مثال سوال ۽ بائنوميل ورڇ جي بحث
بائنوميل ورڇ سڀ کان وڌيڪ استعمال ٿيندڙ ڊسڪريٽ امڪاني ورڇن مان هڪ آهي. اهو ڪيترن ئي هڪجهڙن، آزاد آزمائشن ۾ ڪاميابين جي تعداد کي ماڊل ڪرڻ لاءِ ڪارآمد آهي، جن مان هر هڪ ڪاميابي يا ناڪامي پيدا ڪري ٿي. هن آرٽيڪل ۾، اسان ڪيترن ئي مثالن ۽ تفصيلي بحث ذريعي بائنوميل ورڇ ۾ وڌيڪ تفصيل سان غور ڪنداسين.
بائنوميل ورڇ جو تعارف
ٻِنوميئل ورڇ جون مکيه خاصيتون:
1. ن: آزمائشن يا ورجائن جو تعداد.
2. ص: هر آزمائش ۾ ڪاميابي جو امڪان.
3. q = 1-p: هر آزمائش ۾ ناڪامي جو امڪان.
بائنوميل ورڇ جو امڪاني ماس فنڪشن آهي:
\[ پي(ايڪس = ڪ) = {ن \ڪي چونڊيو} پ^ڪ (1-پ)^{نڪ} \]
انسان ۾:
– \( {n \k چونڊيو} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): هڪ بي ترتيب متغير جيڪو ڪاميابين جي تعداد جي نمائندگي ڪري ٿو.
– \( k \): گهربل ڪاميابين جو تعداد.
نموني سوال ۽ بحث
اچو ته بائنوميل ورڇ جي تصور کي وڌيڪ تفصيل سان سمجهڻ لاءِ ڪجهه مثالن جي مسئلن سان شروع ڪريون.
مثال 1: شاگردن جي هڪ گروپ مان چونڊ ڪرڻ
مثال طور، فرض ڪريو ته اسان وٽ 10 شاگردن جو هڪ گروپ آهي، ۽ هر شاگرد جي مقابلي ۾ حصو وٺڻ لاءِ چونڊيل هجڻ جو امڪان 0,3 آهي. اسان اهو امڪان ڄاڻڻ چاهيون ٿا ته بلڪل 4 شاگرد چونڊيا ويا آهن.
قدم 1: بائنوميل ورڇ جي پيرا ميٽرز جي سڃاڻپ ڪريو.
– \( ن = 10 \)
– \( ص = 0.3 \)
قدم 2: \( X = 4 \) جي امڪان کي ڳڻڻ لاءِ ٻہ نالي واري تقسيم استعمال ڪريو.
\[ پي(ايڪس = 4) = {10 \چونڊ 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
حساب ڪندي \( {10 \چونڊو 4} \):
\[ {10 \چونڊ 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
هاڻي حساب ڪريو \( (0.3)^4 \) ۽ \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
تنهن ڪري،
\[ پي (ايڪس = 4) = 210 \سي ڊاٽ 0.0081 \سي ڊاٽ 0.117649 \تقريبن 0.20012 \]
تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته بلڪل 4 شاگرد چونڊيا ويا آهن تقريبن 0.20012 يا 20.012٪.
مثال 2: امڪان 2 کان گهٽ يا برابر
هاڻي، مثال طور، اسان کان ان امڪان بابت پڇيو ويو آهي ته 2 کان گهٽ يا ان جي برابر شاگرد چونڊيا ويندا.
قدم 1: اسان کي حساب ڪرڻو پوندو \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), ۽ \( P(X = 2) \).
