3. Проблемы и решения, касающиеся уравнения момента инерции.
1. Твердый цилиндр имеет радиус 8 см и массу 2 кг. Твердый шар имеет радиус 5 см и массу 4 кг. Если оба объекта вращаются вокруг оси, проходящей через их центры, определите отношение моментов инерции цилиндра и шара.
Известный:
Радиус сплошного цилиндра (r) = 8 см = 0.08 м
Масса сплошного цилиндра (m) = 2 кг
Радиус сплошного шара (r) = 5 см = 0.05 м
Масса твердого шара (m) = 4 кг
Требуется: сравнение момента инерции цилиндра и шара.
Решение :
Формула для момента инерции сплошного цилиндра:
I = ½ MR 2 = ½ (2)(0,08) 2 = 0,0064
Формула для момента инерции твердого шара:
I = 2/5 MR 2 = 1/5 (4)(0,05) 2 = (0,8)(0,0025) = 0,002
Сравнение моментов инерции цилиндра и шара:
0,0064: 0,002
3,2: 1
2. Жестяная банка, в которой хранилось печенье, использовалась в качестве игрушки. Масса банки составляет 200 граммов, а радиус — 15 см. Банка катится по горизонтальному полу. Если пренебречь крышкой и дном банки, определите момент инерции банки.
Известный:
Банка напоминает полый цилиндр.
Масса (m) = 200 грамм = 0.2 кг
Радиус (r) = 15 см = 0.15 м
Разыскивается:
Решение:
Формула для момента инерции полого цилиндра относительно оси:
I = MR² = (0,2)(0,15) ² = (0,2)(0,0225) = 0,0045 кг· м²
3. Диск, свободно вращающийся вокруг вертикальной оси, способен вращаться со скоростью 80 оборотов в минуту. Если к диску на расстоянии 5 см от оси прикреплен небольшой объект массой 4 × 10⁻² кг, то окажется, что скорость вращения составляет 60 оборотов в минуту. Тогда определите момент инерции диска.
Известный:
Начальная угловая скорость (ω₀ ) = 80 бросков / 60 с = 4/3 бросков/с
Начальный момент инерции (I o ) = I
Конечная угловая скорость (ωt ) = 60 пут / 60 с = 1 пут/с
Конечный момент инерции (I t ) = I + mr 2 = I + (0.04)(0.05) 2 = I + (0.04)(0.0025) = I + 0.0425
Требуется: момент инерции диска.
Решение:
Закон сохранения углового момента
I ω o = I ω t
I (4/3) = I + (0,0425 (1))
4 I / 3 = I + 0,0425
4 I = 3 I + 0,1275
4 I – 3 I = 0,1275
I = 0,1275 кг· м²
