Статья об уравнении Пуазейля
Уравнение Пуазейля было открыто Жаном Луи Мари Пуазейлем (1799-1869). Как уже объяснялось, любую жидкость можно считать идеальной. Идеальная жидкость не обладает вязкостью. Если предположить, что идеальная жидкость течет по трубе, то каждая ее часть движется с одинаковой скоростью (v). В отличие от идеальной жидкости, реальная жидкость, с которой мы сталкиваемся в повседневной жизни, обладает вязкостью. Поскольку она имеет вязкость, то при течении, например, по трубе, скорость движения каждой ее части меняется. Слой жидкости посередине движется быстрее (глубокая v), а слой жидкости, прилегающий к трубе, наоборот, не движется (v = 0). Таким образом, от середины до края трубы каждая часть жидкости движется с разной скоростью. Для лучшего понимания посмотрите на рисунок ниже.
R = радиус трубы/трубки
v 1 = скорость потока жидкости в середине / по оси трубки
v² = скорость потока жидкости, находящаяся на расстоянии r² от края трубки.
v 3 = скорость потока жидкости r 3 от края трубки
v 4 = скорость потока жидкости r 4 от края трубки
г = расстояние
Для того чтобы скорость потока жидкости в каждой части трубы была одинаковой, необходимо наличие разницы давлений на обоих концах трубы или любого трубопровода, через который проходит жидкость. Под жидкостью здесь подразумевается реальная жидкость, например, вода или масло, текущее по трубе, кровь, текущая в кровеносном сосуде и т. д. Помимо обеспечения плавного течения реальной жидкости, разница давлений также может способствовать течению жидкости в трубах разной высоты.
Жан-Луи Мари Пуазейль, бывший французский учёный, интересовавшийся физическими аспектами кровообращения человека, исследовал, как такие факторы, как разница давлений, площадь поперечного сечения трубки и её размер, влияют на реальную скорость потока жидкости. Результаты, полученные Жан-Луи Мари Пуазейлем, известны как уравнение Пуазейля.
Уравнение Пуазейля можно вывести, используя уравнение коэффициента вязкости, рассчитанное ранее. Мы используем уравнение вязкости, поскольку случаи схожи, хотя и не идентичны. При выводе уравнения коэффициента вязкости мы рассматриваем течение реального слоя жидкости между двумя параллельными пластинами, и жидкость может двигаться за счет силы притяжения (F). Разница заключается в том, что уравнение Пуазейля, которое мы будем выводить, описывает факторы, влияющие на течение реальной жидкости в трубе/трубке и на течение жидкости за счет разницы давлений. Следовательно, уравнение коэффициента вязкости необходимо снова скорректировать.
Жидкость может течь из-за разницы давлений (жидкость течет из места с высоким давлением в место с низким давлением), тогда мы заменяем F на p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
При выводе уравнения коэффициента вязкости мы рассматриваем течение реального слоя жидкости между двумя параллельными пластинами. Каждая часть жидкости изменяет свою скорость на расстояние l. В этом случае скорость потока жидкости изменяется равномерно от оси трубки к ее краю. Жидкость вдоль оси трубки течет с большей скоростью (v). Чем больше край, тем меньше скорость жидкости. Радиус трубки = расстояние между осью трубки и ее краем = R. Расстояние между каждой частью жидкости и краем трубки = r. Поскольку количество каждой части жидкости велико, а расстояние от края трубки также различно, мы просто записываем это так:
v 1 = скорость жидкости на расстоянии r 1 от края трубки (r 1 = R)
v² = скорость жидкости, находящейся на расстоянии r² от края трубки ( r² < r₁ ).
v³ = скорость жидкости на расстоянии r³ от края трубки ( r³ < r² < r¹ )
v₄ = скорость жидкости, находящейся на расстоянии r₄ от края трубки ( r₄ < r₃ < r₂ < r₁ ).
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
v n = скорость потока жидкости на расстоянии rn от края трубки (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
Объем каждой части жидкости огромен, и мы также точно не знаем, каков этот объем на самом деле, поэтому достаточно обозначить его символом n. Каждая часть жидкости регулярно меняет скорость (v) от оси трубки (r 1 = R) до края трубки (rn). От оси трубки (r 1 = R) до края трубки (rn) скорость каждой части жидкости уменьшается (v 1 > v 2 > v 3 > v 4 > ….> v n ).
Из приведенного выше объяснения следует, что от R до rn скорость потока жидкости уменьшается. Длина трубы = L. Полученное уравнение:
Поскольку мы рассматриваем скорость потока жидкости , уравнение 2 принимает следующий вид:
Это уравнение скорости потока жидкости на расстоянии r от трубы радиусом R. Если вам непонятно, глядя на рисунок выше… Обратите внимание, что жидкость течет в трубе, поэтому нам нужно вспомнить понятие расхода жидкости по объему.
Внутри трубки находится жидкость. Например, мы делим жидкость на мельчайшие части, каждая из которых имеет единичную площадь dA, расположена на расстоянии от оси трубки и имеет скорость потока v. Математически это можно записать следующим образом:
dA² = часть жидкости², которая представляет собой расстояние dr² от оси трубки.
dA² = часть жидкости², которая представляет собой расстояние dr² от оси трубки.
dA 3 = часть жидкости 3, которая представляет собой расстояние dr 3 от оси трубки.
..................................
dAn = часть жидкости n, которая представляет собой расстояние dn от оси трубки.
Состав жидкости очень разнообразен, поэтому он обозначается символом n, что более практично. Объемный расход каждой части жидкости можно математически записать следующим образом:
Каждая часть жидкости находится на расстоянии от r = 0 до r = R (R = радиус трубки). Другими словами, расстояние каждой части жидкости изменяется при измерении от оси трубки. Мы получим уравнение для объемного расхода жидкости в трубке:
Q = Расход, R = радиус трубы, η = коэффициент вязкости, P₁ – p₂ = разница давлений между двумя концами трубы, L = длина трубы, p₁ - p₂ / L = градиент давления (поток жидкости всегда направлен в сторону падения давления).
Исходя из приведенного выше уравнения Пуазейля, оказывается, что расход жидкости (Q) пропорционален радиусу трубки (R₄ ) , градиенту давления (p₂ – p₁ / L) и обратно пропорционален вязкости. Если добавить радиус трубки (коэффициент вязкости и фиксированный градиент давления), то скорость потока жидкости увеличится в 16 раз.
В основе проектирования трубопроводов лежит следующее уравнение. Расход жидкости пропорционален R⁴ ( R = радиус трубки). Радиус пальцев шприца или трубки необходимо тщательно рассчитать. Например, если мы удвоим радиус иглы (r × 2), то расход распыляемой жидкости увеличит силу сжатия большого пальца в 16 раз.
Уравнение Пуазейля также показывает, что радиус (r⁴ ) обратно пропорционален разности давлений между двумя концами трубы. Например, кровь сначала течет по кровеносному сосуду с внутренним радиусом r. Если происходит сужение артерий (например, r/2 = радиус кровеносных сосудов уменьшается вдвое),
Тогда для того, чтобы кровоток оставался прежним (и скорость потока была постоянной), потребуется разница давлений, в 16 раз превышающая прежнюю.
