Добавление векторов

Статья о сложении векторов

1. Величины вектора и скаляра

Помимо основных и производных величин, физические величины можно разделить на два других типа: скалярные и векторные. Такие величины, как масса, расстояние, время и объем, являются скалярными величинами, то есть величинами, имеющими только величину, но не имеющими направления. В то время как величины, такие как перемещение, скорость, ускорение и сила, являются векторными величинами, имеющими как величину, так и направление.

а. Разница между скалярной и векторной величиной.

Если вы скажете, что масса мяча составляет 400 граммов, этого утверждения достаточно, чтобы узнать массу мяча. Вам не нужно указывать направление, чтобы определить массу мяча. То же самое относится ко времени, температуре, объему, плотности и т. д. Существует множество физических величин, которые нельзя выразить только в единицах величины. Если вы скажете, что ребенок переместился на расстояние 100 метров, этого утверждения будет недостаточно. Вы можете спросить: куда он переместился? На север, юг, восток или запад? Точно так же, если вы скажете, что толкаете стол с силой 200 Н.

Где вы ездите? Такие величины называются векторными величинами, и для их определения необходимо указать величину и направление. Примерами векторных величин являются перемещение, ускорение, импульс, момент импульса и т. д. Это станет понятнее при изучении предметов, связанных с этими величинами.

б. Нарисуйте вектор

Вектор обозначается стрелкой. Стрелка всегда рисуется так, чтобы она указывала в направлении вектора. Длина стрелки описывается величиной вектора. Например, на рисунке показан вектор силы (F) величиной 2 Н, направление которого — на северо-восток или под углом 45 ^° к оси x.

c. Правила записи величин вектора

При написании вектора от руки его символ обычно пишется курсивом заглавными буквами, а над ним добавляется стрелка. В печатных книгах символы векторов пишутся заглавными буквами жирным шрифтом, например, F. Для обозначения величины вектора от руки используется, например, |F|. В печатных книгах величина вектора пишется курсивом, например , F.

2. Сложение векторов — графические методы

Существует несколько способов графического сложения векторов, включая метод «от начала до конца» и метод параллелограмма.

а. Метод сложения векторов от хвоста к кончику

Векторы A и B известны. Вектор A = 3 см совпадает с осью x (направлен на восток). Вектор B = 2 см образует угол 30 ^° с осью x (направлен на северо-восток). Сложите векторы A и B графически, используя метод "от начала до конца". a) R = A + B b) R = A – B

Величина результирующего вектора (R) измеряется с помощью линейки. Направление результирующего вектора измеряется с помощью транспортира.

Известны векторы A, B и C. Вектор A = 3 см совпадает с осью x (направлен на восток). Вектор B = 2 см образует угол 30 ^° с осью x (направлен на северо-восток). Вектор C = 1 см образует угол 60 ^° с осью x (направлен на северо-восток). Сложите векторы A, B и C графически, используя метод «от начала до конца».

а) R = A + B + C

б) R = A – B – C

Результирующий вектор (R) измеряется с помощью линейки. Направление результирующего вектора определяется с помощью транспортира.

б. Метод параллелограмма

Известны векторы A, B и C. Вектор A = 3 см совпадает с осью x (направлен на восток). Вектор B = 2 см образует угол 30 ^° с осью x (направлен на северо-восток). Вектор C = 1 см образует угол 60 ^° с осью x (направлен на северо-восток). Сложите векторы A, B и C графически, используя параллелограмм.

а) R = A + B

б) R = A – B

с) R = A + B + C

d) R = A – B – C

Результирующий вектор (R) измеряется с помощью линейки. Направление результирующего вектора определяется с помощью транспортира.

3. Сложение векторов – ааналитический метод

Определение величины и направления результирующего вектора графическим методом — один из подходов. Точность результатов зависит от вашей точности и аккуратности при рисовании и считывании показаний масштаба. Величину и направление результирующего вектора точнее получают с помощью математических вычислений.

а. Вычисление суммы двух векторов с использованием правила косинусов.

Формула для определения величины результирующего вектора:

Формула для определения направления результирующего вектора:

C = результирующий вектор

A = вектор 1

B = вектор 2

cos ∠(A, B) = угол, образованный векторами A и B.

Пример задачи 1:

F ₁ = 2 Н образует угол 30° относительно оси x, F ₂ = 3 Н образует угол 60 ^° относительно оси x, θ = 30 ^°.

Пример задачи 2:

_{Точка F1} = 2 Н совпадает с осью x, точка F2 ₌ 3 Н образует угол 90 ^° относительно оси x, θ = 90 ^°.

б. Сложение векторов по компонентам

Рассмотрим вектор F, образующий определённый угол относительно оси x, как показано на рисунке ниже. Fx _и Fy _— компоненты вектора F.

Величина вектора-компоненты определяется по формуле:

F _x = F cos θ

F _y = F sin θ

Рассмотрите два вектора F.₁ и F₂ которая образует определенный угол относительно оси x, как показано на рисунке ниже. F_1x и F_1y являются компонентами вектора F₁, поэтому Ф_2x и F_2y являются компонентами вектора F₂.

Вектор-компонент определяется по формуле:

F_1x = Ф₁ потому что θ

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

Добавление векторных компонентов:

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

Результирующий вектор определяется по формуле:

Направление результирующего вектора определяется по формуле:

Пример задачи 1:

Определите компоненты вектора F, модуль которого равен 20 Н и который образует угол 30 ^° относительно оси x.

F _x = (20 Н)(cos 30 ^o ) = 17 Н

F _y = (20 Н)(sin 30 ^o ) = 10 Н

Пример задачи 2:

_{Вектор F1} = 20 Н образует угол 30 ^° относительно оси x, а вектор _F2 = 15 Н образует угол 180° относительно оси x. Определите величину и направление результирующего вектора.

F _1x = (20 Н)(cos 30 ^° ) = 17 Н

F _2x = F ₁ = – 15 Н

F _1y = (20 Н)(sin 30 ^o ) = 10 Н

F _2y = 0

Добавление векторных компонентов:

F _x = F _1x – F _2x = 17 Н – 15 Н = 2 Н

F _y = 10 Н

Результирующий вектор:

F² = Fx² ₊ Fy² ₌ 2² ⁺ 10² ^{= 4} + 100 ⁼ ₁₀₄

F = 10.2 Н

Направление результирующего вектора:

θ = tan −15 = 78.7 ^° относительно оси x

Пример задачи 3:

F₁Ж_2, и F₃ Имеют значения 20 Н, 30 Н и 40 Н. F₁ образует угол 60°^o относительно оси x, F₂ образует угол 150°^o относительно оси x и F₃ образует угол 315°^o относительно оси x. Определите величину и направление результирующего вектора.

F _1x = (20 Н)(cos 60 ^° ) = 10 Н

F _1y = (20 Н)(sin 60 ^o ) = 17 Н

F _2x = (30 Н)(cos 30 ^° ) = -26 Н

F _2y = (30 Н)(sin 30 ^o ) = 15 Н

F _3x = (40 Н)(cos 45 ^° ) = 28 Н

F _3y = (40 Н)(sin 45 ^o ) = -28 Н

Добавление векторной составляющей:

F _x = F _1x – F _2x + F _3x = 10 Н – 26 Н + 28 Н = 12 Н

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 Н + 15 Н – 28 Н = 4 Н

Результирующий вектор:

F² ⁼ Fx² + _Fy² = 12² ^{+ 4²} ₌ 144 + 16 ^{= 160}

F = 13 Н

Направление результирующего вектора:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^° относительно оси x