Вращательное движение – проблемы и решения

Вращательное движение – проблемы и решения

Крутящий момент

1. Балка длиной 140 см. На балку действуют три силы, F.₁ = 20 Н, Ф₂ = 10 Н и Ф₃ = 40 Н, направление и положение показаны на рисунке ниже. Чему это равно? крутящий момент Причина вращения балки вокруг центра масс балки?

Известно:

Центр масс расположен в центре балки.

Длина балки (l) = 140 см = 1.4 метра

Сила 1 (F)₁) = 20 Н, плечо рычага 1 (l₁) = 70 см = 0.7 метра

Сила 2 (F)₂) = 10 Н, плечо рычага 2 (l₂) = 100 см – 70 см = 30 см = 0.3 метра

Сила 3 (F)₃) = 40 Н, плечо рычага 3 (l₃) = 70 см = 0.7 метра

В розыске: Величина крутящего момента

решение:

Крутящий момент 1 вращает балку по часовой стрелке, поэтому крутящему моменту 1 присвоен отрицательный знак.

τ₁ = Ф₁ l₁ = (20 Н)(0.7 м) = -14 Н·м

Крутящий момент 2 поворачивает балку против часовой стрелки, поэтому крутящему моменту 2 присваивается положительный знак.

τ₂ = Ф₂ l₂ = (10 Н)(0.3 м) = 3 Н·м

Крутящий момент 3 вращает балку по часовой стрелке, поэтому крутящему моменту 3 присвоен положительный знак.

τ₃ = Ф₃ l3 = (40 Н)(0.7 м) = -28 Н·м

Суммарный крутящий момент:

Στ = -14 Нм + 3 Нм – 28 Нм = – 42 Нм + 3 Нм = -39 Нм

Величина крутящего момента составляет 39 Н·м. Направление вращения балки — по часовой стрелке, поэтому ему присвоен отрицательный знак.

2. Какой результирующий момент действует на балку? Ось вращения в точке D. (sin 53)^o = 0.8)

Известно:

Ось вращения в точке D

F₁ = 10 Н и л₁ = г₁ sin θ = (40 см)(sin 53^o) = (0.4 м)(0.8) = 0.32 метра

F₂ = 10√2 Н и л₂ = г₂ sin θ = (20 см)(sin 45^o) = (0.2 м)(0.5√2) = 0.1√2 метра

F₃ = 20 Н и л₃ = г₁ sin θ = (10 см)(sin 90^o) = (0.1 м)(1) = 0.1 метра

В розыске: Чистый крутящий момент

решение:

τ₁ = Ф₁ l₁ = (10 Н)(0.32 м) = 3.2 Нм

(Крутящий момент 1 вращает балку против часовой стрелки, поэтому мы присваиваем крутящему моменту 1 положительный знак)

τ₂ = Ф₂ l₂ = (10√2 Н)( 0.1√2 м) = -2 Нм

(Крутящий момент 2 вращает балку по часовой стрелке, поэтому мы присваиваем крутящему моменту 2 отрицательный знак)

τ₃ = Ф₂ l₂ = (20 Н)(0.1 м) = 2 Нм

(Крутящий момент 3 вращает балку против часовой стрелки, поэтому мы присваиваем крутящему моменту 3 положительный знак)

Суммарный крутящий момент:

Στ = τ₁ – т₁ + τ₃

Στ = 3.2 Нм – 2 Нм + 2 Нм

Στ = 3.2 Нм

3. Каков результирующий момент, если ось вращения в точке D (sin 53)?^o = 0.8)

Известно:

Ось вращения в точке D.