– لاءِ \( پي(ايڪس = 0) \):
\[ پي(ايڪس = 0) = {10 \چونڊ 0} (0.3)^0 (0.7)^10} \]
\[ {10 \چونڊ 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ پي (ايڪس = 0) = 1 \سي ڊاٽ 1 \سي ڊاٽ 0.0282475 = 0.0282475 \]
– لاءِ \( پي(ايڪس = 1) \):
\[ پي(ايڪس = 1) = {10 \چونڊ 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \چونڊ 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ پي (ايڪس = 1) = 10 \سي ڊاٽ 0.3 \سي ڊاٽ 0.1210608 = 0.3631824 \]
– لاءِ \( پي(ايڪس = 2) \):
\[ پي(ايڪس = 2) = {10 \چونڊ 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \چونڊ 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ پي (ايڪس = 2) = 45 \سي ڊاٽ 0.09 \سي ڊاٽ 0.2334744 = 0.2334744 \]
قدم 2: امڪانن کي شامل ڪريو.
\[ پي(ايڪس \ليڪ 2) = پي(ايڪس = 0) + پي(ايڪس = 1) + پي(ايڪس = 2) \]
\[ پي(ايڪس \ليڪ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته 2 کان گهٽ يا برابر شاگرد چونڊيا ويندا تقريبن 0.7740671 يا 77.41٪ آهي.
مثال 3: گهٽ ۾ گهٽ 8 جو امڪان
جيڪڏهن ڪو تجربو 12 ڀيرا ڪيو وڃي، ۽ هر آزمائش ۾ ڪاميابي جو امڪان 0.5 آهي، ته پوءِ گهٽ ۾ گهٽ 8 ڪاميابين جو امڪان ڪيترو آهي؟
قدم 1: ٻہ نالي پيرا ميٽر مقرر ڪريو: \( n = 12, p = 0.5 \).
قدم 2: \( X \geq 8 \) لاءِ امڪان ڳوليو.
ان لاءِ ڪيترن ئي انفرادي امڪانن کي ڳڻڻ ۽ انهن کي شامل ڪرڻ جي ضرورت آهي:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
هڪ هڪ ڪري ڳڻيو:
– لاءِ \( پي(ايڪس = 8) \):
\[ پي(ايڪس = 8) = {12 \چونڊ 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \چونڊ 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ پي(ايڪس = 8) = 495 \سي ڊاٽ 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– لاءِ \( پي(ايڪس = 9) \):
\[ پي(ايڪس = 9) = {12 \چونڊ 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \چونڊ 9} = 220 \]
\[ پي(ايڪس = 9) = 220 \سي ڊاٽ 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– لاءِ \( پي(ايڪس = 10) \):
\[ پي(ايڪس = 10) = {12 \چونڊ 10} (0.5)^10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \چونڊ 10} = 66 \]
\[ پي(ايڪس = 10) = 66 \سي ڊاٽ 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– لاءِ \( پي(ايڪس = 11) \):
\[ پي(ايڪس = 11) = {12 \چونڊ 11} (0.5)^11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \چونڊ 11} = 12 \]
\[ پي(ايڪس = 11) = 12 \سي ڊاٽ 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– لاءِ \( پي(ايڪس = 12) \):
\[ پي(ايڪس = 12) = {12 \12 چونڊيو} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \چونڊ 12} = 1 \]
\[ پي(ايڪس = 12) = 1 \سي ڊاٽ 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
قدم 3: سڀ امڪان شامل ڪريو.
\[ پي(ايڪس \گيڪ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \لڳ ڀڳ 0.1938477 \]
تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته 12 آزمائشن ۾ گهٽ ۾ گهٽ 8 ڪاميابيون ٿين ٿيون تقريبن 0.1938477 يا 19.38٪.
نتيجو
انگن اکرن ۾ بائنوميل ورڇ هڪ بنيادي تصور آهي جيڪو ڪيترن ئي عملي استعمالن ۾ اهم آهي. بائنوميل ورڇ جي مختلف ڪيسن لاءِ امڪانن جو حساب ڪيئن ڪجي، جيئن مٿي ڏنل مثالن ۾ ڏيکاريل آهي، اهو سمجهڻ سان، اسان هن تصور کي حقيقي دنيا جي حالتن ۾ لاڳو ڪري سگهون ٿا. هي مشق اسان جي سمجھ کي پڻ مضبوط ڪري ٿي ته امڪاني جوڙجڪ ڪيئن هڪ واضح ۽ منظم تناظر ۾ ڪم ڪن ٿيون.
