Векторы — это не обычные числа, поэтому к ним нельзя применять обычное умножение. Необходимо использовать векторное умножение. Существует два типа векторного умножения: скалярное умножение и перекрестное умножение. Скалярное умножение также называется умножением на скаляр, потому что оно дает скалярную величину. Перекрестное умножение также называется векторным умножением, потому что оно дает векторную величину. Например, есть два вектора, а именно: A Дан BСкалярное умножение векторов A Дан B заявлено с АБ КПоскольку на арене используется точечная запись, это умножение называется скалярное произведениеВекторное умножение A Дан B заявлено с A х ВПотому что в нем используется обозначение. xТогда это умножение называется перекрестным умножением.
Например, если дан вектор A Дан B Как показано на изображении ниже. Скалярное произведение векторов. A Дан B написано как AB (A титик B).
Для определения скалярного произведения векторов A Дан B (АБ), изображенный вектор A и векторы Ккоторый образует угол θ. Далее мы строим проекцию вектора. B в направлении вектора AЭта проекция является компонентой вектора. B который параллелен вектору A, который имеет тот же размер, что и B тележка θ.
Таким образом, мы определяем AB как большой вектор A умножить на компоненты вектора B который параллелен AМатематически это можно записать следующим образом:
AB тележка θ является обычным числом (скаляром). Поэтому скалярное произведение также называется скалярным произведением. Что если скалярное произведение между векторами... A Дан B обратное к BA ? прежде чем мы дадим определение BAСначала мы строим проекцию вектора. A к векторам B (см. изображение ниже).
На основании этого изображения мы можем определить BA как большой вектор B умножить на компоненты вектора A который параллелен BМатематически это можно записать следующим образом:
Результат вычисления скалярного произведения AB = AB тележка θ и результат скалярного произведения BA = BA тележка θ. Потому что AB тележка θ = BA тележка θтогда это применимо AB = BA
Вот несколько важных моментов о скалярном умножении, которые вам нужно знать:
1. Скалярное произведение удовлетворяет коммутативному закону.
AB = BA
2. Скалярное произведение удовлетворяет распределительному закону.
А. (Б + С) = АБ + АС
3. Если векторы А и В перпендикулярны друг другу, то скалярное произведение AB = 0.
Когда вектор A Дан B Если они перпендикулярны друг другу, то образованный угол равен 90°.o. Cos 90o = 0. Следовательно: AB = AB тележка тета = AB потому что 90o = 0. С другой стороны, BA = BA тележка тета = BA потому что 90o = 0
4. Если векторы A и B направлены в одном направлении , то AB = AB cos 0, то θ = AB
Когда вектор A Дан B Если двигаться в том же направлении, то образованный угол равен 0.o. Cos 0 = 1. Таким образом, AB = AB тележка тета = AB потому что 0o = AB. Напротив BA = BA тележка тета = BA потому что 0o = BA
(Не следует путать с AB Дан BA. Большой AB = большой BAНапример, величина вектора. A = 2. Величина вектора B = 3. тогда AB = 2.3 = 6; это то же самое, что и BA = 3.2 = 6.
5. Еще одно условие для двух векторов, направленных в одном направлении: если A = B , то получаем AA = A² или BB = B².
6. Если векторы А и В направлены в противоположные стороны (когда два вектора направлены в противоположные стороны, образованный угол равен 180º) , то результат умножения AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Пример задачи:
Вектор А имеет величину 4 единицы, а вектор В — величину 3 единицы. Определите скалярное произведение этих двух векторов, если углы, образованные ими, равны 60º, 90º и 180º.
Обсуждение
Поскольку AB = BA , мы можем выбрать любой из вариантов. Например, мы используем AB.
AB = AB cos θ
Размер объекта А = 4 единицы, а размер объекта В = 3 единицы.