Расстояние между F₁ и ось вращения (r)_AD) = 40 см = 0.4 м

Расстояние между F₂ и ось вращения (r)_BD) = 20 см = 0.2 м

Расстояние между F₃ и ось вращения (r)_CD) = 10 см = 0.1 м

F₁ = 10 Ньютон

F₂ = 10√2 Ньютона

F₃ = 20 Ньютон

Грех 53^o = 0.8

В розыске: Чистый крутящий момент

решение:

Момент силы 1

е₁ = (Ф₁)(р_AD грех 53^o) = (10 Н)(0.4 м)(0.8) = 3.2 Нм

(Крутящий момент 1 вращает балку против часовой стрелки, поэтому мы присваиваем крутящему моменту 1 положительный знак)

Момент силы 2

е₂ = (Ф₂)(р_BD грех 45^o) = (10√2 Н)(0.2 м)(0.5√2) = -2 Нм

(Крутящий момент 2 вращает балку по часовой стрелке, поэтому мы присваиваем крутящему моменту 2 отрицательный знак)

Момент силы 3

е₃ = (Ф₃)(р_CD грех 90^o) = (20 Н)(0.1 м)(1) = 2 Нм

(Крутящий момент 2 вращает балку против часовой стрелки, поэтому мы присваиваем крутящему моменту 3 положительный знак)

Суммарный крутящий момент:

Στ = Στ₁ + Στ₂ + Στ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 ньютон-метра

Момент инерции

4. Длина провода = 12 м, л₁ = 4 м. Массой проволоки пренебречь. Чему равно... момент инерции системы.

Известно:

Масса из А (м)_A) = 0.2 кг

Масса B (м)_B) = 0.6 кг

Расстояние между точкой А и осью вращения (r)_A) = 4 метра

Расстояние между точкой B и осью вращения (r)_B) = 12 – 4 = 8 метров

В розыске: Момент инерции системы

решение:

Момент инерции А

I_A = (м_A)(р_A²) = (0.2)(4)² = (0.2)(16) = 3.2 кг·м²

Момент инерции B

I_B = (м_B)(р_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 кг·м²

Момент инерции системы:

Я = я_A + Я_B = 3.2 + 38.4 = 41.6 кг·м²

Вращательная динамика

5. К шнуру, обмотанному вокруг шкива массой M = 5 кг и радиусом R = 20 см, приложена сила 6 Н. Каково угловое ускорение шкива? Шкив представляет собой однородный сплошной цилиндр.

Известно:

Сила (F) = 6 Ньютона

Масса (М) = 5 кг

Радиус (R) = 20 см = 20/100 м = 0.2 м

В розыске: Угловое ускорение (Α)

решение:

Момент силы:

τ = FR = (6 Ньютон)(0.2 метра) = 1.2 Н·м

Момент инерции сплошного цилиндра:

I = 1/2 MR²

I = 1/2 (5 кг)(0.2 м)²

I = 1/2 (5 кг)(0.04 м)²)

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 кг·м².

Угловое ускорение:

т = я а

α = τ/I = 1.2/0.1 = 12 рад с^-2

6. Блок массой 4 кг подвешен на шнуре, обмотанном вокруг шкива массой 8 кг и радиусом R = 10 см. Ускорение свободного падения равно 10 м/с².^-2 Каково линейное ускорение блока? Шкив представляет собой однородный сплошной цилиндр.

Известно:

Масса шкива (m) = 8 кг

Радиус шкива (r) = 10 см = 0.1 м

Масса блока (m) = 4 кг

Ускорение свободного падения (g) = 10 м/с²²

Вес (w) = мг = (4 кг)(10 м/с)²) = 40 кг м/с² = 40 Ньютон

В розыске: Ускорение свободного падения блока

решение:

Момент инерции сплошного цилиндра:

I = 1/2 MR² = 1/2 (8 кг)(0.1 м)² = (4 кг)(0.01 м)²) = 0.04 кг м²

Момент силы:

τ = F r = (40 Н)(0.1 м) = 4 Нм

Угловое ускорение:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Линейное ускорение:

a = r α = (0.1)(100) = 10 м/с²

7. Блок массой m подвешен на шнуре, обмотанном вокруг шкива. Если... свободное падение Ускорение блока составляет ам/с².²Каков момент инерции шкива?

