن آهي:
\[ پي(ايڪس = ڪ) = \فريڪ{\ليمبڊا^ڪي^{-\ليمبڊا}}{ڪ!} \]
لاءِ \(k = 5\):
\[ پي(ايڪس = 5) = \فريڪ{4^5 اي^{-4}}{5!} \]
ڳڻپ:
\[ پي(ايڪس = 5) = \فريڪ{1024 \سي ڊاٽ اي^{-4}}{120} \]
\[ پي(ايڪس = 5) \تقريبن \فريڪ{1024 \سي ڊاٽ 0.0183}{120} \]
\[ پي (ايڪس = 5) \لڳ ڀڳ 0.156 \]
تنهن ڪري، اهو امڪان ته اسٽور هڪ ڪلاڪ ۾ بلڪل 5 گراهڪ حاصل ڪري ٿو، تقريباً 0.156، يا 15.6٪ آهي.
مسلسل ورڇ
مسلسل تقسيم استعمال ڪيا ويندا آهن جڏهن ماپيل بي ترتيب متغير هڪ خاص حد اندر ڪا به قيمت وٺي سگهي ٿو. مسلسل تقسيم جون مشهور مثالون عام تقسيم ۽ ايڪسپونيشل تقسيم آهن.
مثال 3: عام ورڇ
عام ورڇ، جنهن کي اڪثر گاسي ورڇ سڏيو ويندو آهي، هڪ ورڇ آهي جيڪا عام طور تي مختلف شعبن ۾ استعمال ٿيندي آهي، جن ۾ سائنس، انجنيئرنگ، ۽ معاشيات شامل آهن.
سوال:
ڪنهن شهر ۾ بالغ مردن جي اوچائي عام طور تي 170 سينٽي ميٽر جي سراسري ۽ 10 سينٽي ميٽر جي معياري انحراف سان ورهايل هوندي آهي. ڇا امڪان آهي ته بي ترتيب چونڊيل مرد 160 سينٽي ميٽر ۽ 180 سينٽي ميٽر جي وچ ۾ ڊگهو هجي؟
بحث:
اسان کي 160 سينٽي ميٽر ۽ 180 سينٽي ميٽر لاءِ ز-اسڪور جو حساب ڪرڻو پوندو. ز-اسڪور جي وضاحت هن طرح ڪئي وئي آهي:
\"Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
لاءِ \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 - 170}{10} = -1 \]
لاءِ \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 - 170}{10} = 1 \]
هاڻي اسان کي z ٽيبل ۾ -1 کان 1 تائين امڪاني قدرن کي ڏسڻ جي ضرورت آهي. z = -1 کان z = 1 تائين قدر تقريبن 0.6826 آهي.
تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته بي ترتيب طور تي چونڊيل ماڻهو 160 سينٽي ميٽر ۽ 180 سينٽي ميٽر ڊگهو آهي، تقريبن 0.6826 يا 68.26٪ آهي.
مثال 4: ايڪسپونيشل ورڇ
پوئسن عمل ۾ واقعن جي وچ ۾ وقت کي ماڊل ڪرڻ لاءِ ايڪسپونيشل ڊسٽريبيوشن استعمال ڪيو ويندو آهي.
سوال:
هڪ دڪان تي ٻن گراهڪن جي آمد جي وچ ۾ سراسري وقت 15 منٽ آهي. ڇا امڪان آهي ته ٻن گراهڪن جي آمد جي وچ ۾ وقت 10 منٽن کان گهٽ هجي؟
بحث:
ايڪسپونيشل ڊسٽريبيوشن ۾ هڪ پيرا ميٽر \(\lambda\) آهي جيڪو اوسط (\(\mu\) جو الٽو آهي. 15 منٽن جي اوسط سان:
\[ \ليمبڊا = \فريڪ{1}{\ميو} = \فريڪ{1}{15} = 0.0667 \]
ايڪسپونشنل مجموعي ورڇ جو ڪم آهي:
\[ پي(ايڪس \ليڪ x) = 1 – اي^{-\ليمبڊا x} \]
\(x = 10\) لاءِ:
\[ پي(ايڪس \ليڪ 10) = 1 – اي^{-0.0667 \ٽيمز 10} \]
\[ پي(ايڪس \ليڪ 10) = 1 – اي^{-0.667} \]
\[ پي (ايڪس \ليڪ 10) \لڳ ڀڳ 1 - 0.5134 \]
\[ پي (ايڪس \ليڪ 10) \لڳ ڀڳ 0.4866 \]
تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته ٻن گراهڪن جي آمد جي وچ ۾ وقت 10 منٽن کان گهٽ آهي، تقريبن 0.4866 يا 48.66٪ آهي.
نتيجو
امڪان جي تقسيم، ٻئي ڊسڪريٽ ۽ مسلسل، بي ترتيب متغيرن جي رويي کي ماڊلنگ ۽ سمجهڻ لاءِ تمام ڪارآمد تصور آهن. بائنوميل ۽ پوئسن تقسيم اڪثر ڊسڪريٽ متغيرن لاءِ استعمال ڪيا ويندا آهن، جڏهن ته عام ۽ ايڪسپونشنل تقسيم مسلسل تقسيم جون مثال آهن.
مٿي ڏنل مثالن جي ذريعي، اسان کي اميد آهي ته توهان امڪاني تقسيم ۾ امڪانن جي حساب ۽ تشريح جي بهتر سمجھ حاصل ڪئي هوندي. مسلسل مشق سان، امڪاني تقسيم کي سمجهڻ جي توهان جي صلاحيت بهتر ٿيندي ۽ مختلف شعبن ۾ لاڳو ڪري سگهجي ٿي.