Известно:

вес = w = мг

Рычаг = R

Угловое ускорение = α

Ускорение свободного падения блока = a мс^-2

Разыскивается: Момент инерции шкива (I)

решение:

Связь между линейным ускорением и угловым ускорением:

а = R α

α = а / R

Момент инерции:

т = я а

I = τ : α = τ : a/R = τ (R/a) = τ R а^-1

Угловой момент

8. Частица массой 0.2 грамма движется по кругу с постоянной скоростью 10 м/с. Радиус круга равен 3 см. Каков угловой момент частицы?

Известно:

Масса частиц (m) = 0.2 грамма = 2 x 10¹⁰^-4 kg

Угловая скорость (ω) = 10 рад/с^-1

Радиус (r) = 3 см = 3 x 10^-2 метры

В розыске: Угловой момент частицы

решение:

Уравнение углового момента:

L = я ш

I = угловой момент, I = момент инерции, ω = угловая скорость

Момент инерции (для частиц):

Я = мистер² = (2 х 10^-4 )(3 x 10^-2)² = (2 х 10^-4 )(9 x 10^-4) = 18 х 10^-8

Угловой момент:

L = I ω = (18 x 10^-8)(10 рад с^-1) = 18 х 10^-7 кг м² s^-1

1. Что такое вращательное движение?
   • ОтветВращательное движение — это движение объекта вокруг фиксированной оси. Это такой вид движения, при котором каждая точка объекта движется по кругу вокруг оси.
2. Как линейная скорость связана с угловой скоростью при вращательном движении?
   • ОтветЛинейная скорость ($v$) точки во вращающемся объекте прямо пропорциональна расстоянию до нее ($r$) от оси вращения и угловой скорости ($\omega$) объекта. Соотношение задается формулой $v=r\cdot \omega$.
3. Что такое момент инерции и как он связан с вращательным движением?
   • ОтветМомент инерции — это вращательный аналог массы в линейном движении. Он измеряет сопротивление объекта изменениям его вращательного состояния. Момент инерции зависит как от массы объекта, так и от её распределения относительно оси вращения.
4. Как первый закон движения Ньютона применим к вращательному движению?
   • ОтветПодобно тому, как объект, движущийся по прямой линии, остается в движении, если на него не действует внешняя сила, объект, движущийся по вращательной линии, останется в этом состоянии, если на него не действует внешний крутящий момент.
5. В чём заключается значение радиуса инерции?
   • ОтветРадиус инерции измеряет распределение массы объекта относительно его оси вращения. По сути, он описывает, на каком расстоянии от оси необходимо сосредоточить всю массу объекта, чтобы момент инерции остался таким же, как и при первоначальном распределении.
6. Что такое угловой момент и как он сохраняется?
   • ОтветУгловой момент — это вращательный эквивалент линейного момента. Он представляет собой произведение момента инерции объекта и его угловой скорости. В замкнутой системе полный угловой момент остается постоянным, если на него не действует внешний крутящий момент, что подчеркивает закон сохранения углового момента.
7. Каким образом крутящий момент влияет на вращательное движение?
   • ОтветКрутящий момент — это вращательный эквивалент силы. Он вызывает изменения во вращательном движении объекта. Соотношение задается вторым законом Ньютона для вращения: $\tau =I\cdot \alpha$, Где $\tau$ это крутящий момент, $I$ момент инерции, а $\alpha$ это угловое ускорение.
8. Чем отличается центр масс от центра вращения?
   • ОтветХотя они могут совпадать, центр масс — это точка, где можно считать сосредоточенной всю массу объекта для целей вычислений при линейном движении, тогда как центр вращения — это точка (или ось), вокруг которой вращается объект.
9. Какова роль центростремительной силы во вращательном движении?
   • ОтветЦентростремительная сила — это результирующая сила, действующая на объект, движущийся по круговой траектории, и направленная к центру вращения. Она отвечает за удержание объекта на его криволинейной траектории и предотвращает его движение по прямой линии из-за инерции.

10. Как связана вращательная кинетическая энергия с моментом инерции и угловой скоростью?

    • ОтветВращательная кинетическая энергия — это энергия, обусловленная вращением объекта вокруг оси. Она определяется формулой: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Где $I$ это момент инерции и $\omega$ - угловая скорость.